Nevlastní integrály Nekonečné řady Matematika II ­ 10. přednáška Nevlastní integrály, nekonečné řady Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 19. 11. 2008 Nevlastní integrály Nekonečné řady Obsah přednášky 1 Nevlastní integrály 2 Nekonečné řady Základní pojmy Nekonečné řady s nezápornými členy Kritéria konvergence Řady absolutně a relativně konvergentní Nevlastní integrály Nekonečné řady Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Nevlastní integrály Nekonečné řady Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka ­ Nekonečné řady s programem Maple, CD, e-text a videozáznamy, http://www.math.muni.cz/~plch/nkpm. Nevlastní integrály Nekonečné řady Plán přednášky 1 Nevlastní integrály 2 Nekonečné řady Základní pojmy Nekonečné řady s nezápornými členy Kritéria konvergence Řady absolutně a relativně konvergentní Nevlastní integrály Nekonečné řady Stejně jako je b a f plocha mezi grafem (ohraničené) funkce f (x) a osou x na (konečném) intervalu [a, b], můžeme chtít najít tuto plochu na neohraničeném intervalu [a, ), (-, b], (-, ), případně i pro neohraničenou funkci f (x). Dostáváme se tak k pojmu nevlastního integrálu a f , b f , f . Přitom, jak uvidíme, všechna pravidla pro výpočet integrálu zůstávají zachována, jen je potřeba dávat pozor na neurčité výrazy (obsahující symbol ) a ty pak spočítat pomocí limity. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Plocha pod ohraničenou funkcí f (x) = 1 x2 na intervalu [1, ) je 1 1 x2 dx = - 1 x 1 = - 1 - (-1) = 0 + 1 = 1. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Plocha pod ohraničenou funkcí f (x) = 1 x2 na intervalu [1, ) je 1 1 x2 dx = - 1 x 1 = - 1 - (-1) = 0 + 1 = 1. Plocha pod neohraničenou funkcí f (x) = 1 x2 na intervalu (0, 1] je 1 0 1 x2 dx = - 1 x 1 0 = (-1) - - 1 0+ = -1 + = . Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Plocha pod ohraničenou funkcí f (x) = 1 x2 na intervalu [1, ) je 1 1 x2 dx = - 1 x 1 = - 1 - (-1) = 0 + 1 = 1. Plocha pod neohraničenou funkcí f (x) = 1 x2 na intervalu (0, 1] je 1 0 1 x2 dx = - 1 x 1 0 = (-1) - - 1 0+ = -1 + = . Plocha pod ohraničenou funkcí f (x) = 1 x na intervalu [1, ) je 1 1 x dx = ln x 1 = ln - ln 1 = - 0 = . Nevlastní integrály Nekonečné řady Definice (Nevlastní integrál 1. druhu ­ nekonečný integrál) Nechť je funkce f (x) definována na intervalu [a, ). Existuje-li vlastní limita lim b b a f (x) dx = L, potom říkáme, že nevlastní integrál a f (x) dx konverguje a klademe a f (x) dx = L. Nevlastní integrály Nekonečné řady Definice (Nevlastní integrál 1. druhu ­ nekonečný integrál) Nechť je funkce f (x) definována na intervalu [a, ). Existuje-li vlastní limita lim b b a f (x) dx = L, potom říkáme, že nevlastní integrál a f (x) dx konverguje a klademe a f (x) dx = L. Podobně hovoříme o divergenci integrálu. Nevlastní integrály Nekonečné řady Definice (Nevlastní integrál 1. druhu ­ nekonečný integrál) Nechť je funkce f (x) definována na intervalu [a, ). Existuje-li vlastní limita lim b b a f (x) dx = L, potom říkáme, že nevlastní integrál a f (x) dx konverguje a klademe a f (x) dx = L. Podobně hovoříme o divergenci integrálu. Obdobně pro interval [-, b]. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Vypočtěte nevlastní integrál pro jeden z typů parciálních zlomků 0 x (x2 + a2)2 dx, a = 0. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Vypočtěte nevlastní integrál pro jeden z typů parciálních zlomků 0 x (x2 + a2)2 dx, a = 0. Řešení Pomocí substituce dostaneme 0 x (x2 + a2)2 dx = x2 = t 2x dx = dt x = 0 t = 0 x = t = = = 1 2 0 1 (t + a2)2 dt = 1 2 - 1 t + a2 0 = = 1 2 - lim t 1 t + a2 = 0 - - 1 a2 = 1 2a2 . Nevlastní integrály Nekonečné řady Někdy lze podobným způsobem s využitím pravidla návaznosti vypočítat i nevlastní integrál přes (oboustranně) nekonečný interval (-, ), Nevlastní integrály Nekonečné řady Někdy lze podobným způsobem s využitím pravidla návaznosti vypočítat i nevlastní integrál přes (oboustranně) nekonečný interval (-, ), Příklad V pravděpodobnosti a statistice se často používá nevlastní integrál 1 2 - e-x2 2 dx = 1, přičemž funkce f (x) := 1 2 e-x2 2 se nazývá hustota pravděpodobnosti (standardního) normálního rozdělení. Protože je tato funkce f (x) sudá, zřejmě je pak 0 e-x2 2 dx = 2 2 = 2 1.2533. Nevlastní integrály Nekonečné řady Obdobně jako v případě nekonečného integrálu lze postupovat i v případě funkce, která je v okolí bodu a nebo b neohraničená. Nevlastní integrály Nekonečné řady Obdobně jako v případě nekonečného integrálu lze postupovat i v případě funkce, která je v okolí bodu a nebo b neohraničená. Definice (Nevlastní integrál 2. druhu) Nechť je neohraničená funkce f (x) definována na intervalu (a, b]. Existuje-li vlastní (pravostranná) limita lim a+ b f (x) dx = L, říkáme, že nevlastní integrál b a f (x) dx konverguje a klademe b a f (x) dx = L. Nevlastní integrály Nekonečné řady Obdobně jako v případě nekonečného integrálu lze postupovat i v případě funkce, která je v okolí bodu a nebo b neohraničená. Definice (Nevlastní integrál 2. druhu) Nechť je neohraničená funkce f (x) definována na intervalu (a, b]. Existuje-li vlastní (pravostranná) limita lim a+ b f (x) dx = L, říkáme, že nevlastní integrál b a f (x) dx konverguje a klademe b a f (x) dx = L. Pokud je tato limita nevlastní, říkáme, že integrál diverguje. Nevlastní integrály Nekonečné řady Obdobně jako v případě nekonečného integrálu lze postupovat i v případě funkce, která je v okolí bodu a nebo b neohraničená. Definice (Nevlastní integrál 2. druhu) Nechť je neohraničená funkce f (x) definována na intervalu (a, b]. Existuje-li vlastní (pravostranná) limita lim a+ b f (x) dx = L, říkáme, že nevlastní integrál b a f (x) dx konverguje a klademe b a f (x) dx = L. Pokud je tato limita nevlastní, říkáme, že integrál diverguje. Podobně i v případě funkce definované na intervalu [a, b) a definice nevlastního integrálu b a f (x) dx pomocí (levostranné) limity limb- a f (x) dx. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Určete plochu pod grafem funkce f (x) = 1 1-x2 na intervalu (-1, 1). Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Určete plochu pod grafem funkce f (x) = 1 1-x2 na intervalu (-1, 1). Řešení Funkce f (x) = 1 1-x2 je na intervalu (-1, 1) neohraničená a sudá. Plochu vypočítáme jako dvojnásobek plochy na intervalu [0, 1). P = 2 1 0 1 1 - x2 dx = 2 arcsin x 1 0 = 2 lim x1arcsin x - arcsin 0 = 2 (arcsin 1 - arcsin 0) = 2 2 - 0 = . Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Určete plochu pod grafem funkce f (x) = 1 1-x2 na intervalu (-1, 1). Řešení Funkce f (x) = 1 1-x2 je na intervalu (-1, 1) neohraničená a sudá. Plochu vypočítáme jako dvojnásobek plochy na intervalu [0, 1). P = 2 1 0 1 1 - x2 dx = 2 arcsin x 1 0 = 2 lim x1arcsin x - arcsin 0 = 2 (arcsin 1 - arcsin 0) = 2 2 - 0 = . V tomto případě limita ani není potřeba, protože primitivní funkce F(x) = arcsin x k funkci f (x) = 1 1-x2 je spojitá v bodě x = 1 a tedy P = 1 -1 1 1-x2 dx = arcsin x 1 -1 = 2 - - 2 = . Nevlastní integrály Nekonečné řady Plán přednášky 1 Nevlastní integrály 2 Nekonečné řady Základní pojmy Nekonečné řady s nezápornými členy Kritéria konvergence Řady absolutně a relativně konvergentní Nevlastní integrály Nekonečné řady V této kapitole se budeme věnovat součtům nekonečně mnoha sčítanců ­ buď čísel nebo mocnin. Jako motivace nám může sloužit geometrická řada, kterou jistě znáte ze střední školy, případně Taylorův polynom funkce f (x) pro libovolně velká n. To následně vede k vyjádření (tedy i obráceně, k možné definici) všech elementárních funkcí pomocí polynomů nekonečného stupně, tedy pomocí nekonečných mocninných řad. Nevlastní integrály Nekonečné řady V této kapitole se budeme věnovat součtům nekonečně mnoha sčítanců ­ buď čísel nebo mocnin. Jako motivace nám může sloužit geometrická řada, kterou jistě znáte ze střední školy, případně Taylorův polynom funkce f (x) pro libovolně velká n. To následně vede k vyjádření (tedy i obráceně, k možné definici) všech elementárních funkcí pomocí polynomů nekonečného stupně, tedy pomocí nekonečných mocninných řad. Budeme pracovat s posloupností reálných čísel {a0, a1, a2, . . . , an, . . . } = an n=0 . Definice (Nekonečná řada) Součet tvaru a0 + a1 + a2 + + an + = n=0 an nazýváme nekonečnou (číselnou) řadou. Číslo an se nazývá n­tý člen. Číslo sn := a0 + a1 + a2 + + an, n = 0, 1, 2, . . . se nazývá n­tý částečný součet této nekonečné řady. Nevlastní integrály Nekonečné řady Geometrická řada Geometrická řada je součet tvaru a + aq + aq2 + aq3 + + aqn + = n=0 aqn , kde a, q R jsou pevně zvolená čísla, je to tedy nekonečná řada pro an := aqn. Číslo q se nazývá kvocient geometrické řady, přičemž q může být kladné či záporné. Nevlastní integrály Nekonečné řady Geometrická řada Geometrická řada je součet tvaru a + aq + aq2 + aq3 + + aqn + = n=0 aqn , kde a, q R jsou pevně zvolená čísla, je to tedy nekonečná řada pro an := aqn. Číslo q se nazývá kvocient geometrické řady, přičemž q může být kladné či záporné. Posloupnost částečných součtů je sn = a + aq + aq2 + + aqn-1 + aqn , odkud qsn = aq + aq2 + aq3 + + aqn + aqn+1 a odečtením dostaneme sn (1 - q) = a (1 - qn+1 ). Pro q = 1 je zřejmě sn = (n + 1)a, je-li q = 1, potom je sn = a 1 - qn+1 1 - q . Nevlastní integrály Nekonečné řady Součet nekonečné řady Definice Existuje-li vlastní limita limn sn = s, potom říkáme, že nekonečná řada n=0 an konverguje k číslu s, nebo také že má součet s, a píšeme n=0 an = s. Nevlastní integrály Nekonečné řady Součet nekonečné řady Definice Existuje-li vlastní limita limn sn = s, potom říkáme, že nekonečná řada n=0 an konverguje k číslu s, nebo také že má součet s, a píšeme n=0 an = s. Existuje-li nevlastní limita limn sn = , potom říkáme, že nekonečná řada n=0 an diverguje k a píšeme n=0 an = . Nevlastní integrály Nekonečné řady Součet nekonečné řady Definice Existuje-li vlastní limita limn sn = s, potom říkáme, že nekonečná řada n=0 an konverguje k číslu s, nebo také že má součet s, a píšeme n=0 an = s. Existuje-li nevlastní limita limn sn = , potom říkáme, že nekonečná řada n=0 an diverguje k a píšeme n=0 an = . Pokud limita limn sn neexistuje, potom říkáme, že nekonečná řada n=0 an osciluje. Nevlastní integrály Nekonečné řady Věta (Konvergence a divergence geometrické řady) Geometrická řada n=0 aqn konverguje pro a = 1, právě když |q| < 1. V případě konvergence je pak její součet n=0 aqn = a 1 - q . Důkaz. Zřejmý z toho, že sn = a 1 - qn+1 