Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Matematika II ­ 3. přednáška Vlastnosti spojitých funkcí, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 1. 10. 2008 Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Obsah přednášky 1 Spojitost 2 Přírůstky do ZOO 3 Derivace Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Zuzana Došlá, Jaromír Kuben ­ Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2 (rovněž na http://www.math.muni.cz/~dosla/skript.pdf). Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Spojitost Spojitost funkce je důležitým znakem jejího chování. Uvidíme, že spojité funkce mají téměř všechny důležité vlastnosti. Definice Funkce f (x) je spojitá v bodě x0 R, jestliže existuje v tomto bodě vlastní limita L, v bodě x0 existuje funkční hodnota f (x0) a tato dvě čísla jsou si rovna, tj. limxx0 f (x) = f (x0). Obdobně spojitost zprava a zleva. Funkce f je spojitá na množině A, jestliže je spojitá ve ve všech bodech x0 A (příp. jednostranně). Příklad Z vlastností limity snadno plyne, že každý polynom (a tedy i každý splajn) je spojitou funkcí na celém R. Každá racionální lomená funkce je pak spojitá ve všech bodech, kde je nenulový jmenovatel. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Příklad 1 Funkce f (x) = 4 - x2 je spojitá na intervalu [-2, 2], tj. f C[-2, 2]. 2 Funkce f (x) = 1 x je spojitá na intervalu (-, 0), na intervalu (0, ), ale není spojitá na intervalu (-, ) (tedy na R). Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti spojitých funkcí Vlastnosti 1 Jsou-li funkce f (x) a g(x) spojité v bodě x0, pak jsou zde spojité i funkce (f g)(x), f (x) . g(x), f (x) g(x) pro g(x0) = 0. 2 (Věta o záměnnosti limitního přechodu a funkce.) Nechť x0 R. Je-li limxx0 g(x) = M a je-li funkce f (y) spojitá v bodě y0 = M, potom lim xx0 f g(x) = f lim xx0 g(x) = f (M). 3 (Spojitost složené funkce.) Je-li funkce g(x) spojitá v bodě x0 a je-li funkce f (y) spojitá v bodě y0 = g(x0), potom je složená funkce (f g)(x) = f g(x) spojitá v bodě x0. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti spojitých funkcí Věta (Weierstrassova) Je-li funkce f (x) spojitá na intervalu [a, b], tj. na uzavřeném konečném intervalu, potom je na tomto intervalu ohraničená a nabývá v něm své nejmenší a největší hodnoty. Věta (Bolzanova) Je-li funkce f (x) spojitá na intervalu [a, b], tj. na uzavřeném konečném intervalu, potom f (x) nabývá v tomto intervalu všech hodnot mezi svou nejmenší a největší hodnotou. Důsledek Je-li funkce f (x) spojitá na intervalu [a, b] a mají-li hodnoty f (a) a f (b) různá znaménka, pak existuje bod c (a, b) tak, že platí f (c) = 0, tj. rovnice f (x) = 0 má v intervalu (a, b) alespoň jedno řešení Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Spojitost inverzní funkce Věta Je-li funkce f (x) spojitá a ryze monotónní (tj. stále roste nebo stále klesá) na intervalu I, potom je také inverxní funkce f -1(x) spojitá a ryze monotónní na intervalu J := f (I). Poznámka Z této věty snadno vyplyne spojitost cyklometrických funkcí arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x (na příslušných intervalech) a dále spojitost logaritmických funkcí (jakmile je později definujeme). Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Body nespojitosti Rozlišujeme následující typy nespojitosti (v bodech x0 R): Odstranitelná nespojitost Existuje vlastní limita limxx0 f (x), ale tato limita je různá od f (x0) (případně f (x0) není vůbec definována). Tento typ nespojitosti lze odstranit předefinováním (případně dodefinováním) hodnoty f (x0). Příklad Funkce f (x) = x2-4 x-2 má v bodě x0 = 2 odstanitelnou nespojitost (v podstatě je f (x) = x + 2 pro x = 2). Funkce f (x) = sin x x má v bodě x0 = 0 odstanitelnou nespojitost. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Body nespojitosti ­ pokr. skok (nespojitost prvního druhu) Existují vlastní jednostranné limity limxx+ 0 f (x) a limxx- 0 f (x), ale tyto jednostranné limity jsou různé (přitom vůbec nezáleží na hodnotě f (x0)). Příklad Funkce f (x) = sgn x má v bodě x0 = 0 nespojitost typu skok. Nespojitost druhého druhu Alespoň jedna jednostranná limita je buď nevlastní nebo neexistuje. Příklad Funkce f (x) = 1 x2 , f (x) = sin 1 x mají v bodě x0 = 2 nespojitost druhého druhu. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Racionální (lomená) funkce Nechť f a g jsou dva polynomy, které mohou mít i komplexní hodnoty (tj. připouštíme výrazy anxn + + a0 s komplexními ai C, ale dosazujeme jen reálné hodnoty za x). Pak funkce h : R \ {x R, g(x) = 0} C, h(x) = f (x) g(x) je dobře definována ve všech reálných bodech kromě kořenů polynomu g. Takové funkce nazýváme racionální (lomené) funkce. Racionální funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru. V bodech, kde definovány nejsou mohou mít konečnou limitu, když jde o společný kořen polynomů f i g (a v tomto případě rozšířením jejich definice o limitní hodnotu v tomto bodě dostaneme funkci i v tomto bodě spojitou) nekonečnou limitu, když limity zprava a zleva v tomto bodě jsou stejné různé nekonečné limity zprava a zleva. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace y x 6 5 4 2 4 0 -2 3 -4 -6 210-1 a=0. y x 6 5 4 2 4 0 -2 3 -4 -6 210-1 a=1.6667 h(x) = (x - 0.05a)(x - 2 - 0.2a)(x - 5) x(x - 2)(x - 4) s hodnotami a = 0 a a = 5/3. Obrázek vlevo tedy zobrazuje racionální funkci (x - 5)/(x - 4). Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Mocninné funkce Polynomy jsou seskládány z jednoduchých mocninných funkcí x xn s přirozeným číslem n = 0, 1, 2, . . . . Samozřejmý smysl má také funkce x x-1 pro všechny x = 0. Tuto definici rozšíříme na obecnou mocninnou funkci s n R. Pro n = -a s a N definujeme x-a = (xa )-1 = (x-1 )a . Dále jistě chceme, aby ze vztahu bn = x pro n N vyplývalo b = x 1 n . Je třeba ale ověřit, že taková b skutečně existují pro dané x. Předpokládejme x > 0 a označme B množinu B = {y R, y > 0, yn x}. To je zřejmě shora ohraničená množina a lze ověřit, že pro b = sup B skutečně platí požadovaná rovnost. Zdůvodnili jsme tedy existenci xa pro všechny x > 0 a a Q. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Mocninná funkce ­ pokračování Konečně, pro a R, x > 1 klademe xa = sup{xy , y Q, y a}. Pro 0 < x < 1 buď definujeme analogicky (je třeba si jen pohrát s nerovnítky) nebo klademe přímo xa = (1 x )-a. Pro x = 1 je pak 1a = 1 pro libovolné a. Obecnou mocninnou funkci x xa máme tedy dobře definovanou pro všechny x [0, ) a a R. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Exponenciální funkce Naši konstrukci funkce xa ale můžeme také číst následujícím způsobem: Pro každé pevné reálné c > 0 existuje dobře definovaná funkce na celém R, y cy . Této funkci říkáme exponenciální funkce o základu c. Na obrázcích vidíme funkce x ax a x xb pro jednu konkrétní hodnotu a = 2.5167 a b = 4.5833. 20 0 0 -2-4 y b 100 4 80 60 2 40 a=2.5167 a 32,5 y 2 100 80 1,5 60 40 1 20 0 0,5 b=4.5833 Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Z našich definic je vcelku zřejmé, že mocninné i exponenciální funkce jsou spojité na celých svých definičních oborech. Zároveň se ze spojitosti definice pomocí suprem množin hodnot zjevně přenáší základní vlastnosti platné pro racionální čísla, a, x, y: ax ay = ax+y , (ax )y = axy . Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Eulerovo číslo Příklad Určete limitu posloupnosti an = 1 + 1 n n pro n . Řešení Z binomického rozvoje je zřejmé, že pro každé kladné číslo b a přirozené n platí (1 + b)n > 1 + nb, dostáváme proto pro dva po sobě jdoucí členy naší posloupnosti podíl (1 + 1 n )n (1 + 1 n-1)n-1 = (n2 - 1)nn n2n(n - 1) = 1 - 1 n2 n n n - 1 > (1- 1 n ) n n - 1 = 1. Je tedy naše posloupnost rostoucí. Zároveň stejným výpočtem ověříme, že posloupnost čísel bn = (1 + 1 n )n+1 = (1 + 1 n )(1 + 1 n )n je klesající a jistě je bn > an. Ověřili jsme tedy existenci limity poslounosti an (a zároveň vidíme, že je rovna limitě klesající posloupnosti bn). Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Definice Limita e = lim n 1 + 1 n n je jedním z nejdůležitějších čísel v matematice (vedle nuly, jedničky a Ludolfova čísla ). Nazýváme jej Eulerovým číslem e. Poznámka O číslu e lze dokázat, že je iracionální a transcendentní (tj. není kořenem nenulového polynomu s celočíselnými koeficienty) podobně jako Ludolfovo číslo . Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Přirozený logaritmus Exponenciální funkce ex je všude dobře definována a prostá, proto existuje všude i její funkce inverzní. Označujeme ji ln x a říkáme jí přirozený logaritmus nebo logaritmus se základem e. Je definována vztahem eln x = x. Z vlastností mocninných funkcí: ln(x y) = ln x + ln y, ln xy = y ln x. Pro obecnou exponenciální funkci ax se základem a = 1, a > 0 také existuje všude inverzní funkce. Říkáme jí logaritmus při základu a, píšeme loga x. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Limity příslušníků ZOO Příklad Určete lim x0 sin x x . Řešení Pro x (0, 2 ) platí sin x < x < tg x (viz obr.). A protože je pro tato x hodnota sin x > 0, je 1 < x sin x < 1 cos x , tj. cos x < sin x x < 1. Jelikož je funkce cos x spojitá (v nule), obě strany nerovnosti se pro x 0+ blíží k 1, a tedy podle věty o třech limitách je lim x0+ sin x x = 1. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Příklad Určete lim x0 1 - cos x x . Řešení Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu 0 0 . lim x0 1 - cos x x = lim x0 1 - cos x x 1 + cos x 1 + cos x = = lim x0 1 - cos2 x x 1 1 + cos x = lim x0 sin2 x x 1 1 + cos x = = lim x0 sin x x 1 sin x 0 1 1 + cos x 1 2 = 1 . 0 . 1 2 = 0. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Příklad Určete lim x0 ex - 1 x . Řešení Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu 0 0 . Pomocí nerovnosti 1 + x x+1 < ex < 1 + x 1-2x , pro x (0, 1 2), neboli 1 x+1 < ex -1 x < 1 1-2x , pro x (0, 1 2), dostaneme z věty o třech limitách, že limx0+ ex -1 x = 1. Podobně, platí 1 1-2x < ex -1 x < 1 x+1 , pro x (-1 2, 0), a tedy podle věty o třech limitách platí limx0ex -1 x = 1. Celkově tedy dostaneme lim x0 ex - 1 x = 1. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Příklad Určete lim x0 ln(1 + x) x . Řešení Z předchozího příkladu víme, že pro malé x je ex - 1 x, tedy je ex 1 + x. Logaritmováním obou stran dostaneme, že x ln(1 + x). Tedy platí, že lim x0 ln(1 + x) x = 1. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Příklad Určete lim x0 ax - 1 x . Řešení Dosazením za x = 0 dostaneme, že tato limita je typu 0 0 . Pomocí rovnosti ax = eln ax = ex ln a dostaneme lim x0 ax - 1 x = lim x0 ex ln a - 1 x ln a 1 ln a = ln a, a tedy je lim x0 ax - 1 x = ln a. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Derivace Definice Nechť f je reálná nebo komplexní funkce s definičním oborem A R a x0 A. Jestliže existuje limita lim xx0 f (x) - f (x0) x - x0 = a pak říkáme, že f má v bodě x0 derivaci a. Píšeme často a = f (x0) nebo a = df dx (x0) případně a = d dx f (x0). Derivace funkce je vlastní, resp. nevlastní, když je takovou příslušná limita. Jednostranné derivace (tj. derivaci zprava a zleva) definujeme zcela stejně pomocí limity zprava a zleva. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Analyzujme difereční podíl (viz obr.) f (x) - f (x0) x - x0 = tg , což je směrnice sečny procházející body M = [x0, f (x0)] a N = [x, f (x)] Pokud se x blíží k x0 (tj. bod N se blíží k bodu M), sečna MN se stává tečnou v bodě M, a tedy je f (x0) = lim xx0 f (x) - f (x0) x - x0 směrnicí tečny v bodě M = [x0, f (x0)]. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Příklad Určete rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = 1/x v bodě x0 = 1. Řešení Směrnici tečny získáme vypočtením příslušné limity lim x1 1 x - 1 x - 1 = lim x1 1-x x x-1 1 = = lim x1 1 - x x (x - 1) = lim x1 -1 x = -1. Rovnici tečny pak dostaneme ze vztahu y - f (x0) = f (x0)(x - x0), tj. y = -x + 2. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Poznámka Derivace f (x0) (jako limita) je vždy limitou typu 0 0. Každá funkce má v libovolném bodě x0 nejvýše jednu derivaci. Hodnota f (x0) popisuje rychlost změny funkce f (x) v bodě x0 (růst nebo pokles a současně velikost tohoto růstu nebo poklesu). Položíme-li h := x - x0, dostaneme f (x0) = lim xx0 f (x) - f (x0) x - x0 = lim h0 f (x0 + h) - f (x0) h . Tečna y = f (x0) + f (x0)(x - x0) dobře aproximuje funkci f v dostatečně malém okolí bodu x0. Aby mohla mít funkce f (x) derivaci v bodě x0, musí být definována na nějakém okolí bodu x0 (včetně bodu x0)! f (x0) někdy píšeme jako df dx (x0), nebo jako f (x) x=x0 . Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Příklad Určete derivaci funkce f (x) = x v bodech x0 D(f ). Řešení Zřejmě je D(f ) = [0, ). Pro x0 > 0 je f (x0) = lim xx0 x - x0 x - x0 = lim xx0 x - x0 x - x0 x + x0 x + x0 = = lim xx0 x - x0 (x - x0) ( x + x0) = lim xx0 1 x + x0 = 1 2 x0 . Pro x0 = 0 derivace neexistuje (je to krajní bod definičního oboru, a tudíž v něm neexistuje limita ­ existuje zde pouze limita zprava). Vypočtěme tedy derivaci zprava: f+(0) = limx0+ x- 0 x-0 = limx0+ x x = limx0+ 1 x = . Funkce f (x) = x tedy má v počátku nevlastní pravostrannou derivaci f+(0) = , neboli tečna v bodě x0 = 0 je svislá přímka. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Již na první přednášce jsme pomocí binomické věty odvodili vztah pro derivaci monomů (xn ) = nxn-1 , podobně můžeme odvodit vztahy pro derivaci dalších elementárních funkcí. Pokud se na bod x0 budeme dívat jako na proměnnou, potom můžeme derivaci chápat jako zobrazení, které každému bodu x přiřadí hodnotu f (x) (pokud je tato hodnota vlastní). Tedy f (x) je opět funkce proměnné x, přičemž pro její definiční obor platí, že D(f ) D(f ). Tedy prozatím odvozené vztahy pro derivace můžeme shrnout jako (xn ) = nxn-1 , n N, 1 x = - 1 x2 , ( x) = 1 2 x . Má-li funkce f (x) derivaci v každém bodě množiny (např. intervalu) I, pak říkáme, že f (x) je diferencovatelná na I. Např. xn je diferencovatelná na R, nebo 1 x je diferencovatelná na (0, ) a na (-, 0). Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Derivace v praxi rychlost Je-li s(t) poloha hmotného bodu na přímce v čase t, potom je výraz celková dráha celkový čas = s(t) - s(t0) t - t0 roven průměrné rychlosti za časový úsek [t0, t]. Zřejmě je pak lim tt0 s(t) - s(t0) t - t0 = s (t0) rychlost v okamžiku t0, a tedy je v(t) = s (t), rychlost je derivace dráhy. Zde je nutné vzít v úvahu, že rychlost v(t) má znaménko, tj. v(t) > 0 ve směru pohybu, kdy se s(t) zvětšuje a v(t) < 0, když se s(t) zmenšuje. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace zrychlení Protože je zrychlení a(t) změna rychlosti, podobně platí, že lim tt0 v(t) - v(t0) t - t0 = v (t0) je zrychlení v okamžiku t0, a tedy je a(t) = v (t), zrychlení je derivace rychlosti. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace výkon Protože platí, že výkon = změna práce změna času , je P(t) = W (t), výkon je derivace práce. proud Protože platí, že elektrický proud = změna napětí změna času , je I(t) = U (t), proud je derivace napětí. Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Vlastnosti a pravidla derivací V tomto odstavci odvodíme základní vlastnosti funkce a její derivace a pravidla pro počítání derivací. Věta Má-li f (x) v bodě x0 vlastní derivaci f (x0), potom je funkce f (x) spojitá v bodě x0. Důkaz. Chceme ukázat, že limxx0 f (x) = f (x0). Protože existuje vlastní f (x0) je lim xx0 f (x) = lim xx0 [f (x) - f (x0) + f (x0)] = = lim xx0 f (x) - f (x0) x - x0 f (x0) (x - x0) 0 + f (x0) f (x0) = f (x0) . 0 + f (x0) = f (x0). Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Pravidla pro derivace Věta 1 Pravidlo konstantního násobku: c f (x) = c f (x). 2 Pravidlo součtu a rozdílu: f (x) g(x) = f (x) g (x). 3 Pravidlo součinu: f (x) . g(x) = f (x) . g(x) + f (x) . g (x). 4 Pravidlo podílu: f (x) g(x) = f (x) . g(x) - f (x) . g (x) [g(x)]2 . Spojitost Přírůstky do ZOO Derivace Důkaz. Pravidla (i) a (ii) jsou triviální z definice derivace (jako limity). Ukážeme pravidlo součinu: (f . g) (x0) = lim xx0 f (x) . g(x) - f (x0) . g(x0) x - x0 = lim xx0 f (x) . g(x) - f (x0) . g(x) + f (x0) . g(x) - f (x0) . g(x0) x - x0 = lim xx0 f (x) - f (x0) x - x0 f (x0) g(x) g(x0) + f (x0) f (x0) g(x) - g(x0) x - x0 g (x0) = f (x0) . g(x0) + f (x0) . g (x0),