Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Matematika II ­ 4. přednáška
Derivace ­ pravidla, základní věty
Michal Bulant
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
8. 10. 2008
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Obsah přednášky
1 Vlastnosti derivací
2 Derivace vyšších řádů
3 Derivace elementárních funkcí
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Doporučené zdroje
Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text.
Roman Hilscher ­ MB102, e-text.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Doporučené zdroje
Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text.
Roman Hilscher ­ MB102, e-text.
Zuzana Došlá, Jaromír Kuben ­ Diferenciální počet funkcí
jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2
(rovněž na
http://www.math.muni.cz/~dosla/skript.pdf).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Plán přednášky
1 Vlastnosti derivací
2 Derivace vyšších řádů
3 Derivace elementárních funkcí
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace v praxi
rychlost
Je-li s(t) poloha hmotného bodu na přímce v čase t, potom je
výraz
celková dráha
celkový čas
=
s(t) - s(t0)
t - t0
roven průměrné rychlosti za časový úsek [t0, t]. Zřejmě je pak
lim
tt0
s(t) - s(t0)
t - t0
= s (t0)
rychlost v okamžiku t0, a tedy je
v(t) = s (t), rychlost je derivace dráhy.
Zde je nutné vzít v úvahu, že rychlost v(t) má znaménko, tj.
v(t) > 0 ve směru pohybu, kdy se s(t) zvětšuje a v(t) < 0, když
se s(t) zmenšuje.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
zrychlení
Protože je zrychlení a(t) změna rychlosti, podobně platí, že
lim
tt0
v(t) - v(t0)
t - t0
= v (t0)
je zrychlení v okamžiku t0, a tedy je
a(t) = v (t), zrychlení je derivace rychlosti.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
výkon
Protože platí, že
výkon =
změna práce
změna času
,
je
P(t) = W (t), výkon je derivace práce.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
výkon
Protože platí, že
výkon =
změna práce
změna času
,
je
P(t) = W (t), výkon je derivace práce.
proud
Protože platí, že
elektrický proud =
změna napětí
změna času
,
je
I(t) = U (t), proud je derivace napětí.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Vlastnosti a pravidla derivací
V tomto odstavci odvodíme základní vlastnosti funkce a její
derivace a pravidla pro počítání derivací.
Věta
Má-li f (x) v bodě x0 vlastní derivaci f (x0), potom je funkce f (x)
spojitá v bodě x0.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Vlastnosti a pravidla derivací
V tomto odstavci odvodíme základní vlastnosti funkce a její
derivace a pravidla pro počítání derivací.
Věta
Má-li f (x) v bodě x0 vlastní derivaci f (x0), potom je funkce f (x)
spojitá v bodě x0.
Důkaz.
Chceme ukázat, že limxx0 f (x) = f (x0). Protože existuje vlastní
f (x0) je
lim
xx0
f (x) = lim
xx0
[f (x) - f (x0) + f (x0)] =
= lim
xx0
f (x) - f (x0)
x - x0
 f (x0)
 (x - x0)
 0
+ f (x0)
 f (x0)
= f (x0) . 0 + f (x0) = f (x0).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Pravidla pro derivace
Věta
1 Pravidlo konstantního násobku:
c  f (x) = c  f (x).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Pravidla pro derivace
Věta
1 Pravidlo konstantního násobku:
c  f (x) = c  f (x).
2 Pravidlo součtu a rozdílu:
f (x)  g(x) = f (x)  g (x).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Pravidla pro derivace
Věta
1 Pravidlo konstantního násobku:
c  f (x) = c  f (x).
2 Pravidlo součtu a rozdílu:
f (x)  g(x) = f (x)  g (x).
3 Pravidlo součinu:
f (x) . g(x) = f (x) . g(x) + f (x) . g (x).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Pravidla pro derivace
Věta
1 Pravidlo konstantního násobku:
c  f (x) = c  f (x).
2 Pravidlo součtu a rozdílu:
f (x)  g(x) = f (x)  g (x).
3 Pravidlo součinu:
f (x) . g(x) = f (x) . g(x) + f (x) . g (x).
4 Pravidlo podílu (g(x) = 0) :
f (x)
g(x)
=
f (x) . g(x) - f (x) . g (x)
[g(x)]2
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Věta (Derivace složené funkce)
Má-li funkce y = f (u) derivaci v bodě u0 := g(x0) a funkce
u = g(x) derivaci v bodě x0, potom má složená funkce
y = (f  g)(x) = f g(x) derivaci v bodě x0 a platí
(f  g) (x) = f (u0) . g (x0) = f g(x0) . g (x0).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Intuitivně můžeme pravidlům velice snadno rozumět, když si
derivaci funkce y = f (x) představíme jako podíl přírůstků závislé
proměnné y a nezávislé proměnné x:
f =
y
x
.
Samozřejmě pak při y = h(x) = f (x) + g(x) je přírůstek y dán
součtem přírůstků f a g a přírůstek závislé proměnné zůstává
stejný. Je tedy derivace součtu součtem derivací.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Intuitivně můžeme pravidlům velice snadno rozumět, když si
derivaci funkce y = f (x) představíme jako podíl přírůstků závislé
proměnné y a nezávislé proměnné x:
f =
y
x
.
Samozřejmě pak při y = h(x) = f (x) + g(x) je přírůstek y dán
součtem přírůstků f a g a přírůstek závislé proměnné zůstává
stejný. Je tedy derivace součtu součtem derivací.
U součinu musíme být malinko pozornější. Pro
y = h(x) = f (x)g(x) je přírůstek
y = f (x + x)g(x + x) - f (x)g(x)
= f (x + x)(g(x + x) - g(x)) + (f (x + x) - f (x))g(x)
Nyní ale když budeme zmenšovat přírůstek x, jde vlastně o
výpočet limity součtu součinů a o tom už víme, že jej lze počítat
jako součet součinů limit. Proto z naší formulky lze očkávat pro
derivaci součinu fg výraz fg + f g.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Důkaz.
Pravidla (i) a (ii) jsou triviální z definice derivace (jako limity).
Ukážeme pravidlo součinu:
(f . g) (x0) = lim
xx0
f (x) . g(x) - f (x0) . g(x0)
x - x0
= lim
xx0
f (x) . g(x) - f (x0) . g(x) + f (x0) . g(x) - f (x0) . g(x0)
x - x0
= lim
xx0
f (x) - f (x0)
x - x0
 f (x0)
 g(x)
g(x0)
+ f (x0)
f (x0)

