Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Matematika II ­ 14. přednáška Závěrečné shrnutí Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 17. 12. 2008 Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Obsah přednášky 1 Diferenciální rovnice ­ dokončení 2 Závěrečné shrnutí Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Plán přednášky 1 Diferenciální rovnice ­ dokončení 2 Závěrečné shrnutí Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Lineární diferenciální rovnice 1. řádu ­ nehomogenní Minule jsme ukázali, že homogenní lineární diferenciální rovnice 1. řádu lze snadno vyřešit pomocí separace proměnných. Řešením rovnice y = a(x)y je, jak jsme ukázali, y = C e R a(x) dx . V (obvyklejším) případě nehomogenní rovnice lze postupovat více způsoby, ukážeme stručně metodu integračního faktoru a obecnější metodu variace konstanty: Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Lineární diferenciální rovnice 1. řádu ­ nehomogenní Minule jsme ukázali, že homogenní lineární diferenciální rovnice 1. řádu lze snadno vyřešit pomocí separace proměnných. Řešením rovnice y = a(x)y je, jak jsme ukázali, y = C e R a(x) dx . V (obvyklejším) případě nehomogenní rovnice lze postupovat více způsoby, ukážeme stručně metodu integračního faktoru a obecnější metodu variace konstanty: Integrační faktor V tomto případě se nejprve celá rovnice vynásobí vhodnou funkcí (x) (tzv. integračním faktorem), aby po úpravách vznikl výraz pro derivaci součinu. Integrační faktor je funkce (x) := e- R a(x) dx . Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Variace konstanty Nejprve vyřešíme přidruženou homogenní rovnici. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Variace konstanty Nejprve vyřešíme přidruženou homogenní rovnici. Variace konstanty spočívá v nahrazení konstanty v řešení přidružené rovnice funkční proměnnou, tj. hledáme řešení ve tvaru y = C(x) e R a(x) dx . Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Variace konstanty Nejprve vyřešíme přidruženou homogenní rovnici. Variace konstanty spočívá v nahrazení konstanty v řešení přidružené rovnice funkční proměnnou, tj. hledáme řešení ve tvaru y = C(x) e R a(x) dx . Po dosazení do původní rovnice dostaneme C (x) e R a(x) dx = b(x). Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Variace konstanty Nejprve vyřešíme přidruženou homogenní rovnici. Variace konstanty spočívá v nahrazení konstanty v řešení přidružené rovnice funkční proměnnou, tj. hledáme řešení ve tvaru y = C(x) e R a(x) dx . Po dosazení do původní rovnice dostaneme C (x) e R a(x) dx = b(x). Odtud dostaneme řešení C(x) = b(x) e- R a(x) dx dx. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Variace konstanty Nejprve vyřešíme přidruženou homogenní rovnici. Variace konstanty spočívá v nahrazení konstanty v řešení přidružené rovnice funkční proměnnou, tj. hledáme řešení ve tvaru y = C(x) e R a(x) dx . Po dosazení do původní rovnice dostaneme C (x) e R a(x) dx = b(x). Odtud dostaneme řešení C(x) = b(x) e- R a(x) dx dx. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Variace konstanty Nejprve vyřešíme přidruženou homogenní rovnici. Variace konstanty spočívá v nahrazení konstanty v řešení přidružené rovnice funkční proměnnou, tj. hledáme řešení ve tvaru y = C(x) e R a(x) dx . Po dosazení do původní rovnice dostaneme C (x) e R a(x) dx = b(x). Odtud dostaneme řešení C(x) = b(x) e- R a(x) dx dx. Poznamenejme, že v obou případech zřejmě počítáme tytéž integrály, takže z výpočetního hlediska jsou oba postupy ekvivalentní. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru a(x) y + b(x) y + c(x) y = f (x), kde funkce a, b, c, f : I R jsou koeficienty v této rovnici. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu mají podobné vlastnosti jako lineární rovnice 1. řádu, zejména jejich řešení existují a jsou určena jednoznačně pomocí dvou počátečních podmínek y(x0) = y0, y (x0) = y1, tj. je zadána hodnota funkce a její derivace (neboli bod v rovině, kterým musí řešení projít, a pak sklon, pod kterým musí řešení tímto bodem projít). Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice tvaru a(x) y + b(x) y + c(x) y = f (x), kde funkce a, b, c, f : I R jsou koeficienty v této rovnici. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu mají podobné vlastnosti jako lineární rovnice 1. řádu, zejména jejich řešení existují a jsou určena jednoznačně pomocí dvou počátečních podmínek y(x0) = y0, y (x0) = y1, tj. je zadána hodnota funkce a její derivace (neboli bod v rovině, kterým musí řešení projít, a pak sklon, pod kterým musí řešení tímto bodem projít). O těchto rovnicích existuje velké množství literatury, obvykle se studují zejména rovnice s konstantními koeficienty a y + b y + cy = f (x), které mají mnoho aplikací např. při modelování mechanického a elektromagnetického kmitání. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Pro ilustraci uveďme lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty, kterou vyřešíme (bez jakýchkoliv dalších znalostí teorie diferenciálních rovnic) pomocí nekonečných řad. Příklad Vyřešte diferenciální rovnici y + y = 0 pomocí nekonečných řad. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Pro ilustraci uveďme lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty, kterou vyřešíme (bez jakýchkoliv dalších znalostí teorie diferenciálních rovnic) pomocí nekonečných řad. Příklad Vyřešte diferenciální rovnici y + y = 0 pomocí nekonečných řad. Řešení Hledejme řešení této rovnice ve tvaru mocninné řady y = n=0 an xn. Potom podle pravidla pro derivaci mocninné řady platí y = n=1 an n xn-1 = n=0 an+1 (n + 1) xn , y = n=2 an n (n - 1) xn-2 = n=0 an+2 (n + 2) (n + 1) xn . Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Řešení (pokr.) Dosazením do rovnice y + y = 0 dostáváme 0 = n=0 an+2 (n + 2) (n + 1) xn y + n=0 an xn y = = n=0 an+2 (n + 2) (n + 1) + an xn Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Řešení (pokr.) Dosazením do rovnice y + y = 0 dostáváme 0 = n=0 an+2 (n + 2) (n + 1) xn y + n=0 an xn y = = n=0 an+2 (n + 2) (n + 1) + an xn Tedy poslední uvedená řada je mocninná řada pro konstantní funkci s(x) 0, a proto musí všechny její koeficienty být nulové, tj. an+2 (n + 2) (n + 1) + an = 0 pro všechna n N {0}. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Řešení Odtud vychází rekurentní vztah pro jednotlivé koeficienty an+2 = - an (n + 2) (n + 1) pro všechna n N {0}. Tedy jsou-li koeficienty a0 a a1 dány (všimněte si, že a0 = y(0) a a1 = y (0), tj. tyto koeficienty jsou dány počátečními podmínkami ve středu hledané mocninné řady), potom je a2 = - a0 2 , a3 = - a1 3 . 2 , a4 = - a2 4 . 3 = a0 4! , a5 = - a3 5 . 4 = a1 5! , ... ... a2k = (-1)k a0 (2k)! , a2k+1 = (-1)k a1 (2k + 1)! . Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Řešení (dokončení) Celkově je tedy hledané řešení tvaru y = n=0 an xn = a0 + a1 x - a0 2! x2 - a1 3! x3 + a0 4! x4 + a1 5! x5 + . . . = a0 1 - 1 2! x2 + 1 4! x4 - 1 6! x6 + + (-1)k 1 (2k)! x2k + . . . + a1 x - 1 3! x3 + 1 5! x5 - 1 7! x7 + + (-1)k 1 (2k + 1)! x2k+1 + . . . = a0 k=0 (-1)k 1 (2k)! x2k + a1 k=0 (-1)k 1 (2k + 1)! x2k+1 . Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Řešení (dokončení) Celkově je tedy hledané řešení tvaru y = n=0 an xn = a0 + a1 x - a0 2! x2 - a1 3! x3 + a0 4! x4 + a1 5! x5 + . . . = a0 1 - 1 2! x2 + 1 4! x4 - 1 6! x6 + + (-1)k 1 (2k)! x2k + . . . + a1 x - 1 3! x3 + 1 5! x5 - 1 7! x7 + + (-1)k 1 (2k + 1)! x2k+1 + . . . = a0 k=0 (-1)k 1 (2k)! x2k + a1 k=0 (-1)k 1 (2k + 1)! x2k+1 . Vidíme tedy, že hledané obecné řešení je lineární kombinací dvou funkcí, přičemž uvedené mocninné řady konvergují pro všechna x R (jejich poloměr konvergence je R = ). Neboli obecné řešení uvedené diferenciální rovnice je (pro C := a0 a D := a1) rovno y = C cos x + D sin x, x R, C, D R. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Plán přednášky 1 Diferenciální rovnice ­ dokončení 2 Závěrečné shrnutí Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Závěrečné shrnutí 1 Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Metoda nejmenších čtverců ­ flashback Hledáme funkci tvaru f (x) = a x + b s neznámými a, b R tak, aby hodnota n i=1 (f (xi ) - yi )2 byla minimální. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Metoda nejmenších čtverců ­ flashback Hledáme funkci tvaru f (x) = a x + b s neznámými a, b R tak, aby hodnota n i=1 (f (xi ) - yi )2 byla minimální. Následující tvrzení lze snadno odvodit pomocí metody na nalezení extrému funkce dvou proměnných (tato metoda je analogií pro hledání extrému funkce jedné proměnné, přesněji viz MB103). Věta Mezi přímkami tvaru f (x) = a x + b má nejmenší součet čtverců vzdáleností funkčních hodnot v bodech x1, . . . , xn od hodnot yi funkce splňující a x2 i + b xi = xi yi a xi + b n = yi Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Závěrečné shrnutí 1 Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. 2 Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Závěrečné shrnutí 1 Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. 2 Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. 3 Exponenciální a logaritmická funkce ­ způsob definice (přírůstky do zoo). Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Závěrečné shrnutí 1 Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. 2 Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. 3 Exponenciální a logaritmická funkce ­ způsob definice (přírůstky do zoo). 4 Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Závěrečné shrnutí 1 Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. 2 Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. 3 Exponenciální a logaritmická funkce ­ způsob definice (přírůstky do zoo). 4 Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. 5 Aproximace ­ diferenciál, Taylorův polynom. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Závěrečné shrnutí 1 Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. 2 Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. 3 Exponenciální a logaritmická funkce ­ způsob definice (přírůstky do zoo). 4 Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. 5 Aproximace ­ diferenciál, Taylorův polynom. 6 Primitivní funkce ­ metody výpočtu. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Závěrečné shrnutí 1 Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. 2 Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. 3 Exponenciální a logaritmická funkce ­ způsob definice (přírůstky do zoo). 4 Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. 5 Aproximace ­ diferenciál, Taylorův polynom. 6 Primitivní funkce ­ metody výpočtu. 7 Riemannův integrál, jeho vlastnosti a aplikace. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Závěrečné shrnutí 1 Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. 2 Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. 3 Exponenciální a logaritmická funkce ­ způsob definice (přírůstky do zoo). 4 Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. 5 Aproximace ­ diferenciál, Taylorův polynom. 6 Primitivní funkce ­ metody výpočtu. 7 Riemannův integrál, jeho vlastnosti a aplikace. 8 Nekonečné řady ­ kritéria a typy konvergence. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Závěrečné shrnutí 1 Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. 2 Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. 3 Exponenciální a logaritmická funkce ­ způsob definice (přírůstky do zoo). 4 Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. 5 Aproximace ­ diferenciál, Taylorův polynom. 6 Primitivní funkce ­ metody výpočtu. 7 Riemannův integrál, jeho vlastnosti a aplikace. 8 Nekonečné řady ­ kritéria a typy konvergence. 9 Posloupnosti a řady funkcí, stejnoměrná spojitosti, Taylorovy a Fourierovy řady, jejich využití při aproximaci. Diferenciální rovnice ­ dokončení Závěrečné shrnutí Závěrečné shrnutí 1 Polynomiální interpolace a extrapolace, splajny, aproximace metodou nejmenších čtverců. 2 Reálná čísla, infima, suprema, limita posloupnosti a funkce, spojitost. 3 Exponenciální a logaritmická funkce ­ způsob definice (přírůstky do zoo). 4 Derivace funkce, diferencovatelné funkce, pravidla, inverzní funkce, implicitně definovaná funkce, průběh funkce, úlohy na hledání extrémů. 5 Aproximace ­ diferenciál, Taylorův polynom. 6 Primitivní funkce ­ metody výpočtu. 7 Riemannův integrál, jeho vlastnosti a aplikace. 8 Nekonečné řady ­ kritéria a typy konvergence. 9 Posloupnosti a řady funkcí, stejnoměrná spojitosti, Taylorovy a Fourierovy řady, jejich využití při aproximaci. 10 Elementární diferenciální rovnice.