Demonstrované cvičení - Matematika II
Petr Hasil
hasil@math.muni.cz
Podzimní semestr 2008
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 1 / 9
Integrální počet
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 2 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.1
Je dána funkce f(x) = x2 - 3x + 5 na intervalu I = [2, 5].
(i) Určete s(D, f) a S(D, f) pro dělení intervalu I vytvořené pomocí
bodů 2, 5; 3; 4.
(ii) Najděte primitivní funkci k funkci f.
(iii) Je-li funkce f v Riemannově smyslu integrovatelná, pak tento
integrál určete.
(iv) Určete průměr funkce f.
(v) Rozhodněte, zda fce f nabývá v I hodnoty svého průměru. Jestliže
ano, pak tento bod určete.
Řešení
(i)s = 17, 375; S = 28, 375; (ii)x3
3 - 3
2 x2
+ 5x + c;
(iii)22, 5; (iv)7, 5; (v)3+

19
2 .
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.1
Je dána funkce f(x) = x2 - 3x + 5 na intervalu I = [2, 5].
(i) Určete s(D, f) a S(D, f) pro dělení intervalu I vytvořené pomocí
bodů 2, 5; 3; 4.
(ii) Najděte primitivní funkci k funkci f.
(iii) Je-li funkce f v Riemannově smyslu integrovatelná, pak tento
integrál určete.
(iv) Určete průměr funkce f.
(v) Rozhodněte, zda fce f nabývá v I hodnoty svého průměru. Jestliže
ano, pak tento bod určete.
Řešení
(i)s = 17, 375; S = 28, 375; (ii)x3
3 - 3
2 x2
+ 5x + c;
(iii)22, 5; (iv)7, 5; (v)3+

19
2 .
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.2
Udejte příklad funkce, pro kterou platí:
1
-1
f(x) = -5,
1
-1
= 4.
Řešení
Např.
f(x) =
2, x  Q,
2, 5 x  I,
g(x) =
2x + 2, x  Q,
-x - 2, 5 x  I.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.2
Udejte příklad funkce, pro kterou platí:
1
-1
f(x) = -5,
1
-1
= 4.
Řešení
Např.
f(x) =
2, x  Q,
2, 5 x  I,
g(x) =
2x + 2, x  Q,
-x - 2, 5 x  I.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.3
Je dána funkce f(x) = |x| na intervalu I = [-1, 1] a dělení
Dn = {-1, n
- 1
n
, . . . , -
1
n
, 0,
1
n
, . . . ,
n - 1
n
, 1}.
Určete s(Dn, f) a S(Dn, f).
Řešení
s =
n - 1
n
, S =
n + 1
n
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.3
Je dána funkce f(x) = |x| na intervalu I = [-1, 1] a dělení
Dn = {-1, n
- 1
n
, . . . , -
1
n
, 0,
1
n
, . . . ,
n - 1
n
, 1}.
Určete s(Dn, f) a S(Dn, f).
Řešení
s =
n - 1
n
, S =
n + 1
n
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.4
Spočtěte:
(i)
1
0
arctg x dx,
(ii)
2
1
x

1 + x2 dx,
(iii)
1
0

2 - x2 dx.
Řešení
(i)

4
ln
2
2
, (ii)
1
3
(5

5 - 2

2), (iii)
 + 2
4
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.4
Spočtěte:
(i)
1
0
arctg x dx,
(ii)
2
1
x

1 + x2 dx,
(iii)
1
0

2 - x2 dx.
Řešení
(i)

4
ln
2
2
, (ii)
1
3
(5

5 - 2

2), (iii)
 + 2
4
.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.5
Spočtěte:
(i)
sin3
x cos4
x dx,
(ii)
sin5
x dx,
(iii)
e-x3
x2
dx.
Řešení
(i)cos7 x
7 - cos5 x
5 +c, (ii)- cos5 x
5 + 2
3 cos3
x-cos x+c, (iii)- 1
3 e-x3
+c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.5
Spočtěte:
(i)
sin3
x cos4
x dx,
(ii)
sin5
x dx,
(iii)
e-x3
x2
dx.
Řešení
(i)cos7 x
7 - cos5 x
5 +c, (ii)- cos5 x
5 + 2
3 cos3
x-cos x+c, (iii)- 1
3 e-x3
+c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.6
Spočtěte:
(i)
cos3
x sin x dx,
(ii)
1 + cos2 x
1 + cos 2x
dx,
(iii)
2 sin2 x
2
dx.
Řešení
(i) cos4
x
4
+ c, (ii)
tg x
2
+
x
2
+ c, (iii)x - sin x + c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.6
Spočtěte:
(i)
cos3
x sin x dx,
(ii)
1 + cos2 x
1 + cos 2x
dx,
(iii)
2 sin2 x
2
dx.
Řešení
(i) cos4
x
4
+ c, (ii)
tg x
2
+
x
2
+ c, (iii)x - sin x + c.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.7
Spočtěte:
(i)

2
0
cos x dx,
(ii)
ln 2
0
x
ex
dx,
(iii)
1
0
x(2 - x2
)5
dx,
(iv)
e8
1
dx
x

ln x + 1
.
Řešení
(i)1, (ii)1-ln 2
2 , (iii)63
12, (iv)4.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 9
Integrální počet Demo 8
Příklad 8.7
Spočtěte:
(i)

2
0
cos x dx,
(ii)
ln 2
0
x
ex
dx,
(iii)
1
0
x(2 - x2
)5
dx,
(iv)
e8
1
dx
x

ln x + 1
.
Řešení
(i)1, (ii)1-ln 2
2 , (iii)63
12, (iv)4.
Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 9