g(x) - g(x0)
x - x0
 g (x0)
= f (x0) . g(x0) + f (x0) . g (x0),
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Ještě zajímavější je to pro derivaci složené funkce g = h  f , kde
definiční obor funkce z = h(y) obsahuje obor hodnot funkce
y = f (x). Vhled do problému nám poskytne následující příklad.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Ještě zajímavější je to pro derivaci složené funkce g = h  f , kde
definiční obor funkce z = h(y) obsahuje obor hodnot funkce
y = f (x). Vhled do problému nám poskytne následující příklad.
Příklad
Uvažujme soukolí tří ozubených kol, přičemž kolo A má 12 zubů,
kolo B má 4 zuby a kolo C má 6 zubů (viz obr.). Jestliže kolo A
udělá y otáček, kolo B udělá u otáček a kolo C udělá x otáček,
potom platí
y =
1
3
u, u =
3
2
x, a tedy je y =
1
3
u =
1
3
3
2
x =
1
2
x.
Vidíme, že při skládání funkcí se velikost změn (= derivace) násobí.
Opět vypsáním přírůstků dostáváme
g =
z
x
=
z
y
y
x
.
Můžeme tedy očekávat, že pravidlo pro výpočet bude
(h  f ) (x) = h (f (x))f (x).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Důkaz.
Vztah pro derivaci podílu lze snadno odvodit přímo z definice,
ukážeme zde ale, jak jej odvodit pomocí pravidla pro derivaci
složené funkce.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Důkaz.
Vztah pro derivaci podílu lze snadno odvodit přímo z definice,
ukážeme zde ale, jak jej odvodit pomocí pravidla pro derivaci
složené funkce.
Pro funkci (1/g) = (g-1) pravidlo pro derivaci složené funkce říká,
že (g-1) = -g2  g a konečně pravidlo pro derivaci součinu nám
dává právě kýžený vzorec:
(f /g) = (f  g-1
) = f g-1
- fg-2
g =
f g - gf
g2
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace inverzních funkcí
Již dávno jsme formulovali pojem inverzní funkce: Pokud k dané
funkci f : R  R inverzní funkce f -1 existuje (nezaměňujme
značení s funkcí x  (f (x))-1), pak je dána jednoznačně
kterýmkoliv ze vztahů f -1  f = idR, f  f -1 = idR, a druhý již
pak platí také. Pokud je f definováno na podmnožině A  R a
f (A) = B, je existence f -1 podmíněna stejnými vztahy s
identickými zobrazeními idA resp. idB na pravých stranách.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace inverzních funkcí
Již dávno jsme formulovali pojem inverzní funkce: Pokud k dané
funkci f : R  R inverzní funkce f -1 existuje (nezaměňujme
značení s funkcí x  (f (x))-1), pak je dána jednoznačně
kterýmkoliv ze vztahů f -1  f = idR, f  f -1 = idR, a druhý již
pak platí také. Pokud je f definováno na podmnožině A  R a
f (A) = B, je existence f -1 podmíněna stejnými vztahy s
identickými zobrazeními idA resp. idB na pravých stranách.
Pokud bychom věděli, že pro diferencovatelnou funkci f je i f -1
diferencovatelná, vztah pro derivaci složené funkce nám (pro
y = f (x)) dává
1 = (id) (x) = (f -1
 f ) (x) = (f -1
) (f (x))  f (x)
a tedy přímo víme formuli (zjevně f (x) v takovém případě nemůže
být nulové)
(f -1
) (f (x)) =
1
f (x)
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
To dobře odpovídá intuitivní představě, že pro y = f (x) je f = y
x
zatímco pro x = f -1(y) je (f -1) (y) = x
y . Takto skutečně
můžeme derivace inverzních funkcí počítat:
Věta
Je-li f diferencovatelná funkce na okolí bodu x0 a f (x0) = 0, pak
existuje na nějakém okolí bodu y0 = f (x0) funkce f -1 inverzní k f
a platí vztah
(f -1
) (y0) =
1
f (x0)
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
To dobře odpovídá intuitivní představě, že pro y = f (x) je f = y
x
zatímco pro x = f -1(y) je (f -1) (y) = x
y . Takto skutečně
můžeme derivace inverzních funkcí počítat:
Věta
Je-li f diferencovatelná funkce na okolí bodu x0 a f (x0) = 0, pak
existuje na nějakém okolí bodu y0 = f (x0) funkce f -1 inverzní k f
a platí vztah
(f -1
) (y0) =
1
f (x0)
.
Pokud je f (x0) = 0 izolovaným nulovým bodem derivace f (x) a
inverzní funkce k f na okolí f (x0) existuje, pak je derivace funkce
f -1 v bodě f (x0) nevlastní (přitom je rovna + , právě když je f
na daném okolí f (x0) rostoucí).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Příklad
Určete derivaci funkce 3

