Demonstrované cvičení - Matematika II Petr Hasil hasil@math.muni.cz Podzimní semestr 2008 Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 1 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Nekonečné řady Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 2 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.1 Je dána posloupnost řádků půlkruhů, kde v n-tém řádku je 2n půlkruhů o poloměru 1 2n (viz obrázek). Určete plochu, kterou tyto půlkruhy pokrývají. Výsledek interpretujte vzhledem k obsahu největších (půl)kruhů. Řešení /2, tj. dvojnásobek plochy kruhu o poloměru 1/2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.1 Je dána posloupnost řádků půlkruhů, kde v n-tém řádku je 2n půlkruhů o poloměru 1 2n (viz obrázek). Určete plochu, kterou tyto půlkruhy pokrývají. Výsledek interpretujte vzhledem k obsahu největších (půl)kruhů. Řešení /2, tj. dvojnásobek plochy kruhu o poloměru 1/2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.2 Ze znalosti Taylorova rozvoje funkce sin x určete rozvoj funkce cos x. Řešení cos x = (sin x) . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.2 Ze znalosti Taylorova rozvoje funkce sin x určete rozvoj funkce cos x. Řešení cos x = (sin x) . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.3 Ověřte pomocí Taylorova rozvoje, že (ex ) = ex . Příklad 11.4 Ze znalosti Taylorova rozvoje funkce ex určete rozvoj funkcí e-x , ex2 . Ověřte výsledek přímým výpočtem T. řad. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.3 Ověřte pomocí Taylorova rozvoje, že (ex ) = ex . Příklad 11.4 Ze znalosti Taylorova rozvoje funkce ex určete rozvoj funkcí e-x , ex2 . Ověřte výsledek přímým výpočtem T. řad. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.5 Určete funkci, jejíž Taylorova řada je (-1 x 1) x - x3 3 + x5 5 - . . . . Řešení arctg x. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.5 Určete funkci, jejíž Taylorova řada je (-1 x 1) x - x3 3 + x5 5 - . . . . Řešení arctg x. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.6 Určete, zda daná řada konverguje absolutně/relativně/nekonverguje. n=1 sin n n2 . Řešení Konverguje absolutně. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.6 Určete, zda daná řada konverguje absolutně/relativně/nekonverguje. n=1 sin n n2 . Řešení Konverguje absolutně. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.7 Na intervalu konvergence I = (-1, 1] určete součet řady n=1 n(n + 1)xn . Řešení ln(1 + x) (x + 1) - x. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.7 Na intervalu konvergence I = (-1, 1] určete součet řady n=1 n(n + 1)xn . Řešení ln(1 + x) (x + 1) - x. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.8 Na intervalu konvergence I = (-1, 1] určete součet řady n=1 (-1)n+1 xn+1 n(n + 1) . Řešení ln(1 + x) (x + 1) - x. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.8 Na intervalu konvergence I = (-1, 1] určete součet řady n=1 (-1)n+1 xn+1 n(n + 1) . Řešení ln(1 + x) (x + 1) - x. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.9 Určete mocninou řadu, jejíž součet je roven výrazu 1 x2 - x - 12 . ( Řada k tomuto součtu konverguje na intervalu I = (-3, 3).) Řešení n=0 (-1)n+1 1 21 3n - 1 28 4n xn . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 10 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.9 Určete mocninou řadu, jejíž součet je roven výrazu 1 x2 - x - 12 . ( Řada k tomuto součtu konverguje na intervalu I = (-3, 3).) Řešení n=0 (-1)n+1 1 21 3n - 1 28 4n xn . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 10 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.10 Pomocí prvních dvou členů Taylorova polynomu určete přibližně hodnotu 3 70. Řešení 3 70 4 1 + 1 3 3 32 = 4 + 1 8 = 4, 125. (Přesná hodnota je 4, 1212853.) Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 11 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.10 Pomocí prvních dvou členů Taylorova polynomu určete přibližně hodnotu 3 70. Řešení 3 70 4 1 + 1 3 3 32 = 4 + 1 8 = 4, 125. (Přesná hodnota je 4, 1212853.) Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 11 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.11 Odhadněte kosinus deseti stupňů s přesností aspoň 10-5. Řešení cos 18 1 ( 18 )2 2! + ( 18)4 4! . = 0, 985. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 12 / 15 Nekonečné řady Demo 11 Příklad 11.11 Odhadněte kosinus deseti stupňů s přesností aspoň 10-5. Řešení cos 18 1 ( 18 )2 2! + ( 18)4 4! . = 0, 985. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 12 / 15 Elementární diferenciální rovnice Demo 11 ­ pokračování Elementární diferenciální rovnice Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 13 / 15 Elementární diferenciální rovnice Demo 11 ­ pokračování Příklad 11.12 Určete řešení diferenciální rovnice y = (2 - y) tg x. Řešení y = 2 - K cos x. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 14 / 15 Elementární diferenciální rovnice Demo 11 ­ pokračování Příklad 11.12 Určete řešení diferenciální rovnice y = (2 - y) tg x. Řešení y = 2 - K cos x. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 14 / 15 Elementární diferenciální rovnice Demo 11 ­ pokračování Příklad 11.13 Určete řešení diferenciální rovnice 1 + y2 - xy(1 + x2 )y = 0. Řešení x x2 + 1 = K 1 + y2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 15 / 15 Elementární diferenciální rovnice Demo 11 ­ pokračování Příklad 11.13 Určete řešení diferenciální rovnice 1 + y2 - xy(1 + x2 )y = 0. Řešení x x2 + 1 = K 1 + y2. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 15 / 15