1 - q . Posloupnost qn+1 n=0 konverguje k 0, právě když je |q| < 1, k pro q 1 a nemá limitu pro q -1. Odtud pro |q| < 1 dostáváme lim n sn = a 1 - q . Nevlastní integrály Nekonečné řady Jestliže má daná nekonečná řada konvergovat, musí se zřejmě její členy postupně zmenšovat (v absolutní hodnotě) k nule, jinak by poslouplnost částečných součtů nemohla konvergovat ke konečnému číslu. Platí tedy následující. Věta (nutná podmínka konvergence) Jestliže nekonečná řada n=0 an konverguje, potom nutně platí lim n an = 0. Nevlastní integrály Nekonečné řady Jestliže má daná nekonečná řada konvergovat, musí se zřejmě její členy postupně zmenšovat (v absolutní hodnotě) k nule, jinak by poslouplnost částečných součtů nemohla konvergovat ke konečnému číslu. Platí tedy následující. Věta (nutná podmínka konvergence) Jestliže nekonečná řada n=0 an konverguje, potom nutně platí lim n an = 0. Důkaz. Konvergence řady n=0 an implikuje lim sn = s R a protože an = sn - sn+1, zřejmě lim an = lim(sn - sn-1) = s - s = 0. Nevlastní integrály Nekonečné řady Harmonická řada Předchozí podmínka je skutečně pouze podmínkou nutnou: Příklad Řada 1= 1 n n se nazývá harmonická (každý její člen je harmonickým půměrem dvou sousedních členů (tj. 1 an = 1 2( 1 an-1 + 1 an+1 ) ). Nevlastní integrály Nekonečné řady Harmonická řada Předchozí podmínka je skutečně pouze podmínkou nutnou: Příklad Řada 1= 1 n n se nazývá harmonická (každý její člen je harmonickým půměrem dvou sousedních členů (tj. 1 an = 1 2( 1 an-1 + 1 an+1 ) ). Zřejmě je limn 1 n = 0, přitom ale řada diverguje, neboť s1 = 1, s2 = 1 + 1 2 , s4 > s2 + 2 1 4 = 1 + 2 1 2 s8 > s4 + 4 1 8 = 1 + 3 1 2 , s16 > s8 + 8 1 16 = 1 + 4 1 2 ... sn > 1 + n 1 2 , odkud je snadno vidět, že n 1=sn diverguje. Nevlastní integrály Nekonečné řady Pravidla pro nekonečné řady Přímo z definice díky obodbným vlastnostem limit plyne následující věta. Věta Nechť nekonečné řady n=0 an a n=0 bn konvergují a nechť platí n=0 an = A, n=0 bn = B. Pak platí: Nevlastní integrály Nekonečné řady Pravidla pro nekonečné řady Přímo z definice díky obodbným vlastnostem limit plyne následující věta. Věta Nechť nekonečné řady n=0 an a n=0 bn konvergují a nechť platí n=0 an = A, n=0 bn = B. Pak platí: 1 pravidlo konstantního násobku: pro libovolné c R nekonečná řada n=0 c . an konverguje a platí n=0 c . an = c n=0 an = c . A. Nevlastní integrály Nekonečné řady Pravidla pro nekonečné řady Přímo z definice díky obodbným vlastnostem limit plyne následující věta. Věta Nechť nekonečné řady n=0 an a n=0 bn konvergují a nechť platí n=0 an = A, n=0 bn = B. Pak platí: 1 pravidlo konstantního násobku: pro libovolné c R nekonečná řada n=0 c . an konverguje a platí n=0 c . an = c n=0 an = c . A. 2 Pravidlo součtu a rozdílu: nekonečná řada n=0 (an bn) konverguje a platí (an bn) = an bn = A B. Nevlastní integrály Nekonečné řady Předchozí věta nic neříká o součinu (a podílu) nekonečných řad. Tato problematika je mnohem složitější, než se na první pohled zdá, a kolem součinu řad existuje celá teorie (protože existují různé součiny nekonečných řad). Uvědomte si totiž, že při násobení mnohočlenů platí (a0 + a1 + + an) (b0 + b1 + + bn) = a0b0 + a0b1 + + a0bn + a1b0 + a1b1 + + a1bn + + anbn, tedy dostáváme nejen diagonální součiny ai bi , ale také všechny smíšené součiny ai bj . A pro součin takovýchto nekonečných mnohočlenů (tedy pro součin nekonečných řad) bude situace ještě mnohem složitější, protože bude záležet na tom, jakým způsobem