x.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Příklad
Určete derivaci funkce 3

x.
Řešení
Funkce y = f -1(x) = 3

x je inverzní k funkci x = f (y) = y3.
Protože f (y) = 3y2, máme
(f -1
(x)) =
1
f (y)
=
1
3y2
=
1
3
3

x2
.
Vidíme (ať už z předchozí věty nebo limitním přechodem v
předchozím výpočtu), že v bodě x0 = 0 má funkce 3

x derivaci .
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Jiný pohled na derivaci inverzní funkce
Označme jako  (známý) směrový úhel tečny ke grafu funkce
x = f (y) v bodě [y0, x0] vzhledem ke kladnému směru osy y a jako
 (neznámý) směrový úhel tečny ke grafu funkce y = f -1(x) v
bodě [x0, y0] vzhledem ke kladnému směru osy x, přičemž platí, že
tg  = f (y0) je známá hodnota a my chceme určit neznámou
hodnotu
tg  = (f -1
) (x0).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Jiný pohled na derivaci inverzní funkce
Označme jako  (známý) směrový úhel tečny ke grafu funkce
x = f (y) v bodě [y0, x0] vzhledem ke kladnému směru osy y a jako
 (neznámý) směrový úhel tečny ke grafu funkce y = f -1(x) v
bodě [x0, y0] vzhledem ke kladnému směru osy x, přičemž platí, že
tg  = f (y0) je známá hodnota a my chceme určit neznámou
hodnotu
tg  = (f -1
) (x0).
Vzhledem k tomu, že  +  = 
2 (promyslete!), pro tg  = 0
dostaneme tg  = tg(
2 - ) =
sin(

2 -)
cos(

2 -)
= cos 
sin  = 1
tg .
Je tedy
(f -1
) (x0) =
1
f (y0)
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Jiný pohled na derivaci inverzní funkce
Označme jako  (známý) směrový úhel tečny ke grafu funkce
x = f (y) v bodě [y0, x0] vzhledem ke kladnému směru osy y a jako
 (neznámý) směrový úhel tečny ke grafu funkce y = f -1(x) v
bodě [x0, y0] vzhledem ke kladnému směru osy x, přičemž platí, že
tg  = f (y0) je známá hodnota a my chceme určit neznámou
hodnotu
tg  = (f -1
) (x0).
Vzhledem k tomu, že  +  = 
2 (promyslete!), pro tg  = 0
dostaneme tg  = tg(
2 - ) =
sin(

