Demonstrované cvičení - Matematika II Petr Hasil hasil@math.muni.cz Podzimní semestr 2008 Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 1 / 14 Integrální počet Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 2 / 14 Integrální počet Dokončení z minula - Demo 9 Příklad 9.8 Vyřešte: (a) Určete plochu pod grafem funkce f(x) = 1 x2+x-2 , na intervalu [2, ). (b) Určete obsah plochy ohraničené na intervalu [2, ) grafy funkcí f a g, kde f(x) = (x + 1) x2 - x + 1 x2 + x - 2 , g(x) = x3 x2 + x - 2 . Obrázky: (a), (b). Řešení (a, b) 2 3 ln 2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 14 Integrální počet Dokončení z minula - Demo 9 Příklad 9.8 Vyřešte: (a) Určete plochu pod grafem funkce f(x) = 1 x2+x-2 , na intervalu [2, ). (b) Určete obsah plochy ohraničené na intervalu [2, ) grafy funkcí f a g, kde f(x) = (x + 1) x2 - x + 1 x2 + x - 2 , g(x) = x3 x2 + x - 2 . Obrázky: (a), (b). Řešení (a, b) 2 3 ln 2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 14 Integrální počet Dokončení z minula - Demo 9 Příklad 9.8 Vyřešte: (a) Určete plochu pod grafem funkce f(x) = 1 x2+x-2 , na intervalu [2, ). (b) Určete obsah plochy ohraničené na intervalu [2, ) grafy funkcí f a g, kde f(x) = (x + 1) x2 - x + 1 x2 + x - 2 , g(x) = x3 x2 + x - 2 . Obrázky: (a), (b). Řešení (a, b) 2 3 ln 2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 14 Integrální počet Demo 10 Příklad 10.1 Spočtěte: (i) 4 0 2x2 + x x dx, (ii) 3 2 0 2 cos x 1 + sin x dx. Řešení (i)20, (ii) - . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 14 Integrální počet Demo 10 Příklad 10.1 Spočtěte: (i) 4 0 2x2 + x x dx, (ii) 3 2 0 2 cos x 1 + sin x dx. Řešení (i)20, (ii) - . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Nekonečné řady Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.2 Dostali jsme pět metrů drátu a úkol sestrojit z něj čtverec o délce strany čtvrt metru. Potom máme za úkol spojit drátem středy jeho sousedních stran, a tak vytvořit obrázek dvou čtverců. Postup máme opakovat do nekonečna (viz obrázek). Bude nám drát stačit? Pokud ano, kolik jej spotřebujeme? Jakou plochu naše čtverce pokryjí, jestliže je naskládáme vedle sebe? (Doporučení: Pro přehlednost výpočtů uvažujte původní čtverec o straně obecné délky a a dosadťe až v závěru.) Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.2 Dostali jsme pět metrů drátu a úkol sestrojit z něj čtverec o délce strany čtvrt metru. Potom máme za úkol spojit drátem středy jeho sousedních stran, a tak vytvořit obrázek dvou čtverců. Postup máme opakovat do nekonečna (viz obrázek). Bude nám drát stačit? Pokud ano, kolik jej spotřebujeme? Jakou plochu naše čtverce pokryjí, jestliže je naskládáme vedle sebe? (Doporučení: Pro přehlednost výpočtů uvažujte původní čtverec o straně obecné délky a a dosadťe až v závěru.) Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Řešení Spotřebujeme cca 3, 41 metrů drátu. Plocha přesně 12, 5dm2 , tj. dvakrát plochu největšího čtverce. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.3 Pomocí srovnávacího kritéria (tj. srovnáním s vhodnou řadou) zjistěte, zda daná řada konverguje. (i) n=0 1 (n + 1)3n , (ii) n=1 n2 + 1 n3 . (U tohoto a všech následujících příkladů ověřujte nutnou podmínku konvergence lim n an = 0) Řešení (i)ano, (ii)ne. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.3 Pomocí srovnávacího kritéria (tj. srovnáním s vhodnou řadou) zjistěte, zda daná řada konverguje. (i) n=0 1 (n + 1)3n , (ii) n=1 n2 + 1 n3 . (U tohoto a všech následujících příkladů ověřujte nutnou podmínku konvergence lim n an = 0) Řešení (i)ano, (ii)ne. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.3 Pomocí srovnávacího kritéria (tj. srovnáním s vhodnou řadou) zjistěte, zda daná řada konverguje. (i) n=0 1 (n + 1)3n , (ii) n=1 n2 + 1 n3 . (U tohoto a všech následujících příkladů ověřujte nutnou podmínku konvergence lim n an = 0) Řešení (i)ano, (ii)ne. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.4 Užitím integrálního kritéria zjistěte, zda řada n=1 1 (n + 1) ln2 (n + 1) konverguje. Řešení Ano. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.4 Užitím integrálního kritéria zjistěte, zda řada n=1 1 (n + 1) ln2 (n + 1) konverguje. Řešení Ano. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.5 Užitím podílového kriteria zjistěte, zda daná řada konverguje. (i) n=0 (n + 1)! 2nn! , (ii) n=25 n 2n - 1 . (iii) n=0 3n 2n(2n + 1) . Řešení (i)ano, (ii)ne, (iii)ne. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 10 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.5 Užitím podílového kriteria zjistěte, zda daná řada konverguje. (i) n=0 (n + 1)! 2nn! , (ii) n=25 n 2n - 1 . (iii) n=0 3n 2n(2n + 1) . Řešení (i)ano, (ii)ne, (iii)ne. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 10 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.6 Užitím odmocninového kriteria zjistěte, zda daná řada konverguje. (i) n=1 1 lnn (n + 1) , (ii) n=1 n+1 n n2 3n . Řešení (i)ano, (ii)ano. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 11 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.6 Užitím odmocninového kriteria zjistěte, zda daná řada konverguje. (i) n=1 1 lnn (n + 1) , (ii) n=1 n+1 n n2 3n . Řešení (i)ano, (ii)ano. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 11 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.7 Určete, zda daná řada konverguje. U řady (ii) navíc odhadněte chybu aproximace částečným součtem s8 a s9 999. Je zbytek po odečtení s8, resp. s9 999 kladný nebo záporný? (i) n=0 (-1)n 1 3n - 1 , (ii) n=0 (-1)n n n + 100 . Řešení Obě konvergují. s8 : < 3/109, záporný; s9 999 : < 1/101, kladný. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 12 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.7 Určete, zda daná řada konverguje. U řady (ii) navíc odhadněte chybu aproximace částečným součtem s8 a s9 999. Je zbytek po odečtení s8, resp. s9 999 kladný nebo záporný? (i) n=0 (-1)n 1 3n - 1 , (ii) n=0 (-1)n n n + 100 . Řešení Obě konvergují. s8 : < 3/109, záporný; s9 999 : < 1/101, kladný. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 12 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.8 Určete, zda daná řada konverguje absolutně/relativně/nekonverguje. (i) n=0 (-1)n 2n - 1 3n + 2 n , (ii) n=0 (-1)n 1 n + 1 , (iii) n=0 nx enx . Řešení (i)abs., (ii)rel., (iii)abs. pro x 0, jinak div. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 13 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.8 Určete, zda daná řada konverguje absolutně/relativně/nekonverguje. (i) n=0 (-1)n 2n - 1 3n + 2 n , (ii) n=0 (-1)n 1 n + 1 , (iii) n=0 nx enx . Řešení (i)abs., (ii)rel., (iii)abs. pro x 0, jinak div. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 13 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.9 Určete poloměr a interval konvergence. (i) n=0 xn (n + 1)8n , (ii) n=1 nn (x - 5)n , (iii) n=1 (x + 3)n n2 . Řešení (i) 8,[-8,8); (ii)0, {5}; (iii) 1, [-4,2]. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 14 / 14 Nekonečné řady Demo 10 ­ pokračování Příklad 10.9 Určete poloměr a interval konvergence. (i) n=0 xn (n + 1)8n , (ii) n=1 nn (x - 5)n , (iii) n=1 (x + 3)n n2 . Řešení (i) 8,[-8,8); (ii)0, {5}; (iii) 1, [-4,2]. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 14 / 14