Demonstrované cvičení - Matematika II Petr Hasil hasil@math.muni.cz Podzimní semestr 2008 Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 1 / 10 Integrální počet Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 2 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.1 Určete v jakém poměru dělí křivka P : y2 = 2x plochu kruhu K : x2 + y2 = 8. Řešení ( + 2/3) : (3 - 2/3). Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.1 Určete v jakém poměru dělí křivka P : y2 = 2x plochu kruhu K : x2 + y2 = 8. Řešení ( + 2/3) : (3 - 2/3). Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.2 Určete délku jednoho oblouku cykloidy x(t) = r(t - sin t), y = r(1 - cos t), t [0, 2]. Řešení 8r. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.2 Určete délku jednoho oblouku cykloidy x(t) = r(t - sin t), y = r(1 - cos t), t [0, 2]. Řešení 8r. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.3 Vypočtěte délku řetězovky f(x) = a cosh x a na intervalu [-1, 1]. Řešení a(e1/a - e-1/a ). Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.3 Vypočtěte délku řetězovky f(x) = a cosh x a na intervalu [-1, 1]. Řešení a(e1/a - e-1/a ). Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.4 Pomocí určitého integrálu odvodťe vzorec pro výpočet plochy elipsy s poloosami a, b. (Jak to dopadne pro kruh?) Řešení SE = ab, SK = r2 . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.4 Pomocí určitého integrálu odvodťe vzorec pro výpočet plochy elipsy s poloosami a, b. (Jak to dopadne pro kruh?) Řešení SE = ab, SK = r2 . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.5 Vypočtěte objem komolého kužele s poloměrem podstav r1, r2 a výškou v. Jaký je potom objem "nekomolého" kužele? Pro lepší pochopení ­ výpočet objemu. Řešení VKK = 1 3 v(r2 1 + r1r2 + r2 2 ), VK = 1 3 r2 v. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.5 Vypočtěte objem komolého kužele s poloměrem podstav r1, r2 a výškou v. Jaký je potom objem "nekomolého" kužele? Pro lepší pochopení ­ výpočet objemu. Řešení VKK = 1 3 v(r2 1 + r1r2 + r2 2 ), VK = 1 3 r2 v. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.5 Vypočtěte objem komolého kužele s poloměrem podstav r1, r2 a výškou v. Jaký je potom objem "nekomolého" kužele? Pro lepší pochopení ­ výpočet objemu. Řešení VKK = 1 3 v(r2 1 + r1r2 + r2 2 ), VK = 1 3 r2 v. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.6 Určete následující integrály: (i) 0 1 1 + x2 dx, (ii) 1 1 x dx, (iii) 0 cos x dx, (iv) - 1 1 + x2 dx, Řešení (i) 2 , (ii)(diverguje), (iii)neexistuje(osciluje), (iv). Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.6 Určete následující integrály: (i) 0 1 1 + x2 dx, (ii) 1 1 x dx, (iii) 0 cos x dx, (iv) - 1 1 + x2 dx, Řešení (i) 2 , (ii)(diverguje), (iii)neexistuje(osciluje), (iv). Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.7 Spočtěte: (i) 1 e- x x dx, (ii) 1 x2 + 2 x3 dx. Obrázky: (i), (ii). Řešení (i)2/ e, (ii). Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.7 Spočtěte: (i) 1 e- x x dx, (ii) 1 x2 + 2 x3 dx. Obrázky: (i), (ii). Řešení (i)2/ e, (ii). Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.7 Spočtěte: (i) 1 e- x x dx, (ii) 1 x2 + 2 x3 dx. Obrázky: (i), (ii). Řešení (i)2/ e, (ii). Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.8 Vyřešte: (a) Určete plochu pod grafem funkce f(x) = 1 x2+x-2 , na intervalu [2, ). (b) Určete obsah plochy ohraničené na intervalu [2, ) grafy funkcí f a g, kde f(x) = (x + 1) x2 - x + 1 x2 + x - 2 , g(x) = x3 x2 + x - 2 . Obrázky: (a), (b). Řešení (a, b) 2 3 ln 2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 10 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.8 Vyřešte: (a) Určete plochu pod grafem funkce f(x) = 1 x2+x-2 , na intervalu [2, ). (b) Určete obsah plochy ohraničené na intervalu [2, ) grafy funkcí f a g, kde f(x) = (x + 1) x2 - x + 1 x2 + x - 2 , g(x) = x3 x2 + x - 2 . Obrázky: (a), (b). Řešení (a, b) 2 3 ln 2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 10 / 10 Integrální počet Demo 9 Příklad 9.8 Vyřešte: (a) Určete plochu pod grafem funkce f(x) = 1 x2+x-2 , na intervalu [2, ). (b) Určete obsah plochy ohraničené na intervalu [2, ) grafy funkcí f a g, kde f(x) = (x + 1) x2 - x + 1 x2 + x - 2 , g(x) = x3 x2 + x - 2 . Obrázky: (a), (b). Řešení (a, b) 2 3 ln 2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 10 / 10