2 -)
cos(

2 -)
= cos 
sin  = 1
tg .
Je tedy
(f -1
) (x0) =
1
f (y0)
.
Je-li tg  = 0 (tečna ke grafu původní funkce x = f (y) je
vodorovná), potom je tečna ke grafu inverzní funkce y = f -1(x)
svislá, tj. (f -1) (x0) je nevlastní.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Plán přednášky
1 Vlastnosti derivací
2 Derivace vyšších řádů
3 Derivace elementárních funkcí
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Definice
Říkáme, že reálná nebo komplexní funkce f má derivaci druhého
řádu v bodě x0, jestliže derivace f existuje na nějakém okolí bodu
x0 a existuje její derivace v bodě x0. Píšeme
f (x0) = (f ) (x0)
nebo také f (2)(x0). Funkce f je dvakrát diferencovatelná na
nějakém intervalu A, jestliže má druhou derivaci v každém jeho
bodě.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Definice
Říkáme, že reálná nebo komplexní funkce f má derivaci druhého
řádu v bodě x0, jestliže derivace f existuje na nějakém okolí bodu
x0 a existuje její derivace v bodě x0. Píšeme
f (x0) = (f ) (x0)
nebo také f (2)(x0). Funkce f je dvakrát diferencovatelná na
nějakém intervalu A, jestliže má druhou derivaci v každém jeho
bodě.
Derivace vyšších řádů definujeme induktivně. Známe již pojem
první a druhá derivace a říkáme, že reálná nebo komplexní funkce f
je k-krát diferencovatelná pro nějaké přirozené číslo k v bodě x0,
jestliže je (k - 1)-krát diferencovatelná na nějakém okolí bodu x0 a
její (k - 1)-ní derivace má v bodě x0 derivaci.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Definice
Říkáme, že reálná nebo komplexní funkce f má derivaci druhého
řádu v bodě x0, jestliže derivace f existuje na nějakém okolí bodu
x0 a existuje její derivace v bodě x0. Píšeme
f (x0) = (f ) (x0)
nebo také f (2)(x0). Funkce f je dvakrát diferencovatelná na
nějakém intervalu A, jestliže má druhou derivaci v každém jeho
bodě.
Derivace vyšších řádů definujeme induktivně. Známe již pojem
první a druhá derivace a říkáme, že reálná nebo komplexní funkce f
je k-krát diferencovatelná pro nějaké přirozené číslo k v bodě x0,
jestliže je (k - 1)-krát diferencovatelná na nějakém okolí bodu x0 a
její (k - 1)-ní derivace má v bodě x0 derivaci.
Pro k-tou derivaci funkce f (x) užíváme značení f (k)(x).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Jestliže existují derivace všech řádů na nějakém intervalu, říkáme,
že je tam funkce f hladká. Většinou se také užívá konvence, že
0-krát diferencovatelná funkce znamená spojitou funkci. Pro
funkce, jejichž k-tá derivace je spojitá, užíváme označení třída
funkcí Ck(A) na intervalu A, kde k může nabývat hodnot
0, 1, . . . , . Často píšeme pouze Ck, je-li definiční obor znám z
kontextu.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Diferencovatelnost polynomů a splajnů
Výsledkem derivování polynomu je opět polynom, ale derivací se
vždy o jedničku snižuje jeho stupeň, dostaneme po konečném
počtu derivací nulový polynom. Přesněji řečeno, právě po k + 1
derivacích, kde k je stupeň polynomu, dostaneme nulu.
Samozřejmě pak existují derivace všech řádů, tj. f  C(R).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Diferencovatelnost polynomů a splajnů
Výsledkem derivování polynomu je opět polynom, ale derivací se
vždy o jedničku snižuje jeho stupeň, dostaneme po konečném
počtu derivací nulový polynom. Přesněji řečeno, právě po k + 1
derivacích, kde k je stupeň polynomu, dostaneme nulu.
Samozřejmě pak existují derivace všech řádů, tj. f  C(R).
Racionální funkce lomené budou nekonečně diferencovatelné ve
všech bodech svého definičního oboru.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Diferencovatelnost polynomů a splajnů
Výsledkem derivování polynomu je opět polynom, ale derivací se
vždy o jedničku snižuje jeho stupeň, dostaneme po konečném
počtu derivací nulový polynom. Přesněji řečeno, právě po k + 1
derivacích, kde k je stupeň polynomu, dostaneme nulu.
Samozřejmě pak existují derivace všech řádů, tj. f  C(R).
Racionální funkce lomené budou nekonečně diferencovatelné ve
všech bodech svého definičního oboru.