výsledný součet jednotlivých součinů uspořádáme (viz později uvedené příklady). Nevlastní integrály Nekonečné řady Pro nekonečné řady s nezápornými členy existuje několik kritérií pro určení jejich konvergence/divergence. Všechna kritéria jsou založena na faktu, že pro řadu s nezápornými členy je její posloupnost částečných součtů neklesající. Nevlastní integrály Nekonečné řady Pro nekonečné řady s nezápornými členy existuje několik kritérií pro určení jejich konvergence/divergence. Všechna kritéria jsou založena na faktu, že pro řadu s nezápornými členy je její posloupnost částečných součtů neklesající. A pokud je tedy neklesající posloupnost sn n=0 shora ohraničená, musí mít limitu (rovnu svému supremu). Tedy každá nekonečná řada s nezápornými členy buď konverguje nebo diverguje k (tj. nemůže divergovat k - ani oscilovat). Nevlastní integrály Nekonečné řady Pro nekonečné řady s nezápornými členy existuje několik kritérií pro určení jejich konvergence/divergence. Všechna kritéria jsou založena na faktu, že pro řadu s nezápornými členy je její posloupnost částečných součtů neklesající. A pokud je tedy neklesající posloupnost sn n=0 shora ohraničená, musí mít limitu (rovnu svému supremu). Tedy každá nekonečná řada s nezápornými členy buď konverguje nebo diverguje k (tj. nemůže divergovat k - ani oscilovat). Věta (srovnávací kritérium) Nechť an n=0 a bn n=0 jsou posloupnosti nezáporných čísel, pro které platí 0 an bn pro všechna n od jistého n0 1 Jestliže n=0 bn konverguje, potom také konverguje řada n=0 an. 2 Jestliže n=0 an diverguje k , potom také řada n=0 bn diverguje k . Nevlastní integrály Nekonečné řady Pro použití srovnávacího kritéria je zřejmě potřeba mít v zásobě nějaký soubor nekonečných řad, o kterých víme, že jsou konvergentní/divergentní. Příklad Nekonečná řada 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + = n=0 1 n! konverguje podle srovnávacího kritéria, protože všechny její členy lze shora omezit příslušnými členy konvergentní řady 1 + 1 + 1 2 + 1 22 + 1 23 + = 1 + n=0 1 2n . Pro součet uvedené řady pak zřejmě platí odhad n=0 1 n! < 1 + n=0 1 2n = 1 + 1 1 - 1 2 = 1 + 2 = 3. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Nekonečná řada ln 1 1 + ln 2 2 + ln 3 3 + = n=1 ln n n diverguje k podle srovnávacího kritéria, protože její členy lze zdola omezit příslušnými členy (divergentní) harmonické řady, tj. platí ln n n 1 n pro všechna n 2. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Nekonečná řada n=1 1 n2 konverguje podle srovnávacího kritéria, protože pro n 2 platí 1 n2 < 1 n(n-1) a řada n=2 1 (n - 1)n = n=1 1 n(n + 1) konverguje, neboť jde o teleskopickou řadu, jejíž částečné součty mají tvar sn = 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + + 1 n - 1 n + 1 = 1 - 1 n + 1 a tedy limn sn = 1. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Nekonečná řada n=1 1 n2 konverguje podle srovnávacího kritéria, protože pro n 2 platí 1 n2 < 1 n(n-1) a řada n=2 1 (n - 1)n = n=1 1 n(n + 1) konverguje, neboť jde o teleskopickou řadu, jejíž částečné součty mají tvar sn = 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + + 1 n - 1 n + 1 = 1 - 1 n + 1 a tedy limn sn = 1. Součet řady je n=1 1 n2 je tedy shora omezen číslem 2. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Nekonečná řada n=1 1 n2 konverguje podle srovnávacího kritéria, protože pro n 2 platí 1 n2 < 1 n(n-1) a řada n=2 1 (n - 1)n = n=1 1 n(n + 1) konverguje, neboť jde o teleskopickou řadu, jejíž částečné součty mají tvar sn = 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + + 1 n - 1 n + 1 = 1 - 1 n + 1 a tedy limn sn = 1. Součet řady je n=1 1 n2 je tedy shora omezen číslem 2. Vyčíslení této řady je z historie známo jako basilejský problém, který vyřešil v roce 1735 Leonhard Euler (důkaz viz wikipedia nebo si počkejte na Taylorovy a Fourierovy řady). Nevlastní integrály Nekonečné řady Věta (integrální kritérium) Nechť n=0 an je nekonečná řada s nezápornými členy. Nechť f (x) je funkce definovaná na intervalu [N, ) pro nějaké N [0, ), která je na tomto intervalu nezáporná, nerostoucí a platí f (n) = an pro všechna n N. Potom n=0 an konverguje N f (x) dx konverguje, n=0 an diverguje k N f (x) dx = . Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Harmonická řada n=1 1 n diverguje k podle integrálního kritéria, protože funkce f (x) := 1 x je na intervalu [1, ) kladná, klesající a platí f (n) = 1 n pro n 1, přičemž je nevlastní integrál 1 1 x dx = . Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Určete, pro které mocniny p R nekonečná řada n=1 1 np konverguje či diverguje. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Určete, pro které mocniny p R nekonečná řada n=1 1 np konverguje či diverguje. Řešení Pro p < 0 jde o řadu n=1 n-p, která má nezáporné rostoucí, proto diverguje k . Rovněž v prípadech p = 0, 1 řada zřejmě diverguje. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Určete, pro které mocniny p R nekonečná řada n=1 1 np konverguje či diverguje. Řešení Pro p < 0 jde o řadu n=1 n-p, která má nezáporné rostoucí, proto diverguje k . Rovněž v prípadech p = 0, 1 řada zřejmě diverguje. Pro p > 0, p = 1 je funkce f (x) = 1 xp na intervalu [1, ) kladná, klesající a platí f (n) = 1 np pro n 1. Vyšetříme konvergenci nevlastního integrálu 1 1 xp dx. Máme 1 1 xp dx = x-p+1 -p + 1 1 = lim x x1-p 1 - p - 1 1 - p . Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Určete, pro které mocniny p R nekonečná řada n=1 1 np konverguje či diverguje. Řešení Pro p < 0 jde o řadu n=1 n-p, která má nezáporné rostoucí, proto diverguje k . Rovněž v prípadech p = 0, 1 řada zřejmě diverguje. Pro p > 0, p = 1 je funkce f (x) = 1 xp na intervalu [1, ) kladná, klesající a platí f (n) = 1 np pro n 1. Vyšetříme konvergenci nevlastního integrálu 1 1 xp dx. Máme 1 1 xp dx = x-p+1 -p + 1 1 = lim x x1-p 1 - p - 1 1 - p . Odtud snadno plyne divergence pro p > 1 a konvergence pro p (0, 1). Nevlastní integrály Nekonečné řady Věta (podílové kritérium) Nechť n=0 an je nekonečná řada s kladnými členy a předpokládejme, že existuje (vlastní nebo nevlastní) limita lim n an+1 an = q. Nevlastní integrály Nekonečné řady Věta (podílové kritérium) Nechť n=0 an je nekonečná řada s kladnými členy a předpokládejme, že existuje (vlastní nebo nevlastní) limita lim n an+1 an = q. Potom 1 tato řada konverguje, pokud je q < 1, 2 tato řada diverguje k , pokud je q > 1 nebo q = , 3 tento test nedává odpověď , pokud je q = 1. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Pro nekonečnou řadu n=1 n! nn = 1 1 + 2! 22 + 3! 33 + 4! 