Demonstrované cvičení - Matematika II Petr Hasil hasil@math.muni.cz Podzimní semestr 2008 Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 1 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 POZOR! ­ oprava příkladu Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 2 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.1 Integrujte: a) 7 x2 - 4x - 5 dx, b) 7 5 + 4x - x2 dx. Řešení a) 7 ln |2x - 4 + 2 x2 - 4x - 5| + c, b) 7 arcsin x-2 3 + c. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.1 Integrujte: a) 7 x2 - 4x - 5 dx, b) 7 5 + 4x - x2 dx. Řešení a) 7 ln |2x - 4 + 2 x2 - 4x - 5| + c, b) 7 arcsin x-2 3 + c. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 3 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Elementární diferenciální rovnice Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 4 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.2 Určete řešení diferenciální rovnice yy = arctg x y2 - 2y + 1 . Řešení 3y4 - 8y3 + 6y2 = 12x arctg x - 6 ln(1 + x2 ) + K. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.2 Určete řešení diferenciální rovnice yy = arctg x y2 - 2y + 1 . Řešení 3y4 - 8y3 + 6y2 = 12x arctg x - 6 ln(1 + x2 ) + K. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 5 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.3 Určete řešení diferenciální rovnice (vhodnou substitucí rovnici převedťe na rovnici se sep. prom.) xy = y ln y x . Řešení y = x exK+1 . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.3 Určete řešení diferenciální rovnice (vhodnou substitucí rovnici převedťe na rovnici se sep. prom.) xy = y ln y x . Řešení y = x exK+1 . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 6 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.4 Určete řešení lineární diferenciální rovnice y + 2xy = x e-x2 . Řešení y = e-x2 ( x2 2 + K). Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.4 Určete řešení lineární diferenciální rovnice y + 2xy = x e-x2 . Řešení y = e-x2 ( x2 2 + K). Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 7 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.5 Určete řešení lineární diferenciální rovnice y - 2y x = 1 x3 . Řešení y = -1 4x2 + Kx2 . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.5 Určete řešení lineární diferenciální rovnice y - 2y x = 1 x3 . Řešení y = -1 4x2 + Kx2 . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 8 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.6 Určete řešení lineární diferenciální rovnice 2y + y = x. Řešení y = x - 2 + K e-x 2 . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.6 Určete řešení lineární diferenciální rovnice 2y + y = x. Řešení y = x - 2 + K e-x 2 . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 9 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.7 Určete řešení diferenciální rovnice y + y - 2y = 0. Řešení c1 ex +c2 e-2x . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 10 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.7 Určete řešení diferenciální rovnice y + y - 2y = 0. Řešení c1 ex +c2 e-2x . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 10 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.8 Určete řešení diferenciální rovnice y(4) + 6y(3) + 9y(2) = 0. Řešení c1 + c2x + c3 e-3x +c4x e-3x . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 11 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.8 Určete řešení diferenciální rovnice y(4) + 6y(3) + 9y(2) = 0. Řešení c1 + c2x + c3 e-3x +c4x e-3x . Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 11 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.9 Určete řešení diferenciální rovnice y + 8y + 25y + 26 = 0. Řešení y = c1 e-2x +c2 e-3x cos 2x + c3 e-3x sin 2x. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 12 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.9 Určete řešení diferenciální rovnice y + 8y + 25y + 26 = 0. Řešení y = c1 e-2x +c2 e-3x cos 2x + c3 e-3x sin 2x. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 12 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.10 Vodní nádrž o objemu 1000 litrů naobsahuje žádnou sůl. Do nádrže začneme připouštět solný roztok o koncentraci 50 gramů na litr rychlostí 20 litrů za minutu. Voda v nádrži je míchána a vypouštěna stejnou rychlostí jako připouštěna. Za jak dlouho dosáhne koncentrace soli v nádrži tří procent? Řešení Za cca 45, 815 minut. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 13 / 13 Elementární diferenciální rovnice Demo 12 Příklad 12.10 Vodní nádrž o objemu 1000 litrů naobsahuje žádnou sůl. Do nádrže začneme připouštět solný roztok o koncentraci 50 gramů na litr rychlostí 20 litrů za minutu. Voda v nádrži je míchána a vypouštěna stejnou rychlostí jako připouštěna. Za jak dlouho dosáhne koncentrace soli v nádrži tří procent? Řešení Za cca 45, 815 minut. Petr Hasil (MU Brno) Demo MB102 Podzim 2008 13 / 13