Při konstrukci splajnů jsme pohlídali, aby výsledné funkce byly třídy
C2(R). Jejich třetí derivace budou po částech konstantní funkce.
Proto nebudou splajny patřit do C3(R), přestože jejich všechny
derivace vyšších řádů budou nulové ve všech vnitřních bodech
jednotlivých intervalů v interpolaci. Promyslete si podrobně tento
příklad!
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Plán přednášky
1 Vlastnosti derivací
2 Derivace vyšších řádů
3 Derivace elementárních funkcí
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Zatím máme shromážděny tyto typy funkcí:
polynomy f definované na celém R s hodnotami v R nebo v C,
1
Později znovu zadefinujeme goniometrické funkce pomocí mocninných řad.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Zatím máme shromážděny tyto typy funkcí:
polynomy f definované na celém R s hodnotami v R nebo v C,
racionální funkce f /g definované na celém R kromě konečné
množiny kořenů polynomu g ve jmenovateli zlomku, s
hodnotami v R nebo C,
1
Později znovu zadefinujeme goniometrické funkce pomocí mocninných řad.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Zatím máme shromážděny tyto typy funkcí:
polynomy f definované na celém R s hodnotami v R nebo v C,
racionální funkce f /g definované na celém R kromě konečné
množiny kořenů polynomu g ve jmenovateli zlomku, s
hodnotami v R nebo C,
mocninné funkce xb s obecným b  R, definované pro x > 0 a
hodnotami v R,
1
Později znovu zadefinujeme goniometrické funkce pomocí mocninných řad.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Zatím máme shromážděny tyto typy funkcí:
polynomy f definované na celém R s hodnotami v R nebo v C,
racionální funkce f /g definované na celém R kromě konečné
množiny kořenů polynomu g ve jmenovateli zlomku, s
hodnotami v R nebo C,
mocninné funkce xb s obecným b  R, definované pro x > 0 a
hodnotami v R,
exponenciální funkce ax o libovolném základu a > 0
definované pro všechna x  R a s hodnotami v R a k nim
inverzní funkce logaritmické o základ a > 0, a = 1 ,
1
Později znovu zadefinujeme goniometrické funkce pomocí mocninných řad.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Zatím máme shromážděny tyto typy funkcí:
polynomy f definované na celém R s hodnotami v R nebo v C,
racionální funkce f /g definované na celém R kromě konečné
množiny kořenů polynomu g ve jmenovateli zlomku, s
hodnotami v R nebo C,
mocninné funkce xb s obecným b  R, definované pro x > 0 a
hodnotami v R,
exponenciální funkce ax o libovolném základu a > 0
definované pro všechna x  R a s hodnotami v R a k nim
inverzní funkce logaritmické o základ a > 0, a = 1 ,
goniometrické funkce sin x, cos x (a funkce tg x, cotg x od nich
odvozené) definované jako souřadnice bodu na jednotkové
kružnici, kde |x| je délka oblouku od [1, 0] k [cos x, sin x] v
příslušném smyslu.1
1
Později znovu zadefinujeme goniometrické funkce pomocí mocninných řad.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace mocniny
Víme, že pro n  N  {0} je (xn) = nxn-1. Nyní ukážeme, že
stejný vztah platí pro libovolné (reálné) exponenty, nejen pro
přirozená čísla.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace mocniny
Víme, že pro n  N  {0} je (xn) = nxn-1. Nyní ukážeme, že
stejný vztah platí pro libovolné (reálné) exponenty, nejen pro
přirozená čísla.
Věta (Derivace mocniny)
Pro libovolný exponent r  R platí, že
(xr
) = rxr-1
, (1)
kdykoliv mají uvedené výrazy smysl.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace mocniny
Víme, že pro n  N  {0} je (xn) = nxn-1. Nyní ukážeme, že
stejný vztah platí pro libovolné (reálné) exponenty, nejen pro
přirozená čísla.
Věta (Derivace mocniny)
Pro libovolný exponent r  R platí, že
(xr
) = rxr-1
, (1)
kdykoliv mají uvedené výrazy smysl.
Důkaz.
Nechť n  Z \ N0. Pak m = -n  N a z věty o derivaci složené
funkce dostáváme:
(xn
) = ((xm
)-1
) = -(xm
)-2
mxm-1
= -mx-2m+m-1
=
= -mx-m-1
= nxn-1
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace mocniny ­ pokr.
Důkaz.
Dále nechť r = 1
q , kde q  N (tj. derivujeme obecnou odmocninu).
Derivaci funkce x
1
q = q