44 + . . . platí an+1 an = (n+1)! (n+1)n+1 n! nn = (n + 1)! . nn (n + 1)n+1 . n! = (n + 1) . n! . nn (n + 1)n . (n + 1) . n! = = nn (n + 1)n = n n + 1 n = 1 n+1 n n = 1 1 + 1 n n 1 e < 1, přičemž ve výpočtu jsme použili limitu definující Eulerovo číslo e. Uvedená řada tedy konverguje podle podílového kritéria. Nevlastní integrály Nekonečné řady Věta (odmocninové kritérium) Nechť n=0 an je nekonečná řada s nezápornými členy pro všechna n N pro nějaké N N {0} a předpokládejme, že existuje (vlastní nebo nevlastní) limita limn n an = q. Nevlastní integrály Nekonečné řady Věta (odmocninové kritérium) Nechť n=0 an je nekonečná řada s nezápornými členy pro všechna n N pro nějaké N N {0} a předpokládejme, že existuje (vlastní nebo nevlastní) limita limn n an = q. Potom 1 tato řada konverguje, pokud je q < 1, 2 tato řada diverguje k , pokud je q > 1 nebo q = , 3 tento test nedává odpověď, pokud je q = 1. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Pro nekonečnou řadu n=0 an = 1 21 + 1 22 + 3 23 + 1 24 + 5 25 + 1 26 + 7 27 + . . . , tj. an = n 2n , pro n liché, 1 2n , pro n sudé, s podílovým kritériem neuspějeme, Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Pro nekonečnou řadu n=0 an = 1 21 + 1 22 + 3 23 + 1 24 + 5 25 + 1 26 + 7 27 + . . . , tj. an = n 2n , pro n liché, 1 2n , pro n sudé, s podílovým kritériem neuspějeme, zatímco odmocninové kritérium použít lze, neboť n an = n n 2n = n n 2 , pro n liché, n 1 2n = 1 2, pro n sudé. Platí tedy nerovnosti 1 2 n an n n 2 pro všechna n N. Limita výrazu na pravé straně se spočte přes exponenciální funkci a ľHospitalovo pravidlo: limn n n = limn n 1 n = limn e 1 n ln n = elimn ln n n = elimn 1 n 1 = e0 = 1. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Všimněte si, že podílové ani odmocninové kritérium nelze použít pro vyšetření konvergence/divergence nekonečné řady n=1 1 np , protože pro podílové kritérium je q = lim n an+1 an = lim n 1 (n+1)p 1 np = lim n n n + 1 p = = lim n n n + 1 p = 1p = 1, Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Všimněte si, že podílové ani odmocninové kritérium nelze použít pro vyšetření konvergence/divergence nekonečné řady n=1 1 np , protože pro podílové kritérium je q = lim n an+1 an = lim n 1 (n+1)p 1 np = lim n n n + 1 p = = lim n n n + 1 p = 1p = 1, a pro odmocninové kritérium je q = lim n n an = lim n 1 n np = lim n 1 n n p = = 1 limn n n p = 1 1p = 1. Zde jsme opět použili limitu limn n n = 1. Nevlastní integrály Nekonečné řady Alternující řady Uveďme ještě kritérium konvergence pro nekonečné řady, jejichž členy mění znaménka. Definice Nechť an n=0 je posloupnost nezáporných čísel. Potom se nekonečná řada a0 - a1 + a2 - a3 + = n=0 (-1)n an, případně -a0 + a1 - a2 + a3 - = n=0 (-1)n+1 an, nazývá alternující řada. Nevlastní integrály Nekonečné řady Alternující řady Uveďme ještě kritérium konvergence pro nekonečné řady, jejichž členy mění znaménka. Definice Nechť an n=0 je posloupnost nezáporných čísel. Potom se nekonečná řada a0 - a1 + a2 - a3 + = n=0 (-1)n an, případně -a0 + a1 - a2 + a3 - = n=0 (-1)n+1 an, nazývá alternující řada. Pro alternující řady se nutná podmínka pro konvergenci stává i podmínkou postačující. Věta Jestliže je an n=0 nerostoucí posloupnost kladných čísel, potom nekonečná alternující řada n=0 (-1)n an konverguje, právě když platí limn(-1)n an = 0. Nevlastní integrály Nekonečné řady Řady absolutně a relativně konvergentní Nejprve si všimněme, že pokud konverguje řada absolutních hodnot, potom konverguje původní řada. Věta Jestliže konverguje řada n=0 |an|, potom konverguje také řada n=0 an. Nevlastní integrály Nekonečné řady Řady absolutně a relativně konvergentní Nejprve si všimněme, že pokud konverguje řada absolutních hodnot, potom konverguje původní řada. Věta Jestliže konverguje řada n=0 |an|, potom konverguje také řada n=0 an. Důkaz. Zřejmě pro každé n platí nerovnosti -|an| an |an|, 0 an + |an| 2 |an|. Tedy pokud n=0 |an| konverguje, konverguje také řada n=0 2 |an| (podle pravidla konstantního násobku). A dále, podle srovnávacího kritéria, konverguje také řada n=0 an + |an| . A protože platí rovnost an = an + |an| - |an|, máme n=0 an = n=0 an + |an| - n=0 |an|, odkud dostáváme řadu n=0 an jako rozdíl dvou konvergentních řad. Tedy tato řada také konverguje podle pravidla rozdílu. Nevlastní integrály Nekonečné řady Poznámka Opačná implikace ve větě zřejmě neplatí, protože např. alternující harmonická řada n=1 (-1)n-1 1 n konverguje ale příslušná řada absolutních hodnot je harmonická řada n=1 1 n , která diverguje k , Nevlastní integrály Nekonečné řady Poznámka Opačná implikace ve větě zřejmě neplatí, protože např. alternující harmonická řada n=1 (-1)n-1 1 n konverguje ale příslušná řada absolutních hodnot je harmonická řada n=1 1 n , která diverguje k , Definice Řada n=0 an konverguje absolutně (je absolutně konvergentní), pokud konverguje příslušná řada absolutních hodnot, tj. pokud konverguje řada n=0 |an|. Jestliže nekonečná řada n=0 an konverguje, ale nekonverguje absolutně, potom říkáme, že tato řada konverguje relativně (je relativně konvergentní). Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad 1 Alternující harmonická řada n=1 (-1)n-1 1 n konverguje relativně. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad 1 Alternující harmonická řada n=1 (-1)n-1 1 n konverguje relativně. 2 Nekonečná řada n=1 (-1)n-1 1 n2 konverguje absolutně, protože příslušná řada absolutních hodnot n=1 1 n2 konverguje. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad 1 Alternující harmonická řada n=1 (-1)n-1 1 n konverguje relativně. 2 Nekonečná řada n=1 (-1)n-1 1 n2 konverguje absolutně, protože příslušná řada absolutních hodnot n=1 1 n2 konverguje. Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad 1 Alternující harmonická řada n=1 (-1)n-1 1 n konverguje relativně. 2 Nekonečná řada n=1 (-1)n-1 1 n2 konverguje absolutně, protože příslušná řada absolutních hodnot n=1 1 n2 konverguje. Rozdíl mezi absolutně a relativně konvergentní řadou je zejména v tom, že členy absolutně konvergentní řady můžeme libovolně přeskládávat a nejenže dostaneme opět konvergentní řadu, ale tato nová přeskládaná řada bude mít stejný součet jako řada původní. Naproti tomu členy relativně konvergentní řady nelze přeskládávat vůbec. Lze totiž jednoduše ukázat, že různým přeskládáním téže relativně konvergentní řady lze vytvořit řadu divergující k , konvergující k libovolně předem zvolenému reálnému číslu, či řadu oscilující. To vyplývá z toho, že v relativně konvergentní řadě musí být součet všech kladných členů a součet všech záporných členů -, a při tom musí členy samotné konvergovat k nule. Nevlastní integrály Nekonečné řady Součin řad Příklad V tomto příkladu si ukážeme, že i když obě řady n=1 an a n=1 bn konvergují, potom řada n=1 (an . bn) konvergovat nemusí. Uvažujme nekonečné řady, kde an = bn := (-1)n-1 1 n . Potom jsou příslušné nekonečné řady konvergentní, což plyne z Leibnitzova kritéria, zatímco řada součinů n=1 (an . bn) = n=1 (-1)n-1 1 n 2 = n=1 1 n diverguje k . Nevlastní integrály Nekonečné řady Příklad Na druhou stranu může nastat i situace, že takováto řada součinů n=1 (an . cn) konverguje, přestože jedna z řad n=1 an nekonverguje. Vezměme si např. řadu n=1 cn = n=1 1 n , která diverguje k , zatímco řada součinů n=1 (an . cn) = n=1 (-1)n-1 1 n 1 n = n=1 (-1)n-1 1 n konverguje