Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Matematika II ­ 12. přednáška Aplikace řad funkcí Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2008 Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Obsah přednášky 1 Nekonečné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady 2 Aplikace nekonečných řad 3 Aproximace pomocí Fourierových řad Vzdálenost funkcí Ortogonální systémy Fourierovy řady Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka ­ Nekonečné řady s programem Maple, CD, e-text a videozáznamy, http://www.math.muni.cz/~plch/nkpm. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Plán přednášky 1 Nekonečné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady 2 Aplikace nekonečných řad 3 Aproximace pomocí Fourierových řad Vzdálenost funkcí Ortogonální systémy Fourierovy řady Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Pokud se v Taylorově polynomu budou brát členy se stále vyššími derivacemi (až do nekonečna), dostaneme Taylorovu řadu příslušnou k dané funkci f (x). Definice (Taylorova a Maclaurinova řada) Nechť f (x) je funkce, která má na nějakém intervalu (obsahujícím bod x0 jakožto vnitřní bod) derivace všech řádů. Taylorova řada se středem v bodě x0 příslušná k funkci f (x) je mocninná řada n=0 f (n)(x0) n! (x - x0)n = f (x0) + f (x0) (x - x0) + f (x0) 2 (x - x0)2 + f (x0) 3! (x - x0)3 + Tzn. Taylorova řada je mocninná řada se středem v bodě x0 a koeficienty an = f (n)(x0) n! . Pokud je x0 = 0, potom se Taylorova řada nazývá Maclaurinovou řadou příslušnou k funkci f (x). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Příklad Protože má funkce f (x) = sin x derivace všech řádů a hodnoty funkce sin x a jejích derivací v bodě x0 = 0 jsou postupně 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, atd., Maclaurinova řada pro funkci sin x je tvaru n=0 (-1)n (2n + 1)! x2n+1 = x - 1 3! x3 + 1 5! x5 - 1 7! x7 + . . . . Její poloměr konvergence je R = . Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Příklad Protože má funkce f (x) = sin x derivace všech řádů a hodnoty funkce sin x a jejích derivací v bodě x0 = 0 jsou postupně 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, atd., Maclaurinova řada pro funkci sin x je tvaru n=0 (-1)n (2n + 1)! x2n+1 = x - 1 3! x3 + 1 5! x5 - 1 7! x7 + . . . . Její poloměr konvergence je R = . Protože má funkce f (x) = ex derivace všech řádů a hodnoty funkce ex a jejích derivací v bodě x0 = 0 jsou všechny rovny 1, Maclaurinova řada pro funkci ex je tvaru n=0 1 n! xn = 1 + x + 1 2! x2 + 1 3! x3 + 1 4! x4 + 1 5! x5 + . . . . Její poloměr konvergence je R = . Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Příklad Funkce f (x) := e- 1 x2 , pro x = 0, 0, pro x = 0, je spojitá a má derivace všech řádů na celém R. V bodě x0 = 0 toto lze ukázat pomocí výpočtu jednostranných derivací f-(0) a f+(0), f-(0) a f+(0). Zejména jsou všechny tyto derivace v bodě x0 = 0 rovny 0. Tedy příslušná Maclaurinova řada je tvaru n=0 f (n)(0) n! xn = 0 + 0 . x + 0 2 x2 + 0 3! x3 + = 0. Tedy jedná se o nulovou řadu, která samozřejmě konverguje pro všechna x R k nulové funkci s(x) 0, která není rovna původní funkci f (x). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Otázku, kdy Taylorova (Maclaurinova) řada funkce f (x) konverguje k funkci f (x), zodpovídá následující tvrzení, které je bezprostředním důsledkem obdobné věty o Taylorově polynomu. Věta (o konvergenci Taylorovy řady) 1 Taylorova řada funkce f (x) konverguje na svém konvergenčním intervalu I k funkci f (x), tj. platí rovnost f (x) = n=0 f (n)(x0) n! (x - x0)n pro všechna x I, pro posloupnost Taylorových zbytků Rn(x) n=0 platí limn Rn(x) = 0 pro všechna x I. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Otázku, kdy Taylorova (Maclaurinova) řada funkce f (x) konverguje k funkci f (x), zodpovídá následující tvrzení, které je bezprostředním důsledkem obdobné věty o Taylorově polynomu. Věta (o konvergenci Taylorovy řady) 1 Taylorova řada funkce f (x) konverguje na svém konvergenčním intervalu I k funkci f (x), tj. platí rovnost f (x) = n=0 f (n)(x0) n! (x - x0)n pro všechna x I, pro posloupnost Taylorových zbytků Rn(x) n=0 platí limn Rn(x) = 0 pro všechna x I. 2 Zejména, pokud jsou všechny derivace f (n)(x) stejně ohraničené na intervalu I, potom Taylorova řada konverguje k f (x). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Maclaurinovy řady elementárních funkcí sin x = n=0 (-1)n (2n + 1)! x2n+1 pro x R. cos x = n=0 (-1)n (2n)! x2n pro x R. ex = n=0 1 n! xn pro x R. ln(1 + x) = n=1 (-1)n n xn pro x (-1, 1]. 1 1 - x = n=0 xn pro x (-1, 1). 1 1 + x = (-1)n xn pro x (-1, 1). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Plán přednášky 1 Nekonečné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady 2 Aplikace nekonečných řad 3 Aproximace pomocí Fourierových řad Vzdálenost funkcí Ortogonální systémy Fourierovy řady Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: přibližné výpočty funkčních hodnot Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: přibližné výpočty funkčních hodnot aproximace funkcí Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: přibližné výpočty funkčních hodnot aproximace funkcí výpočet limit Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: přibližné výpočty funkčních hodnot aproximace funkcí výpočet limit výpočet integrálů vyšších funkcí Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: přibližné výpočty funkčních hodnot aproximace funkcí výpočet limit výpočet integrálů vyšších funkcí řešení diferenciálních rovnic Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: přibližné výpočty funkčních hodnot aproximace funkcí výpočet limit výpočet integrálů vyšších funkcí řešení diferenciálních rovnic Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Nekonečné řady (a to řady číselné i řady funkcí) mají mnoho aplikací. Mezi jinými jde o: přibližné výpočty funkčních hodnot aproximace funkcí výpočet limit výpočet integrálů vyšších funkcí řešení diferenciálních rovnic Příklad Pomocí prvních n členů Taylorova rozvoje určete přibližnou hodnotu e (n = 5) , 5 245 (n = 2). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Při odhadech hodnot funkcí je samozřejmě potřeba znát i požadovanou přesnost, resp. umět (shora) odhadnout chybu, jíž se dopouštíme. Věta Je-li an n=1 nerostoucí posloupnost nezáporných čísel splňující lim an = 0, pak pro zbytek Rn = (-1)nan+1 + (-1)n+1an+2 + alternující řady (-1)n-1an platí, že |Rn| < an+1. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Při odhadech hodnot funkcí je samozřejmě potřeba znát i požadovanou přesnost, resp. umět (shora) odhadnout chybu, jíž se dopouštíme. Věta Je-li an n=1 nerostoucí posloupnost nezáporných čísel splňující lim an = 0, pak pro zbytek Rn = (-1)nan+1 + (-1)n+1an+2 + alternující řady (-1)n-1an platí, že |Rn| < an+1. Věta Nechť an je číselná řada, pro niž platí an+1 an q < 1, pak pro zbytek této řady platí |Rn| |an| q 1-q . Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Příklad Vypočtěte sin 18 s chybou menší než 10-4. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Příklad Vypočtěte sin 18 s chybou menší než 10-4. Řešení S využitím Maclaurinovy řady pro sin x dostáváme po dosazení x = 10 sin 10 = 10 - 1 3! ( 10 )3 + 1 5! ( 10 )5 - . Podle věty o odhadu zbytku alternující řady vidíme, že stačí vzít první dva členy řady, neboť |R2| < an+1 = 1 5! ( 10 )5 = 5 120 105 < 10-4 . Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Příklad Vypočtěte sin 18 s chybou menší než 10-4. Řešení S využitím Maclaurinovy řady pro sin x dostáváme po dosazení x = 10 sin 10 = 10 - 1 3! ( 10 )3 + 1 5! ( 10 )5 - . Podle věty o odhadu zbytku alternující řady vidíme, že stačí vzít první dva členy řady, neboť |R2| < an+1 = 1 5! ( 10 )5 = 5 120 105 < 10-4 . Dostáváme tak odhad sin 18 10 - 1 3! ( 10 )3 0, 309. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Výpočet limit Příklad Vypočtěte limitu limx0 sin x x . Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Výpočet limit Příklad Vypočtěte limitu limx0 sin x x . Řešení Z rozvoje sin x dostaneme sin x x = 1 - 1 3! x2 + 1 5! x4 - , odkud snadno získáme výslednou limitu rovnu jedné. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Výpočet limit Příklad Vypočtěte limitu limx0 sin x x . Řešení Z rozvoje sin x dostaneme sin x x = 1 - 1 3! x2 + 1 5! x4 - , odkud snadno získáme výslednou limitu rovnu jedné. Příklad Vypočtěte limitu lim x x - x2 ln 1 + 1 x . Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Integrály vyšších funkcí Příklad Primitivní funkce k funkci sin x x je funkce sin x x dx = 1 x x - 1 3! x3 + 1 5! x5 - 1 7! x7 + . . . dx = x - 1 3! x3 3 + 1 5! x5 5 - + C = n=0 (-1)n (2n + 1) (2n + 1)! x2n+1 + C. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Integrály vyšších funkcí Příklad Primitivní funkce k funkci sin x x je funkce sin x x dx = 1 x x - 1 3! x3 + 1 5! x5 - 1 7! x7 + . . . dx = x - 1 3! x3 3 + 1 5! x5 5 - + C = n=0 (-1)n (2n + 1) (2n + 1)! x2n+1 + C. Příklad Přibližně vypočtěte 1/2 0 dx 1+x4 (s chybou menší než 10-4). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Basilejský problém Příklad (Leonhard Euler, 1735) Určete součet číselné řady n=1 1 n2 = 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + . . . . Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Basilejský problém Příklad (Leonhard Euler, 1735) Určete součet číselné řady n=1 1 n2 = 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + . . . . Řešení Funkce sin x x má rozvoj sin x x = 1 - 1 3! x2 + 1 5! x4 - 1 7! x6 + . . . . Její kořeny jsou zřejmě , 2, 3, 4, atd. a tedy tuto funkci lze rozložit na (nekonečný) součin kořenových činitelů 1 - x 1 + x 1 - x 2 1 + x 2 . . . = 1 - x2 2 1 - x2 42 1 - x2 92 1 - x2 162 . . . . Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Řešení (dokončení) Porovnáním koeficientů u x2 (po roznásobení) dostaneme - 1 3! = - 1 2 - 1 42 - 1 92 - 1 162 - . . . , čili po vynásobení číslem -2 dostaneme 2 6 = 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + = n=1 1 n2 . Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Plán přednášky 1 Nekonečné řady Taylorovy a Maclaurinovy řady 2 Aplikace nekonečných řad 3 Aproximace pomocí Fourierových řad Vzdálenost funkcí Ortogonální systémy Fourierovy řady Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Fourierovy řady Příjemné vlastnosti mocninných řad zároveň poukazují na hranice jejich použitelnosti při modelování závislostí nějakých praktických jevů nebo procesů. Zejména není možné pomocí mocninných řad dobře modelovat po částech spojité funkce. Jak uvidíme vzápětí, je možné pro konkrétněji vymezené potřeby nacházet lepší sady funkcí fn(x) než jsou hodnoty fn(x) = xn. Nejznámějšími příklady jsou Fourierovy řady používané pro aproximaci periodických funkcí a tzv. wavelety. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Definice Pro pevný interval I = [a, b], konečný nebo nekonečný, definujeme kvadrát vzdálenosti funkcí na I takto: f - g 2 = b a |f (x) - g(x)|2 dx. Samozřejmě je třeba předpokládat, že tento Riemannův integrál existuje. Velikost f funkce f je pak její vzdálenost od funkce nulové, tj. f 2 = b a |f (x)|2 dx. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Definice Pro pevný interval I = [a, b], konečný nebo nekonečný, definujeme kvadrát vzdálenosti funkcí na I takto: f - g 2 = b a |f (x) - g(x)|2 dx. Samozřejmě je třeba předpokládat, že tento Riemannův integrál existuje. Velikost f funkce f je pak její vzdálenost od funkce nulové, tj. f 2 = b a |f (x)|2 dx. Funguje dobře pro množinu S = S[a, b] omezených a po částech spojitých reálných funkcí na I. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Z vlastností integrálu plyne, že S je vektorový prostor a že námi právě uvažovaná velikost je odvozena z dobře definovaného skalárního součinu, tj. symetrického bilineárního zobrazení f , g = b a f (x)g(x) dx, s příslušnými vlastnostmi. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Z vlastností integrálu plyne, že S je vektorový prostor a že námi právě uvažovaná velikost je odvozena z dobře definovaného skalárního součinu, tj. symetrického bilineárního zobrazení f , g = b a f (x)g(x) dx, s příslušnými vlastnostmi. V konečněrozměrném případě jsme takto definovali velikost vektorů. Nyní je to naprosto stejné a pokud zúžíme naši definici na vektorový prostor generovaný nad reálnými čísly jen konečně mnoha funkcemi f1, . . . , fk, dostaneme opět dobře definovaný skalární součin na tomto konečněrozměrném vektorovém podprostoru. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Máme-li generátory gi s vlastností gi , gj = 0 pro i = j 1 pro i = j hovoříme o tzv. ortonormální bázi (pracujeme také s ortogonálními). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Máme-li generátory gi s vlastností gi , gj = 0 pro i = j 1 pro i = j hovoříme o tzv. ortonormální bázi (pracujeme také s ortogonálními). Grammova­Schmidtova ortogonalizace, která z libovolného spočetného systému generátorů fi vytvoří nové ortogonální generátory gi téhož prostoru, tj. gi , gj = 0 pro všechny i = j. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Máme-li generátory gi s vlastností gi , gj = 0 pro i = j 1 pro i = j hovoříme o tzv. ortonormální bázi (pracujeme také s ortogonálními). Grammova­Schmidtova ortogonalizace, která z libovolného spočetného systému generátorů fi vytvoří nové ortogonální generátory gi téhož prostoru, tj. gi , gj = 0 pro všechny i = j. Spočteme je postupně: g1 = f1 a formulemi g +1 = f +1 + a1g1 + + a g , ai = f +1, gi gi 2 pro > 1. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Máme-li generátory gi s vlastností gi , gj = 0 pro i = j 1 pro i = j hovoříme o tzv. ortonormální bázi (pracujeme také s ortogonálními). Grammova­Schmidtova ortogonalizace, která z libovolného spočetného systému generátorů fi vytvoří nové ortogonální generátory gi téhož prostoru, tj. gi , gj = 0 pro všechny i = j. Spočteme je postupně: g1 = f1 a formulemi g +1 = f +1 + a1g1 + + a g , ai = f +1, gi gi 2 pro > 1. Příkladem jsou např. Legendreovy polynomy. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Připomeňme si výhody, které ortonormální báze podprostorů měly pro konečněrozměrné vektorové prostory. Můžeme pokračovat v příkladu Legendreových polynomů P0(x), P1(x) a P2(x), které generují a R2[x] a uvažovat třeba V = R[x]. Pro libovolný polynom h V bude funkce H = h, h1 h1 + h, h2 h2 + h, h3 h3 jednoznačně určenou funkcí, která minimalizuje vzdálenost h - H mezi všemi funkcemi v R2[x]. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Připomeňme si výhody, které ortonormální báze podprostorů měly pro konečněrozměrné vektorové prostory. Můžeme pokračovat v příkladu Legendreových polynomů P0(x), P1(x) a P2(x), které generují a R2[x] a uvažovat třeba V = R[x]. Pro libovolný polynom h V bude funkce H = h, h1 h1 + h, h2 h2 + h, h3 h3 jednoznačně určenou funkcí, která minimalizuje vzdálenost h - H mezi všemi funkcemi v R2[x]. Koeficienty pro nejlepší aproximaci zadané funkce pomocí funkce z vybraného podprostoru je možné tedy získat prostě integrací. Stejně tak ale tato formule zadá nejlepší aproximaci polynomem nejvýše druhého stupně pro libovolnou funkci h S[a, b] ve smyslu naší vzdálenosti funkcí na tomto prostoru. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Poslední příklad vybízí k zobecnění ­ co se stane, když zvolíme úplně libovolný spočetný systém lineárně nezávislých funkcí v S takový, že každé dvě různé z nich mají nulový skalární součin? Takovému systému funkcí na intervalu I říkáme ortogonální systém funkcí. Jestliže jsou všechny funkce fn v posloupnosti po dvou ortogonální a zároveň je pro všechna n velikost fn = 1 normovaná, hovoříme o ortonormálním systému funkcí. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Poslední příklad vybízí k zobecnění ­ co se stane, když zvolíme úplně libovolný spočetný systém lineárně nezávislých funkcí v S takový, že každé dvě různé z nich mají nulový skalární součin? Takovému systému funkcí na intervalu I říkáme ortogonální systém funkcí. Jestliže jsou všechny funkce fn v posloupnosti po dvou ortogonální a zároveň je pro všechna n velikost fn = 1 normovaná, hovoříme o ortonormálním systému funkcí. Nechť tedy tvoří posloupnost funcí fn ortogonální systém po částech spojitých funkcí na intervalu I = [a, b] a předpokládejme, že pro konstanty cn konverguje řada F(x) = n=1 cnfn stejnoměrně na I. Pak snadno vyjádříme skalární součin F, fn po jednotlivých sčítancích: F, fn = m=1 cm b a fm(x)fn(x) dx = cn fn 2 . Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Lze tedy očekávat , v jakou odpověď je možné doufat, a tu nám skutečně dává následující věta: Věta Nechť fn, n = 1, 2, . . . , je ortogonální posloupnost funkcí Riemannovsky integrovatelných na I = [a, b] a nechť g je libovolná funkce, jejíž kvadrát je Riemannovsky integrovatelný na I. Označme cn = fn -2 b a fn(x)g(x) dx (tzv. Fourierovy koeficienty funkce g ). (1) Pro libovolné pevné n N má ze všech lineárních kombinací funkcí f1, . . . , fn nejmenší vzdálenost od g výraz hn = n i=1 ci fi (x). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Věta (pokračování) (2) (Besselova nerovnost) Řada čísel n=1 c2 n fn 2 vždy konverguje a platí n=1 c2 n fn 2 g 2 . (3) Vzdálenost g od částečných součtů sk = k n=1 cnfn jde v limitě k nule, tj. lim k g - sk 2 = 0, tehdy a jen tehdy, když platí n=1 c2 n fn 2 = g 2 (tzv. Parsevalova rovnost). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Zkusme lépe porozumět významu jednotlivých tvrzení této věty. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Zkusme lépe porozumět významu jednotlivých tvrzení této věty. Náš ortogonální systém funcí je libovolný, nemůžeme očekávat, že lze dobře aproximovat jakoukoliv funkci pomocí lineárních kombinací funkcí fi . Např. když se omezíme u ortogonálních polynomů pouze na sudé stupně, určitě budeme dobře aproximovat pouze sudé funkce. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Zkusme lépe porozumět významu jednotlivých tvrzení této věty. Náš ortogonální systém funcí je libovolný, nemůžeme očekávat, že lze dobře aproximovat jakoukoliv funkci pomocí lineárních kombinací funkcí fi . Např. když se omezíme u ortogonálních polynomů pouze na sudé stupně, určitě budeme dobře aproximovat pouze sudé funkce. Nicméně hned první tvrzení nám říká, že vždycky budeme dosahovat nejlepší možné aproximace částečnými součty. Druhé a třetí tvrzení pak můžeme vnímat jako analogii ke kolmým průmětům do podprostorů vyjádřených pomocí souřadnic. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Skutečně, pokud pro naši funkci g bodově konverguje řada F(x) = n=1 cnfn(x), pak je funkce F(x) kolmým průmětem g do vektorového podprostoru všech takovýchto řad. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Skutečně, pokud pro naši funkci g bodově konverguje řada F(x) = n=1 cnfn(x), pak je funkce F(x) kolmým průmětem g do vektorového podprostoru všech takovýchto řad. Zároveň ale naše věta neříká, že by částečné součty uvažované řady musely bodově konvergovat k nějaké funkci. Tj. řada F(x) nemusí být obecně konvergentní ani v případě, kdy nastane rovnost v (3). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Fourierovy řady Předchozí věta naznačuje, že umíme se spočetnými ortogonálními systémy fn funkcí pracovat velice podobně jako s konečnými ortogonálními bazemi vektorových prostorů, jsou tu ale zásadní rozdíly: Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Fourierovy řady Předchozí věta naznačuje, že umíme se spočetnými ortogonálními systémy fn funkcí pracovat velice podobně jako s konečnými ortogonálními bazemi vektorových prostorů, jsou tu ale zásadní rozdíly: Není snadné říci, jak vypadá celý prostor konvergentních nebo stejnoměrně konvergentních řad F(x) = n=1 cnfn. Pro danou integrovatelnou funkci umíme najít jen nejlepší možné přiblížení takovou řadou F(x). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Fourierovy řady Předchozí věta naznačuje, že umíme se spočetnými ortogonálními systémy fn funkcí pracovat velice podobně jako s konečnými ortogonálními bazemi vektorových prostorů, jsou tu ale zásadní rozdíly: Není snadné říci, jak vypadá celý prostor konvergentních nebo stejnoměrně konvergentních řad F(x) = n=1 cnfn. Pro danou integrovatelnou funkci umíme najít jen nejlepší možné přiblížení takovou řadou F(x). V případě, že místo ortogonálního systému fn máme systém ortonormální, jsou formulky ve větě o něco jednodušší, žádné další zlepšení ale nenastane. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Jako pěkný příklad na integrování lze elementárními metodami ověřit, že systém funkcí 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . . , sin nx, cos nx, . . . je ortogonální systém na intervalu [-, ] (a také na kterémkoliv jiném intervalu o délce 2). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Jako pěkný příklad na integrování lze elementárními metodami ověřit, že systém funkcí 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . . , sin nx, cos nx, . . . je ortogonální systém na intervalu [-, ] (a také na kterémkoliv jiném intervalu o délce 2). Řady z předchozí věty odpovídající tomuto systému nazýváme Fourierovy řady. I v obecném případě diskutovaném výše se někdy hovoří o obecných Fourierových řadách vzhledem k ortogonálnímu systému funkcí fn. Koeficienty cn se pak nazývají Fourierovy koeficienty funkce f . Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Na intervalu [-, ] jsou velikosti všech funkcí kromě první vždy , první má velikost 2. Lze dokázat, že náš systém funkcí je úplným ortogonálním systémem, nebudeme to zde ale dokazovat. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Na intervalu [-, ] jsou velikosti všech funkcí kromě první vždy , první má velikost 2. Lze dokázat, že náš systém funkcí je úplným ortogonálním systémem, nebudeme to zde ale dokazovat. Ve smyslu vzdálenosti funkcí definované pomocí našeho skalárního součinu proto budou částečné součty Fourierovy řady F(x) pro libovolnou funkci g(x) s konečným integrálem b a g(x)2 dx, tj. F(x) = a0 2 + n=1 (an cos(nx) + bn sin(nx)) s koeficienty an = 1 g(x) cos(nx) dx, bn = 1 g(x) sin(nx) dx, vždy konvergovat k funkci g(x). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Shrňme naše úvahy do následujícího tvrzení. Věta Fourierova řada libovolné integrovatelné funkce g(x) na intervalu [-, ] má vzhledem k systému 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . . , sin nx, cos nx, . . . tvar a0 2 + n=1 (an cos(nx) + bn sin(nx)) s koeficienty an = 1 g(x) cos(nx) dx, bn = 1 g(x) sin(nx) dx. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Shrňme naše úvahy do následujícího tvrzení. Věta Fourierova řada libovolné integrovatelné funkce g(x) na intervalu [-, ] má vzhledem k systému 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . . , sin nx, cos nx, . . . tvar a0 2 + n=1 (an cos(nx) + bn sin(nx)) s koeficienty an = 1 g(x) cos(nx) dx, bn = 1 g(x) sin(nx) dx. Je-li g(x) sudá, jsou všechny bn nulové a je-li lichá, jsou všechny an nulové. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Z obecnějších úvah lze odvodit, že z konvergence v tomto smyslu vždy vyplývá bodová konvergence částečných součtů ve skoro všech bodech x I. Nebudeme zde ale ani vysvětlovat, co znamená skoro všechny, ani nebudeme takový výsledek dokazovat. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Z obecnějších úvah lze odvodit, že z konvergence v tomto smyslu vždy vyplývá bodová konvergence částečných součtů ve skoro všech bodech x I. Nebudeme zde ale ani vysvětlovat, co znamená skoro všechny, ani nebudeme takový výsledek dokazovat. Jako příklad uveďme Fourierovu řadu pro periodickou funkci vzniklou zúžením Heavisideovy funkce na jednu periodu. Tj. naše funkce g bude na intervalu [-, 0] rovna -1 a na intervalu [0, ] bude rovna 1. Protože jde o funkci lichou, jistě budou všechny koeficienty u funkcí cos(nx) nulové, a pro koeficienty u funkcí sin(nx) spočteme bn = 1 g(x) sin(nx) dx = 2 0 sin(nx) dx = 2 n (1 - (-1)n ). Výsledná Fourierova řada je tedy tvaru g(x) = 4 sin(x) + 1 3 sin(3x) + 1 5 sin(5x) + . . . a součet jejích prvních pěti a prvních padesáti členů je na následujících dvou obrázcích. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Všimněme si, že se zvyšujícím se počtem členů řady se výrazně spřesňuje aproximace s výjimkou stále se zmenšujícího okolí bodu nespojitosti, na němž je ale maximum odchylky stále zhruba stejné. Je to obecná vlastnost Fourierových řad, které se říká Gibbsův jev. -1 0 2 x 0 -2 -0,5 0,5 -4 1 4 t=2. -1 0 2 x 4-2 -0,5 0 -4 1 0,5 t=24. Povšimněme si také, že v samotném bodě nespojitosti je hodnota aproximující funkce právě v polovině mezi limitami zprava a zleva pro Heavisideovu funkci. Nelze očekávat, že by konvergence pro funkce s body nespojitosti mohla být stejnoměrná (to by totiž g musela být coby stejnoměrná limita spojitých funkcí sama spojitá!). Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Bez podrobného důkazu si uvedeme následující větu podávající ucelený obrázek o bodové konvergenci Fourierových řad. Nejde o nutné podmínky konvergence a v literatuře lze najít řadu jiných formulací. Tato je ale jednoduchá a postihuje velké množství užitečných případů. Nekonečné řady Aplikace nekonečných řad Aproximace pomocí Fourierových řad Věta (Dirichletova) Nechť g je po částech spojitá a monotonní na intervalu [-, ]. Pak její Fourierova řada F(x) konverguje na [-, ] a součet je roven hodnotě g(x0) v každém bodě x0 [-, ], ve kterém je funkce g(x) spojitá, v každém bodě nespojitosti x0 funkce g(x) roven 1 2 lim xx+ 0 g(x) + lim xx- 0 g(x) , v krajních bodech intervalu [-, ] je roven 1 2 lim x-+ g(x) + lim xg(x) . Pokud navíc je g(x) spojitá, periodická s periodou 2 a všude existuje její po částech spojitá derivace, pak konverguje její Fourierova řada F(x) stejnoměrně.