x odvodíme z věty o derivaci inverzní
funkce. Označme si y = f -1(x) = q

x a x = f (y) = yq. Protože je
q  N, je f (y) = qyq-1. Platí tedy, že
(xr
) = ( q

x) =
1
qyq-1
=
1
q q

x
q-1
=
1
q

1
x
q-1
q
=
1
q
x
1
q
-1
= rxr-1
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace mocniny ­ pokr.
Důkaz.
Dále nechť r = 1
q , kde q  N (tj. derivujeme obecnou odmocninu).
Derivaci funkce x
1
q = q

x odvodíme z věty o derivaci inverzní
funkce. Označme si y = f -1(x) = q

x a x = f (y) = yq. Protože je
q  N, je f (y) = qyq-1. Platí tedy, že
(xr
) = ( q

x) =
1
qyq-1
=
1
q q

x
q-1
=
1
q

1
x
q-1
q
=
1
q
x
1
q
-1
= rxr-1
.
Derivaci funkce x
p
q = x
1
q
p
odvodíme z věty o derivaci složené
funkce
(xr
) = x
1
q
p
= p x
1
q
p-1
.
1
q
x
1
q
-1
=
p
q
x
p-1
q . x
1-q
q =
=
p
q
x
p-1+1-q
q =
p
q
x
p
q
-1
= rxr-1
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace mocniny ­ dokončení
Důkaz.
Zbývá přejít od racionálního exponentu k obecnému reálnému, což
lze udělat buď úvahami o spojitosti nebo se jednoduše později
odkázat na výsledky o exponenciálních funkcích (což v tuto chvíli
uděláme).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace goniometrických funkcí
Věta
Pro goniometrické funkce platí
(sin x) = cos x, (cos x) = - sin x,
(tg x) =
1
cos2 x
, (cotg x) = -
1
sin2
x
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace goniometrických funkcí
Věta
Pro goniometrické funkce platí
(sin x) = cos x, (cos x) = - sin x,
(tg x) =
1
cos2 x
, (cotg x) = -
1
sin2
x
.
Důkaz.
Derivaci funkce sin x vypočteme přímo z definice:
(sin x) = lim
h0
sin(x + h) - sin x
h
= lim
h0
sin x cos h) + cos x sin h - sin x
h
= lim
h0
(sin x) 
cos h - 1
h
 0
+(cos x) 
sin h
h
 1
= cos x.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace goniometrických funkcí ­ dokončení
Důkaz.
Derivace ostatních goniometrických funkcí vypočteme z derivace
funkce sin x pomocí jejich vyjádření jako složené funkce či podílu
funkcí, jejichž derivaci známe.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace goniometrických funkcí ­ dokončení
Důkaz.
Derivace ostatních goniometrických funkcí vypočteme z derivace
funkce sin x pomocí jejich vyjádření jako složené funkce či podílu
funkcí, jejichž derivaci známe.
(cos x) = (sin(
2 - x)) = cos(
2 - x)  (-1) = - sin x,
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace goniometrických funkcí ­ dokončení
Důkaz.
Derivace ostatních goniometrických funkcí vypočteme z derivace
funkce sin x pomocí jejich vyjádření jako složené funkce či podílu
funkcí, jejichž derivaci známe.
(cos x) = (sin(
2 - x)) = cos(
2 - x)  (-1) = - sin x,
dále
(tg x) =
1
cos2 x
(cotg x) = -
1
sin2
x
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace exponenciálních a logaritmických funkcí
Věta
Pro exponenciální a logaritmické funkce platí
(ex
) = ex
, (ax
) = ax
ln a,
(ln x) =
1
x
, (loga x) =
1
x ln a
.
Důkaz.
Derivaci funkce ex vypočteme z definice za použití základní limity
spočítané minulou přednášku:
(ex
) = lim
h0
ex+h - ex
h
= lim
h0
ex . eh - ex
h
=
=ex
. lim
h0
eh - 1
h
= 1
= ex
. 1 = ex
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace exponenciálních a logaritmických funkcí ­ pokr.
Důkaz.
Podobně bychom z definice mohli spočítat derivaci funkce ax pro
obecné a, s využitím vyjádření ax = ex ln a ale snadno vypočteme, že
(ax
) = (ex ln a
) = ex ln a
)  ln a = ln a  ax
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace exponenciálních a logaritmických funkcí ­ pokr.
Důkaz.
Podobně bychom z definice mohli spočítat derivaci funkce ax pro
obecné a, s využitím vyjádření ax = ex ln a ale snadno vypočteme, že
(ax
) = (ex ln a
) = ex ln a
)  ln a = ln a  ax
.
Podobně, protože logaritmická funkce byla definovaná jako inverzní
k exponenciální, pro y = f -1(x) = ln x a pro x = f (y) = ey máme
f (y) = ey , takže
(ln x) =
1
f (y)
=
1
ey
=
1
eln x
=
1
x
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace exponenciálních a logaritmických funkcí ­ pokr.
Důkaz.
Podobně bychom z definice mohli spočítat derivaci funkce ax pro
obecné a, s využitím vyjádření ax = ex ln a ale snadno vypočteme, že
(ax
) = (ex ln a
) = ex ln a
)  ln a = ln a  ax
.
Podobně, protože logaritmická funkce byla definovaná jako inverzní
k exponenciální, pro y = f -1(x) = ln x a pro x = f (y) = ey máme
f (y) = ey , takže
(ln x) =
1
f (y)
=
1
ey
=
1
eln x
=
1
x
a
(loga x) =
ln x
ln a
=
1
ln a
 (ln x) =
1
x ln a
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace mocniny napodruhé
Důsledek
Pro libovolné r  R platí
(xr
) = rxr-1
, x > 0.
Důkaz.
Z pravidla pro derivaci složené funkce a z derivace logaritmu plyne,
že
(xr
) = er ln x
= er ln x
. (r ln x) = xr
. r
1
x
= rxr
. x-1
= rxr-1
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Další přírůstky ­ cyklometrické funkce
Cyklometrické funkce jsou inverzní ke goniometrickým. Protože
jsou goniometrické funkce všechny periodické s periodou 2, jsou
jejich inverze definované vždy jen v rámci jedné periody a to ještě
jen na části, kdy je daná funkce buď rostoucí nebo klesající. Jsou
to funkce
arcsin = sin-1
s definičním oborem [-1, 1] a oborem hodnot [-/2, /2]. Dále
arccos = cos-1
s definičním oborem [-1, 1] a oborem hodnot [0, ].
Zbývají ještě funkce
arctg = tg-1
s definičním oborem [-, ] a oborem hodnot [-/2, /2] a
konečně
arccotg = cotg-1
s definičním oborem [-, ] a oborem hodnot [0, ].
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
o
3
2
1
0
-1
x
10,50-0,5-1
3
2
1
x
0
-1
50-5-10
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace cyklometrických funkcí
Věta
Pro cyklometrické funkce platí
(arcsin x) =
1

