Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Matematika II ­ 2. přednáška Spojité funkce, limity Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2008 Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Obsah přednášky 1 Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Splajny Aproximace 2 Reálná čísla 3 Limita posloupnosti a funkce 4 Spojitost Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Zuzana Došlá, Jaromír Kuben ­ Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2 (rovněž na http://www.math.muni.cz/~dosla/skript.pdf). Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Plán přednášky 1 Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Splajny Aproximace 2 Reálná čísla 3 Limita posloupnosti a funkce 4 Spojitost Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Splajny I u polynomiálních interpolací s derivacemi pořád zůstávají problémy zmíněné už v případě jednoduchých interpolací hodnot složitost výpočtů a nestabilita. Navíc přibývá problém spojený s odhadem derivací pokud je zadána pouze množina hodnot. Použití derivací však podbízí jednoduché vylepšení metodiky ­ splajny. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Splajny I u polynomiálních interpolací s derivacemi pořád zůstávají problémy zmíněné už v případě jednoduchých interpolací hodnot složitost výpočtů a nestabilita. Navíc přibývá problém spojený s odhadem derivací pokud je zadána pouze množina hodnot. Použití derivací však podbízí jednoduché vylepšení metodiky ­ splajny. Nabízí se tedy využití malých polynomiálních kousků, které ale musíme umět rozumně navazovat. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Splajny I u polynomiálních interpolací s derivacemi pořád zůstávají problémy zmíněné už v případě jednoduchých interpolací hodnot složitost výpočtů a nestabilita. Navíc přibývá problém spojený s odhadem derivací pokud je zadána pouze množina hodnot. Použití derivací však podbízí jednoduché vylepšení metodiky ­ splajny. Nabízí se tedy využití malých polynomiálních kousků, které ale musíme umět rozumně navazovat. Nejjednodušší je propojení vždy dvou sousedních bodů lineárním polynomem. Tak se nejčastěji zobrazují data. Z pohledu derivací to znamená, že budou na jednotlivých úsecích konstantní a pak se skokem změní. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost O něco sofistikovanější možností je předepsat v každém bodě hodnotu a derivaci, tj. pro dva body budeme mít 4 hodnoty a jednoznačně tím určíme Hermiteův polynom 3. stupně, viz výše. Tento polynom pak můžeme použít pro všechny hodnoty nezávislé proměnné mezi krajními hodnotami x0 < x1. Hovoříme o intervalu [x0, x1]. Takové polynomiální příblížení po kouskách už bude mít tu vlastnost, že derivace na sebe budou navazovat. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost O něco sofistikovanější možností je předepsat v každém bodě hodnotu a derivaci, tj. pro dva body budeme mít 4 hodnoty a jednoznačně tím určíme Hermiteův polynom 3. stupně, viz výše. Tento polynom pak můžeme použít pro všechny hodnoty nezávislé proměnné mezi krajními hodnotami x0 < x1. Hovoříme o intervalu [x0, x1]. Takové polynomiální příblížení po kouskách už bude mít tu vlastnost, že derivace na sebe budou navazovat. V praxi ale není pouhé navazování první derivace dostatečné (viz třeba koleje tramvají) a navíc při naměřených datech nemíváme hodnoty derivací k dispozici. Přímo se proto vnucuje pokus využívat pouze zadané hodnoty ve dvou sousedních bodech, ale požadovat zároveň rovnost prvních i druhých derivací u sousedních kousků polynomů třetího stupně! Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Kubický interpolační splajn Definition Nechť x0 < x1 < < xn jsou reálné (nebo racionální) hodnoty, ve kterých jsou zadány požadované hodnoty y0, . . . , yn. Kubickým interpolačním splajnem pro toto zadání je funkce S : R R (nebot S : Q Q), která splňuje následující podmínky: zúžení S na interval [xi-1, xi ] je polynom Si třetího stupně, i = 1, . . . , n Si (xi-1) = yi-1 a Si (xi ) = yi pro všechny i = 1, . . . n, Si (xi ) = Si+1(xi ) pro všechny i = 1, . . . , n - 1, Si (xi ) = Si+1(xi ) pro všechny i = 1, . . . , n - 1. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Kubický splajn pro n + 1 bodů sestává z n kubických polynomů, tj. máme k dispozici 4n volných parametrů (první definiční podmínka). Další podmínky přitom zadávají 2n + (n - 1) + (n - 1) rovností, tj. dva parametry zůstávají volné. Při praktickém použití se dodávají předpisy pro první derivace v krajních bodech (tzv. úplný splajn) nebo jsou druhé derivace zadány jako nula (tzv. přirozený splajn). Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Kubický splajn pro n + 1 bodů sestává z n kubických polynomů, tj. máme k dispozici 4n volných parametrů (první definiční podmínka). Další podmínky přitom zadávají 2n + (n - 1) + (n - 1) rovností, tj. dva parametry zůstávají volné. Při praktickém použití se dodávají předpisy pro první derivace v krajních bodech (tzv. úplný splajn) nebo jsou druhé derivace zadány jako nula (tzv. přirozený splajn). Výpočet celého splajnu už není bohužel tak jednoduchý jako u nezávislých výpočtů Hermiteových polynomů třetího stupně, protože data se prolínají vždy mezi sousedními intervaly. Výpočty splajnů jsou však základem takřka všech grafických balíčků pracujících s křivkami, proto je pochopení principu jejich fungování velmi důležité. Ti z vás, kteří tíhnout k počítačové grafice, se s tímto pojmem určitě ještě setkají. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Aproximace je narozdíl od interpolace postup, který bere ohled na to, že pracujeme s potenciálně nepřesnými vstupními daty, a nesnaží se proto trefit přesně do zadaných bodů, ale výstupem je funkce, která má ze zadané třídy funkcí (ve vhodném smyslu) nejmenší vzdálenost od zadaných bodů. Častým případem je rovněž situace, kdy řešíme tzv. přeurčenou soustavu rovnic, tj. máme více rovnic než neznámých (např. z výše uvedených důvodů nechceme aproximovat n + 1 daných bodů hodnotami polynomu stupně n ale stupně nižšího). Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Metoda nejmenších čtverců Metoda nejmenších čtverců je založena na tom, že hledáme funkci z dané množiny (např. lineární polynomy, kvadratické polynomy, polynomy stupně nejvýše n, ale i mnohé jiné funkce v závislosti na zvoleném modelu), jejíž hodnoty v daných bodech x1, . . . , xn mají nejmenší součet druhých mocnin vzdáleností od zadaných hodnot y1, . . . , yn. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Metoda nejmenších čtverců Metoda nejmenších čtverců je založena na tom, že hledáme funkci z dané množiny (např. lineární polynomy, kvadratické polynomy, polynomy stupně nejvýše n, ale i mnohé jiné funkce v závislosti na zvoleném modelu), jejíž hodnoty v daných bodech x1, . . . , xn mají nejmenší součet druhých mocnin vzdáleností od zadaných hodnot y1, . . . , yn. Tato metoda se velmi často objevuje ve zejména ve statistice (regresní analýza). Ukažme si použití této metody v nejjednodušším případě, kdy máme dáno n bodů ([x1, y1], . . . , [xn, yn]) a hledáme přímku, která nejlépe vystihuje rozložení těchto bodů. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Hledáme tedy funkci tvaru f (x) = a x + b s neznámými a, b R tak, aby hodnota n i=1 (f (xi ) - yi )2 byla minimální. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Hledáme tedy funkci tvaru f (x) = a x + b s neznámými a, b R tak, aby hodnota n i=1 (f (xi ) - yi )2 byla minimální. S pomocí odhadů nebo základních metod diferenciálního počtu (toho budeme schopni za několik týdnů) lze snadno odvodit následující tvrzení. Věta Mezi přímkami tvaru f (x) = a x + b má nejmenší součet čtverců vzdáleností funkčních hodnot v bodech x1, . . . , xn od hodnot yi funkce splňující a x2 i + b xi = xi yi a xi + b n = yi Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Plán přednášky 1 Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Splajny Aproximace 2 Reálná čísla 3 Limita posloupnosti a funkce 4 Spojitost Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Reálná čísla Reálná čísla zavedeme v podstatě intuitivně jako obrazy bodů na přímce, kde vyznačíme bod 0 označující počátek a rozhodneme o kladném směru (doprava). Značíme R. Matematicky lze reálná čísla zavést pomocí axiomů. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Reálná čísla Reálná čísla zavedeme v podstatě intuitivně jako obrazy bodů na přímce, kde vyznačíme bod 0 označující počátek a rozhodneme o kladném směru (doprava). Značíme R. Matematicky lze reálná čísla zavést pomocí axiomů. Připoměňme si nyní vlastnosti (axiomy) reálných čísel včetně souvislostí uspořádání a ostatních relací. Dělící čáry v tabulce naznačují, jak axiomy postupně zaručují, že jsou reálná čísla komutativní grupou vůči sčítání, že R \ {0} je komutativní grupa vůči násobení, R je pole, množina R spolu s operacemi +, a s relací uspořádání je tzv. uspořádané pole a konečně poslednímu axiomu můžeme rozumět tak, že R je dostatečně husté, tj. nechybí nám tam body, jako např. druhá odmocnina ze dvou v číslech racionálních. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Reálná čísla Reálná čísla zavedeme v podstatě intuitivně jako obrazy bodů na přímce, kde vyznačíme bod 0 označující počátek a rozhodneme o kladném směru (doprava). Značíme R. Matematicky lze reálná čísla zavést pomocí axiomů. Připoměňme si nyní vlastnosti (axiomy) reálných čísel včetně souvislostí uspořádání a ostatních relací. Dělící čáry v tabulce naznačují, jak axiomy postupně zaručují, že jsou reálná čísla komutativní grupou vůči sčítání, že R \ {0} je komutativní grupa vůči násobení, R je pole, množina R spolu s operacemi +, a s relací uspořádání je tzv. uspořádané pole a konečně poslednímu axiomu můžeme rozumět tak, že R je dostatečně husté, tj. nechybí nám tam body, jako např. druhá odmocnina ze dvou v číslech racionálních. Zároveň si uvědomujme, které z axiomů platí pro Q a C. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost (R1) (a + b) + c = a + (b + c), pro všechny a, b, c R (R2) a + b = b + a, pro všechny a, b R (R3) existuje 0 R takový, že pro všechny a R platí a + 0 = a (R4) pro všechny a R existuje opačný prvek (-a) R takový, že platí a + (-a) = 0 (R5) (a b) c = a (b c), pro všechny a, b, c R (R6) a b = b a pro všechny a, b R (R7) existuje 1 R takový, že pro všechny a R platí 1 a = a (R8) pro každý a R, a = 0 existuje inverzní prvek a-1 R takový, že platí a a-1 = 1 (R9) a (b + c) = a b + a c, pro všechny a, b, c R (R10) relace je úplné uspořádání, tj. reflexivní, antisymetrická, tranzitivní a úplná relace na R (R11) pro a, b, c R platí, že z a b vyplývá a + c b + c (R12) pro všechny a, b R, a > 0, b > 0, platí také a b > 0 (R13) každá neprázdná ohraničená množina A R má supremum. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Horní a dolní závory, suprema a infima Pojem suprema má smysl pro každou uspořádanou množinu, my se zde omezíme na reálná čísla. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Horní a dolní závory, suprema a infima Pojem suprema má smysl pro každou uspořádanou množinu, my se zde omezíme na reálná čísla. Nechť je dána neprázdná množina A R. Prvek b R nazveme horní závorou množiny A, pokud x A : x b, tj. pokud je prvek b větší (nebo roven) než všechny prvky v množině A. Obdobně se definuje dolní závora množiny A, tj. je to prvek a R s vlastností, že a x pro všechny x A. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Horní a dolní závory, suprema a infima Pojem suprema má smysl pro každou uspořádanou množinu, my se zde omezíme na reálná čísla. Nechť je dána neprázdná množina A R. Prvek b R nazveme horní závorou množiny A, pokud x A : x b, tj. pokud je prvek b větší (nebo roven) než všechny prvky v množině A. Obdobně se definuje dolní závora množiny A, tj. je to prvek a R s vlastností, že a x pro všechny x A. Řekneme, že množina A je shora ohraničená (shora omezená), pokud má A alespoň jednu horní závoru. Podobně se definuje zdola ohraničená (zdola omezená) množina A. Množina A je ohraničená (omezená), pokud je A současně zdola i shora ohraničená. Viz příklady reálných intervalů. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Horní a dolní závory, suprema a infima Pojem suprema má smysl pro každou uspořádanou množinu, my se zde omezíme na reálná čísla. Nechť je dána neprázdná množina A R. Prvek b R nazveme horní závorou množiny A, pokud x A : x b, tj. pokud je prvek b větší (nebo roven) než všechny prvky v množině A. Obdobně se definuje dolní závora množiny A, tj. je to prvek a R s vlastností, že a x pro všechny x A. Řekneme, že množina A je shora ohraničená (shora omezená), pokud má A alespoň jednu horní závoru. Podobně se definuje zdola ohraničená (zdola omezená) množina A. Množina A je ohraničená (omezená), pokud je A současně zdola i shora ohraničená. Viz příklady reálných intervalů. Nejmenší horní závora množiny A se nazývá supremum množiny A. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Tj. prvek b R je supremum množiny A, pokud jsou splněny následující dvě podmínky: x A : x b (tj. b je horní závora množiny A), je-li y R horní závora množiny A, potom je b y (tj. b je nejmenší horní závora). Supremum množiny A značíme jako b = sup A. Obdobně se definuje infimum množiny A, neboli je to největší dolní závora množiny A, značíme a = inf A. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Tj. prvek b R je supremum množiny A, pokud jsou splněny následující dvě podmínky: x A : x b (tj. b je horní závora množiny A), je-li y R horní závora množiny A, potom je b y (tj. b je nejmenší horní závora). Supremum množiny A značíme jako b = sup A. Obdobně se definuje infimum množiny A, neboli je to největší dolní závora množiny A, značíme a = inf A. Příklad Je-li A libovolný z intervalů (0, 1), [0, 1], [0, 1) nebo (0, 1], potom je vždy sup A = 1 a inf A = 0. Má-li množina A největší (resp. nejmenší) prvek b, potom je b = sup A (resp. b = inf A). Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Tj. prvek b R je supremum množiny A, pokud jsou splněny následující dvě podmínky: x A : x b (tj. b je horní závora množiny A), je-li y R horní závora množiny A, potom je b y (tj. b je nejmenší horní závora). Supremum množiny A značíme jako b = sup A. Obdobně se definuje infimum množiny A, neboli je to největší dolní závora množiny A, značíme a = inf A. Příklad Je-li A libovolný z intervalů (0, 1), [0, 1], [0, 1) nebo (0, 1], potom je vždy sup A = 1 a inf A = 0. Má-li množina A největší (resp. nejmenší) prvek b, potom je b = sup A (resp. b = inf A). Zatímco největší či nejmenší prvek nemusí v A existovat, i když je množina A ohraničená, supremum a infimum existují (v ohraničeném případě) vždy (jak je vidět z výše uvedeného axiomu R19). Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Plán přednášky 1 Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Splajny Aproximace 2 Reálná čísla 3 Limita posloupnosti a funkce 4 Spojitost Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Limita V tomto odstavci se budeme podrobně zabývat situací, kdy se nějaké hodnoty funkce (nebo posloupnosti) blíží k nějakému číslu či k . To pak přirozeně vede k zavedení pojmu limita. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Limita V tomto odstavci se budeme podrobně zabývat situací, kdy se nějaké hodnoty funkce (nebo posloupnosti) blíží k nějakému číslu či k . To pak přirozeně vede k zavedení pojmu limita. Příklad K přiblížení pojmu limita může dobře posloužit již známý pojem infima či suprema. Zřejmě je 0 = inf(0, 1), 1 = sup(0, 1), a přitom ani jedno z čísel 0, 1 v množině (0, 1) neleží. Uvažujme posloupnost bodů 1 n n=2 = 1 2 , 1 3 , 1 4 , . . . (0, 1) pro zvyšující se n. Potom vidíme, že se hodnoty této posloupnosti nekonečně blíží k hodnotě infima (k nule), ale nikdy této hodnoty nedosáhnou. Podobně toto platí pro posloupnost n-1 n n=2 = 1 2, 3 4, 4 5, . . . (0, 1) a hodnotu suprema 1. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Limita funkce Podobně jako v případě reálných posloupností (tj. vlastně funkcí N R) je asi intuitivně zřejmé, co je míněno limitou funkce v bodě x0 . Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Limita funkce Podobně jako v případě reálných posloupností (tj. vlastně funkcí N R) je asi intuitivně zřejmé, co je míněno limitou funkce v bodě x0 . Funkce f (x) má limitu L v bodě x0, pokud se funkční hodnoty f (x) libovolně blíží k číslu L, když je x dostatečně blízko k x0. Příklad Uvádíme různé druhy limit ­ vlastní/nevlastní limita ve vlastním/nevlastním bodě. (a) Pro funkci f (x) = 3x + 1 máme limx3(3x + 1) = 10, limx(3x + 1) = . Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Limita funkce Podobně jako v případě reálných posloupností (tj. vlastně funkcí N R) je asi intuitivně zřejmé, co je míněno limitou funkce v bodě x0 . Funkce f (x) má limitu L v bodě x0, pokud se funkční hodnoty f (x) libovolně blíží k číslu L, když je x dostatečně blízko k x0. Příklad Uvádíme různé druhy limit ­ vlastní/nevlastní limita ve vlastním/nevlastním bodě. (a) Pro funkci f (x) = 3x + 1 máme limx3(3x + 1) = 10, limx(3x + 1) = . (b) Pro funkci f (x) = 1 x2 máme (viz obr.) limx0 1 x2 = , limx 1 x2 = 0, limx- 1 x2 = 0. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Limita funkce Podobně jako v případě reálných posloupností (tj. vlastně funkcí N R) je asi intuitivně zřejmé, co je míněno limitou funkce v bodě x0 . Funkce f (x) má limitu L v bodě x0, pokud se funkční hodnoty f (x) libovolně blíží k číslu L, když je x dostatečně blízko k x0. Příklad Uvádíme různé druhy limit ­ vlastní/nevlastní limita ve vlastním/nevlastním bodě. (a) Pro funkci f (x) = 3x + 1 máme limx3(3x + 1) = 10, limx(3x + 1) = . (b) Pro funkci f (x) = 1 x2 máme (viz obr.) limx0 1 x2 = , limx 1 x2 = 0, limx- 1 x2 = 0. (c) Co je limx0 1 x ? Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Okolí bodu Okolím bodu a R nazýváme libovolný otevřený interval O, který a obsahuje. Je-li okolí definované jako interval O(a) = (a - , a + ) pro kladné číslo , hovoříme o -okolí bodu a (a v případě množiny O \ {a} o ryzím (též prstencovém) okolí bodu a). Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Okolí bodu Okolím bodu a R nazýváme libovolný otevřený interval O, který a obsahuje. Je-li okolí definované jako interval O(a) = (a - , a + ) pro kladné číslo , hovoříme o -okolí bodu a (a v případě množiny O \ {a} o ryzím (též prstencovém) okolí bodu a). Pro diskusi limit je vhodné rozšířit množinu reálných čísel R (vlastních bodů) o dvě nekonečné hodnoty (nevlastní body), R = R {} . Pro tyto účely si zavádíme i pravidla pro počítání s těmito formálně přidanými hodnotami pro libovolná konečná čísla a R: a + = a - = a = , je-li a > 0 a = -, je-li a < 0 Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Okolí bodu Okolím bodu a R nazýváme libovolný otevřený interval O, který a obsahuje. Je-li okolí definované jako interval O(a) = (a - , a + ) pro kladné číslo , hovoříme o -okolí bodu a (a v případě množiny O \ {a} o ryzím (též prstencovém) okolí bodu a). Pro diskusi limit je vhodné rozšířit množinu reálných čísel R (vlastních bodů) o dvě nekonečné hodnoty (nevlastní body), R = R {} . Pro tyto účely si zavádíme i pravidla pro počítání s těmito formálně přidanými hodnotami pro libovolná konečná čísla a R: a + = a - = a = , je-li a > 0 a = -, je-li a < 0 Okolím nekonečna, resp. -, rozumíme interval (a, ), resp. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Limita Definice Buď x0, L R. Funkce f (x) má v bodě x0 limitu L, píšeme lim xx0 f (x) = L, pokud pro každé okolí O(L) bodu L existuje okolí O(x0) bodu x0 tak, že pro všechna x O(x0) \ {x0} je f (x) O(L). Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Limita Definice Buď x0, L R. Funkce f (x) má v bodě x0 limitu L, píšeme lim xx0 f (x) = L, pokud pro každé okolí O(L) bodu L existuje okolí O(x0) bodu x0 tak, že pro všechna x O(x0) \ {x0} je f (x) O(L). Poznámka To, že požadujeme, aby x = x0, znamená, že limita nezávisí na hodnotě funkce v bodě x0!, tj. zajímají nás pouze hodnoty v ryzím okolí bodu x0. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Příklad Ukažte z definice, že limx3(3x + 1) = 10. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Příklad Ukažte z definice, že limx3(3x + 1) = 10. Řešení Buď > 0 libovolné. Chceme najít číslo > 0 takové, aby |y - 10| < , kdykoliv bude 0 < |x - 3| < . Tedy (3x + 1) - 10 < , tj. |3x - 9| < , tj. |x - 3| < 3 . Stačí tedy vzít := 3 , případně libovolné jiné splňující 0 < 3. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Příklad Ukažte z definice, že limx 1 x = 0. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Příklad Ukažte z definice, že limx 1 x = 0. Řešení Buď > 0 libovolné. Chceme najít číslo a > 0 takové, aby |y - 0| < , kdykoliv bude x > a. Tedy |1 x | < , tj. 1 x < , tj. x > 1 . Stačí tedy vzít a := 1 , případně libovolné jiné a splňující a 1 . Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Příklad Ukažte z definice, že limx 1 x = 0. Řešení Buď > 0 libovolné. Chceme najít číslo a > 0 takové, aby |y - 0| < , kdykoliv bude x > a. Tedy |1 x | < , tj. 1 x < , tj. x > 1 . Stačí tedy vzít a := 1 , případně libovolné jiné a splňující a 1 . Ve vlastních bodech x0 se můžeme blížit k bodu x0 také jen zprava nebo jen zleva, tj. v definici limity použijeme v pouze pravé ryzí okolí bodu x0 nebo pouze levé ryzí okolí bodu x0. Dostáváme pak pojmy limity zprava a limity zleva. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Příklad Pro funkci sgn x (signum=znaménko) definovanou jako sgn x := 1, pro x > 0, -1, pro x < 0, 0, pro x = 0, platí lim x0+ sgn x = 1, lim x0sgn x = -1. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Příklad Pro funkci sgn x (signum=znaménko) definovanou jako sgn x := 1, pro x > 0, -1, pro x < 0, 0, pro x = 0, platí lim x0+ sgn x = 1, lim x0sgn x = -1. Příklad Pro funkci 1 x platí lim x0+ 1 x = , lim x0- 1 x = -. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Limita posloupnosti Jestliže je funkce f je definována pouze pro přirozená čísla, hovoříme o limitách posloupností reálných nebo komplexních čísel. Zřejmě má smysl prát se pouze po limitách v (tj. jediným hromadným bodem N je ) a píšeme pro f (n) = an lim n an = a. Podle definice to pak znamená, že pro každé okolí O(a) limitní hodnoty a existuje index N N takový, že an O(a) pro všechny n N. Ve skutečnosti jsme tedy v tomto speciálním případě přeformulovali definici konvergence posloupnosti. Říkáme také, že posloupnost an konverguje k a. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Kdy limita neexistuje? skok ­ funkce má obě jednostranné limity vlastní, které jsou ale různé (viz funkce sgn), Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Kdy limita neexistuje? skok ­ funkce má obě jednostranné limity vlastní, které jsou ale různé (viz funkce sgn), nekonečný skok ­ funkce má obě jednostranné limity, přičemž alespoň jedna z nich je nevlastní (tj. ), tyto jednostranné limity jsou ale různé (viz funkce 1/x ), Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Kdy limita neexistuje? skok ­ funkce má obě jednostranné limity vlastní, které jsou ale různé (viz funkce sgn), nekonečný skok ­ funkce má obě jednostranné limity, přičemž alespoň jedna z nich je nevlastní (tj. ), tyto jednostranné limity jsou ale různé (viz funkce 1/x ), oscilace ­ např. funkce f (x) = sin 1 x v bodě x0 = 0. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Kdy limita neexistuje? skok ­ funkce má obě jednostranné limity vlastní, které jsou ale různé (viz funkce sgn), nekonečný skok ­ funkce má obě jednostranné limity, přičemž alespoň jedna z nich je nevlastní (tj. ), tyto jednostranné limity jsou ale různé (viz funkce 1/x ), oscilace ­ např. funkce f (x) = sin 1 x v bodě x0 = 0. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Kdy limita neexistuje? skok ­ funkce má obě jednostranné limity vlastní, které jsou ale různé (viz funkce sgn), nekonečný skok ­ funkce má obě jednostranné limity, přičemž alespoň jedna z nich je nevlastní (tj. ), tyto jednostranné limity jsou ale různé (viz funkce 1/x ), oscilace ­ např. funkce f (x) = sin 1 x v bodě x0 = 0. Příklad Funkce q(x) := 1, pro x Q (tj. pro x racionální), 0, pro x Q (tj. pro x iracionální), nemá limitu v žádném bodě x0 R, protože v libovolném okolí zvoleného bodu x0 se nacházají jak racionální tak iracionální čísla a tedy tato funkce zde nabývá hodnot 1 i 0 (a tedy zde nemůže mít limitu). Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Vlastnosti limit Věta 1 Funkce f (x) má v bodě x0 R nejvýše jednu limitu. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Vlastnosti limit Věta 1 Funkce f (x) má v bodě x0 R nejvýše jednu limitu. 2 Má-li f (x) vlastní limitu L R v bodě x0 R, potom je f (x) na nějakém ryzím okolí bodu x0 ohramičená. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Vlastnosti limit Věta 1 Funkce f (x) má v bodě x0 R nejvýše jednu limitu. 2 Má-li f (x) vlastní limitu L R v bodě x0 R, potom je f (x) na nějakém ryzím okolí bodu x0 ohramičená. 3 Limita existuje, právě když existují obě jednostranné limity a jsou si rovny, tj. lim xx0 f (x) = L lim xx+ 0 f (x) = L = lim xx- 0 f (x). Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Vlastnosti limit Věta Jsou-li lim xx0 f (x) = L, lim xx0 g(x) = M, kde L, M R (pouze vlastní limity!) a x0 R, potom lim xx0 f (x) g(x) = L M, lim xx0 f (x) . g(x) = L . M, lim xx0 f (x) g(x) = L M , pokud M = 0, lim xx0 f (x) = lim xx0 f (x) = |L|. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Vlastnosti limit Věta (O třech limitách) Nechť x0, L R. Je-li g(x) f (x) h(x) na nějakém ryzím okolí bodu x0 a je-li lim xx0 g(x) = L = lim xx0 h(x), potom také existuje limita funkce f (x) a je rovna číslu L, tj. lim xx0 f (x) = L. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Vlastnosti limit Věta (O třech limitách) Nechť x0, L R. Je-li g(x) f (x) h(x) na nějakém ryzím okolí bodu x0 a je-li lim xx0 g(x) = L = lim xx0 h(x), potom také existuje limita funkce f (x) a je rovna číslu L, tj. lim xx0 f (x) = L. Příklad Rozhodněte, jestli má funkce x sin 1 x limitu v bodě x0 = 0. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Vlastnosti limit Věta (O třech limitách) Nechť x0, L R. Je-li g(x) f (x) h(x) na nějakém ryzím okolí bodu x0 a je-li lim xx0 g(x) = L = lim xx0 h(x), potom také existuje limita funkce f (x) a je rovna číslu L, tj. lim xx0 f (x) = L. Příklad Rozhodněte, jestli má funkce x sin 1 x limitu v bodě x0 = 0. Řešení Protože je funkce sin x ohraničená (jedničkou shora a mínus jedničkou zdola), pro x = 0 platí nerovnosti -|x| x sin 1 x |x|. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Plán přednášky 1 Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Splajny Aproximace 2 Reálná čísla 3 Limita posloupnosti a funkce 4 Spojitost Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Spojitost Spojitost funkce je důležitým znakem jejího chování. Uvidíme, že spojité funkce mají téměř všechny důležité vlastnosti. Definice Funkce f (x) je spojitá v bodě x0 R, jestliže existuje v tomto bodě vlastní limita L, v bodě x0 existuje funkční hodnota f (x0) a tato dvě čísla jsou si rovna, tj. limxx0 f (x) = f (x0). Obdobně spojitost zprava a zleva. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Spojitost Spojitost funkce je důležitým znakem jejího chování. Uvidíme, že spojité funkce mají téměř všechny důležité vlastnosti. Definice Funkce f (x) je spojitá v bodě x0 R, jestliže existuje v tomto bodě vlastní limita L, v bodě x0 existuje funkční hodnota f (x0) a tato dvě čísla jsou si rovna, tj. limxx0 f (x) = f (x0). Obdobně spojitost zprava a zleva. Funkce f je spojitá na množině A, jestliže je spojitá ve ve všech bodech x0 A (příp. jednostranně). Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Spojitost Spojitost funkce je důležitým znakem jejího chování. Uvidíme, že spojité funkce mají téměř všechny důležité vlastnosti. Definice Funkce f (x) je spojitá v bodě x0 R, jestliže existuje v tomto bodě vlastní limita L, v bodě x0 existuje funkční hodnota f (x0) a tato dvě čísla jsou si rovna, tj. limxx0 f (x) = f (x0). Obdobně spojitost zprava a zleva. Funkce f je spojitá na množině A, jestliže je spojitá ve ve všech bodech x0 A (příp. jednostranně). Příklad Z vlastností limity snadno plyne, že každý polynom (a tedy i každý splajn) je spojitou funkcí na celém R. Každá racionální lomená funkce je pak spojitá ve všech bodech, kde je nenulový jmenovatel. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Příklad 1 Funkce f (x) = 4 - x2 je spojitá na intervalu [-2, 2], tj. f C[-2, 2]. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Příklad 1 Funkce f (x) = 4 - x2 je spojitá na intervalu [-2, 2], tj. f C[-2, 2]. 2 Funkce f (x) = 1 x je spojitá na intervalu (-, 0), na intervalu (0, ), ale není spojitá na intervalu (-, ) (tedy na R). Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Vlastnosti spojitých funkcí Vlastnosti 1 Jsou-li funkce f (x) a g(x) spojité v bodě x0, pak jsou zde spojité i funkce (f g)(x), f (x) . g(x), f (x) g(x) pro g(x0) = 0. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Vlastnosti spojitých funkcí Vlastnosti 1 Jsou-li funkce f (x) a g(x) spojité v bodě x0, pak jsou zde spojité i funkce (f g)(x), f (x) . g(x), f (x) g(x) pro g(x0) = 0. 2 (Věta o záměnnosti limitního přechodu a funkce.) Nechť x0 R. Je-li limxx0 g(x) = M a je-li funkce f (y) spojitá v bodě y0 = M, potom lim xx0 f g(x) = f lim xx0 g(x) = f (M). Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Vlastnosti spojitých funkcí Vlastnosti 1 Jsou-li funkce f (x) a g(x) spojité v bodě x0, pak jsou zde spojité i funkce (f g)(x), f (x) . g(x), f (x) g(x) pro g(x0) = 0. 2 (Věta o záměnnosti limitního přechodu a funkce.) Nechť x0 R. Je-li limxx0 g(x) = M a je-li funkce f (y) spojitá v bodě y0 = M, potom lim xx0 f g(x) = f lim xx0 g(x) = f (M). 3 (Spojitost složené funkce.) Je-li funkce g(x) spojitá v bodě x0 a je-li funkce f (y) spojitá v bodě y0 = g(x0), potom je složená funkce (f g)(x) = f g(x) spojitá v bodě x0. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Vlastnosti spojitých funkcí Věta (Weierstrassova) Je-li funkce f (x) spojitá na intervalu [a, b], tj. na uzavřeném konečném intervalu, potom je na tomto intervalu ohraničená a nabývá v něm své nejmenší a největší hodnoty. Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Vlastnosti spojitých funkcí Věta (Weierstrassova) Je-li funkce f (x) spojitá na intervalu [a, b], tj. na uzavřeném konečném intervalu, potom je na tomto intervalu ohraničená a nabývá v něm své nejmenší a největší hodnoty. Věta (Bolzanova) Je-li funkce f (x) spojitá na intervalu [a, b], tj. na uzavřeném konečném intervalu, potom f (x) nabývá v tomto intervalu všech hodnot mezi svou nejmenší a největší hodnotou. Důsledek Je-li funkce f (x) spojitá na intervalu [a, b] a mají-li hodnoty f (a) a f (b) různá znaménka, pak existuje bod c (a, b) tak, že platí f (c) = 0, tj. rovnice f (x) = 0 má v intervalu (a, b) alespoň jedno řešení Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Základní limity Příklad Určete lim x0 sin x x . Dokončení z minula ­ splajny, metoda nejmenších čtverců Reálná čísla Limita posloupnosti a funkce Spojitost Základní limity Příklad Určete lim x0 sin x x . Řešení Pro x (0, 2 ) platí sin x < x < tg x (viz obr.). A protože je pro tato x hodnota sin x > 0, je 1 < x sin x < 1 cos x , tj. cos x < sin x x < 1. Jelikož je funkce cos x spojitá (v nule), obě strany nerovnosti se pro x 0+ blíží k 1, a tedy podle věty o třech limitách je lim x0+ sin x x = 1.