1 - x2
, (arccos x) = -
1

1 - x2
,
(arctg x) =
1
1 + x2
, (arccotg x) = -
1
1 + x2
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace cyklometrických funkcí
Věta
Pro cyklometrické funkce platí
(arcsin x) =
1

1 - x2
, (arccos x) = -
1

1 - x2
,
(arctg x) =
1
1 + x2
, (arccotg x) = -
1
1 + x2
.
Důkaz.
Derivace všech cyklometrických funkcí vypočteme z pravidla pro
derivování inverzní funkce.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Derivace cyklometrických funkcí
Věta
Pro cyklometrické funkce platí
(arcsin x) =
1

1 - x2
, (arccos x) = -
1

1 - x2
,
(arctg x) =
1
1 + x2
, (arccotg x) = -
1
1 + x2
.
Důkaz.
Derivace všech cyklometrických funkcí vypočteme z pravidla pro
derivování inverzní funkce.
Pro y = f -1(x) = arcsin x a pro x = f (y) = sin y máme
f (y) = cos y, a proto dostáváme
(arcsin x) =
1
f (y)
=
1
cos y
=
1
cos(arcsin x)
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Důkaz.
Tento výsledek ale ještě zjednodušíme. Protože pro libovolné
y  R je (cos y)2 + (sin y)2 = 1, je
1 = cos(arcsin x)
2
+ sin(arcsin x)
= x
2
= cos2
(arcsin x) + x2
,
 cos(arcsin x) = 1 - x2.
A tedy platí, že
(arcsin x) =
1
cos(arcsin x)
=
1

1 - x2
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Důkaz.
Tento výsledek ale ještě zjednodušíme. Protože pro libovolné
y  R je (cos y)2 + (sin y)2 = 1, je
1 = cos(arcsin x)
2
+ sin(arcsin x)
= x
2
= cos2
(arcsin x) + x2
,
 cos(arcsin x) = 1 - x2.
A tedy platí, že
(arcsin x) =
1
cos(arcsin x)
=
1

1 - x2
.
Obdboným způsobem postupujeme i u ostatních cyklometrických
funkcí.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Vlastnosti jednotlivých obyvatelů zvířetníku a jejich vztahy:
funkce definiční
obor
třída derivace inverze
polynomy
f
celé R C f opět poly-
nom
f -1 existuje jen
lokálně a neumíme
obecnou formulí
kubické
splajny h
celé R C2 h je opět
splajn
formule s odmocninami
a jen
lokálně
racionální
funkce f /g
celé R mimo
kořeny g
C opět ra-
cionální
funkce:
f g-fg
g2
existuje jen lokálně
a neumíme obecnou
formulí
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
funkce definiční
obor
třída derivace inverze
mocninné
funkce xa
interval
(0, )
C funkce
axa-1
existuje všude a
je opět mocninnou
funkcí y1/a
exponenciální
funkce
ax , a > 0,
a = 1
celé R C existuje
všude a je
ln a  ax
logaritmická
funkce loga
gonio-
metrické
funkce
sin x, cos x
celé R C existuje
všude, vzorec
známe
cyklometrické
funkce, existují
lokálně
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Věty o střední hodnotě
Odvodíme několik výsledků, které umožní snáze pracovat s
funkcemi při modelování reálných problémů.
Věta (Rolleova)
Nechť funkce f : R  R je spojitá na intervalu [a, b] a
diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Jestliže platí f (a) = f (b),
pak existuje c  (a, b) takové, že f (c) = 0.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Důkaz.
Funkce f spojitá na uzavřeném intervalu (tj. kompaktní množině)
má na něm maximum a minimum. Pokud by maximum i minimum
mělo stejnou hodnotu f (a) = f (b), pak by funkce f byla
konstantní a tedy i její derivace by byla nulová ve všech bodech
intervalu (a, b).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Důkaz.
Funkce f spojitá na uzavřeném intervalu (tj. kompaktní množině)
má na něm maximum a minimum. Pokud by maximum i minimum
mělo stejnou hodnotu f (a) = f (b), pak by funkce f byla
konstantní a tedy i její derivace by byla nulová ve všech bodech
intervalu (a, b).
Předpokládejme tedy, že buď maximum nebo mimimum je jiné a
nechť nastává jedno z nich ve vnitřním bodě c. Pak ovšem není
možné, aby v c bylo f (c) = 0, protože to by v tomto bodě byla
byla funkce f buď rostoucí nebo klesající a jistě by tedy v okolí
bodu c nabývala větších i menších hodnot, než je f (c).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Z Rolleovy věty snadno vyplývá tzv. věta o střední hodnotě.
Věta (Lagrangeova)
Nechť funkce f : R  R je spojitá na intervalu [a, b] a
diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Pak existuje c  (a, b)
takové, že
f (c) =
f (b) - f (a)
b - a
.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Důkaz.
Důkaz je prostým zápisem geometrického významu tvrzení: k sečně
mezi body [a, f (a)] a [b, f (b)] existuje tečna, která je s ní
rovnoběžná (viz obrázek).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Důkaz.
Důkaz je prostým zápisem geometrického významu tvrzení: k sečně
mezi body [a, f (a)] a [b, f (b)] existuje tečna, která je s ní
rovnoběžná (viz obrázek). Rovnice naší sečny je
y = g(x) = f (a) +
f (b) - f (a)
b - a
(x - a).
Rozdíl h(x) = f (x) - g(x) udává vzdálenost grafu od sečny (v
hodnotách y). Jistě platí h(a) = h(b) a
h (x) = f (x) f
(b) - f (a)
b - a
.
Podle předchozí věty existuje bod c, ve kterém je h (c) = 0.
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Věty o střední hodnotě mají celou řadu důsledků týkajících se
vlastnosti funkcí. Např.:
Které funkce mají nulovou derivaci? ­ Pouze konstantní
funkce.
Které funkce mají stejnou derivaci? ­ Právě ty funkce, které
se navzájem liší o konstantu.
Důsledek
Je-li f (x) diferencovatelná na (a, b) a je-li f (x) = 0 na (a, b),
potom
f (x)  c na (a, b).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Důkaz.
Pro libovolné dva body x1, x2  (a, b), x1 < x2, platí, že f (x) je
spojitá na [x1, x2] (neboť existuje vlastní f (x)) a diferencovatelná
na (x1, x2). Podle Lagrangeovy věty je pak pro nějaký bod
c  (x1, x2)
f (x2) - f (x1)
x2 - x1
= f (c) = 0,  f (x1) = f (x2).
A protože byly body x1 a x2 vybrány libovolně v intervalu (a, b),
musí být nutně f (x) konstantní na intervalu (a, b).
Vlastnosti derivací Derivace vyšších řádů Derivace elementárních funkcí
Důsledek
Jsou-li f (x) a g(x) diferencovatelné na (a, b) a je-li f (x) = g (x)
na (a, b), potom f (x) = g(x) + c na (a, b), tj. f (x) a g(x) se liší o
konstantu.
Důkaz.
Funkce (f - g)(x) je diferencovatelná na (a, b) a
(f - g) (x) = f (x) - g (x) = 0 na (a, b). Podle předchozího
důsledku je pak f (x) - g(x)  c na (a, b), tj. f (x) = g(x) + c na
(a, b).