Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Matematika II ­ 4. přednáška Derivace ­ pravidla, základní věty Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 8. 10. 2008 Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Obsah přednášky 1 Vlastnosti derivací 2 ĽHospitalovo pravidlo 3 Derivace implicitně zadaných funkcí 4 Průběh funkce Monotonie a extrémy Lokální extrémy Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text. Roman Hilscher ­ MB102, e-text. Zuzana Došlá, Jaromír Kuben ­ Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2 (rovněž na http://www.math.muni.cz/~dosla/skript.pdf). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Plán přednášky 1 Vlastnosti derivací 2 ĽHospitalovo pravidlo 3 Derivace implicitně zadaných funkcí 4 Průběh funkce Monotonie a extrémy Lokální extrémy Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Věty o střední hodnotě Odvodíme několik výsledků, které umožní snáze pracovat s funkcemi při modelování reálných problémů. Věta (Rolleova) Nechť funkce f : R R je spojitá na intervalu [a, b] a diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Jestliže platí f (a) = f (b), pak existuje c (a, b) takové, že f (c) = 0. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Důkaz. Funkce f spojitá na uzavřeném intervalu (tj. kompaktní množině) má na něm maximum a minimum. Pokud by maximum i minimum mělo stejnou hodnotu f (a) = f (b), pak by funkce f byla konstantní a tedy i její derivace by byla nulová ve všech bodech intervalu (a, b). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Důkaz. Funkce f spojitá na uzavřeném intervalu (tj. kompaktní množině) má na něm maximum a minimum. Pokud by maximum i minimum mělo stejnou hodnotu f (a) = f (b), pak by funkce f byla konstantní a tedy i její derivace by byla nulová ve všech bodech intervalu (a, b). Předpokládejme tedy, že buď maximum nebo mimimum je jiné a nechť nastává jedno z nich ve vnitřním bodě c. Pak ovšem není možné, aby v c bylo f (c) = 0, protože to by v tomto bodě byla byla funkce f buď rostoucí nebo klesající a jistě by tedy v okolí bodu c nabývala větších i menších hodnot, než je f (c). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Z Rolleovy věty snadno vyplývá tzv. věta o střední hodnotě. Věta (Lagrangeova) Nechť funkce f : R R je spojitá na intervalu [a, b] a diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Pak existuje c (a, b) takové, že f (c) = f (b) - f (a) b - a . Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Důkaz. Důkaz je prostým zápisem geometrického významu tvrzení: k sečně mezi body [a, f (a)] a [b, f (b)] existuje tečna, která je s ní rovnoběžná (viz obrázek). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Důkaz. Důkaz je prostým zápisem geometrického významu tvrzení: k sečně mezi body [a, f (a)] a [b, f (b)] existuje tečna, která je s ní rovnoběžná (viz obrázek). Rovnice naší sečny je y = g(x) = f (a) + f (b) - f (a) b - a (x - a). Rozdíl h(x) = f (x) - g(x) udává vzdálenost grafu od sečny (v hodnotách y). Jistě platí h(a) = h(b) a h (x) = f (x) f (b) - f (a) b - a . Podle předchozí věty existuje bod c, ve kterém je h (c) = 0. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Větu o střední hodnotě můžeme také přepsat ve tvaru: f (b) = f (a) + f (c)(b - a) a v případě parametricky zadané křivky v rovině, tj. dvojice funkcí y = f (t), x = g(t), je stejný výsledek o existenci rovnoběžné tečny k sečně krajními body popsán takto: Důsledek (Cauchyova věta o střední hodnotě) Nechť funkce y = f (t) a x = g(t) jsou spojité na intervalu [a, b] a diferencovatelné uvnitř tohoto intervalu a g (t) = 0 pro všechny t (a, b). Pak existuje bod c (a, b) takový, že platí f (b) - f (a) g(b) - g(a) = f (c) g (c) . Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Větu o střední hodnotě můžeme také přepsat ve tvaru: f (b) = f (a) + f (c)(b - a) a v případě parametricky zadané křivky v rovině, tj. dvojice funkcí y = f (t), x = g(t), je stejný výsledek o existenci rovnoběžné tečny k sečně krajními body popsán takto: Důsledek (Cauchyova věta o střední hodnotě) Nechť funkce y = f (t) a x = g(t) jsou spojité na intervalu [a, b] a diferencovatelné uvnitř tohoto intervalu a g (t) = 0 pro všechny t (a, b). Pak existuje bod c (a, b) takový, že platí f (b) - f (a) g(b) - g(a) = f (c) g (c) . Všimněte si, že jakkoliv jde o důsledek předchozích tvrzení, zároveň tato tvrzení í zobecňuje (g(t) = t). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Důkaz. Opět spoléháme na použití Rolleovy věty. Položíme proto h(t) = (f (b) - f (a))g(t) - (g(b) - g(a))f (t). Nyní h(a) = f (b)g(a) - f (a)g(b), h(b) = f (b)g(a) - f (a)g(b), takže existuje c (a, b) takový, že h (c) = 0. Protože je g (c) = 0, dostáváme právě požadovaný vztah. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Věty o střední hodnotě mají celou řadu důsledků týkajících se vlastnosti funkcí. Např.: Které funkce mají nulovou derivaci? ­ Pouze konstantní funkce. Které funkce mají stejnou derivaci? ­ Právě ty funkce, které se navzájem liší o konstantu. Důsledek Je-li f (x) diferencovatelná na (a, b) a je-li f (x) = 0 na (a, b), potom f (x) c na (a, b). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Důkaz. Pro libovolné dva body x1, x2 (a, b), x1 < x2, platí, že f (x) je spojitá na [x1, x2] (neboť existuje vlastní f (x)) a diferencovatelná na (x1, x2). Podle Lagrangeovy věty je pak pro nějaký bod c (x1, x2) f (x2) - f (x1) x2 - x1 = f (c) = 0, f (x1) = f (x2). A protože byly body x1 a x2 vybrány libovolně v intervalu (a, b), musí být nutně f (x) konstantní na intervalu (a, b). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Důsledek Jsou-li f (x) a g(x) diferencovatelné na (a, b) a je-li f (x) = g (x) na (a, b), potom f (x) = g(x) + c na (a, b), tj. f (x) a g(x) se liší o konstantu. Důkaz. Funkce (f - g)(x) je diferencovatelná na (a, b) a (f - g) (x) = f (x) - g (x) = 0 na (a, b). Podle předchozího důsledku je pak f (x) - g(x) c na (a, b), tj. f (x) = g(x) + c na (a, b). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Plán přednášky 1 Vlastnosti derivací 2 ĽHospitalovo pravidlo 3 Derivace implicitně zadaných funkcí 4 Průběh funkce Monotonie a extrémy Lokální extrémy Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Podobná úvaha jako v posledním tvrzení vede k mimořádně užitečnému nástroji pro počítání limit funkcí. Je znám jako ĽHospitalovo pravidlo: Věta Předpokládejme, že f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu x0 R, ne však nutně v bodě x0 samotném, a nechť existují limity lim xx0 f (x) = 0, lim xx0 g(x) = 0. Jestliže existuje limita lim xx0 f (x) g (x) pak existuje i limita lim xx0 f (x) g(x) a jsou si rovny. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Poznámka ĽHospitalovo pravidlo nelze použít, pokud limita podílu derivací neexistuje. Např. limita podílu funkcí lim x sin x x typ ohr. = 0, ale limita podílu derivací neexistuje, protože lim x (sin x) (x) = lim x cos x 1 = lim x cos x (neexistuje). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Poznámka ĽHospitalovo pravidlo nelze použít, pokud limita podílu derivací neexistuje. Např. limita podílu funkcí lim x sin x x typ ohr. = 0, ale limita podílu derivací neexistuje, protože lim x (sin x) (x) = lim x cos x 1 = lim x cos x (neexistuje). Pravidlo nelze nelze použít na typ limity cokoliv 0 . Např. limita podílu funkcí lim x arctg x arccotg x typ 2 0+ = , ale limita podílu derivací je rovna -1. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Důkaz Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že v x0 mají funkce f a g nulovou hodnotu. Výsledek je opět jednoduše představitelný pomocí obrázku. Uvažujme body [g(x), f (x)] R2 parametrizované proměnnou x. Podíl hodnot pak odpovídá směrnici sečny mezi body [0, 0] a [g(x), f (x)]. Zároveň víme, že podíl derivací odpovídá směrnici tečny v příslušném bodě. Z existence limity směrnic tečen tedy chceme dovodit existenci limity směrnic sečen. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Důkaz ­ pokr. Technicky lze využít věty o střední hodnotě v parametrickém tvaru. Předně si uvědomme, že v tvrzení věty implicitně předpokládáme existenci výrazu f (x)/g (x) na nějakém okolí x0, zejména tedy pro dostatečně blízké body c k x0 bude g (c) = 0. lim xx0 f (x) g(x) = lim xx0 f (x) - f (x0) g(x) - g(x0) = lim xx0 f (cx ) g (cx ) , kde cx je číslo mezi x0 a x. Nyní si všimněme, že z existence limity limxx0 f (x) g (x) vyplývá, že stejnou hodnotu bude mít i limita libovolné posloupnosti vzniklé dosazením hodnot x = xn jdoucích k x0 do f (x)/g (x). Zejména tedy můžeme dosadit jakoukoliv posloupnost cxn pro xn x0 a proto bude existovat i limita limxx0 f (cx ) g (cx ) a poslední dvě limity zjevně budou mít stejnou hodnotu. Dokázali jsme tedy, že naše hledaná limita existuje a má také stejnou hodnotu. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Jednoduše lze rozšířit ĽHospitalovo pravidlo i pro limity v nevlastních bodech a v případě nevlastních hodnot limit. Je-li, např. lim x f (x) = 0, lim x g(x) = 0, potom je limx0+ f (1/x) = 0 a limx0+ g(1/x) = 0. Zároveň z existence limity podílu derivací v nekonečnu dostaneme lim x0+ (f (1/x)) (g(1/x)) = lim x0+ f (1/x)(-1/x2) g (1/x)(-1/x2) = lim x0+ f (1/x) g (1/x) = lim x f (x) g (x) . Použitím předchozí věty tedy dostáváme, že v tomto případě bude existovat i limita podílu lim x f (x) g(x) = lim x0+ f (1/x) g(1/x) = lim x f (x) g (x) . Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Ještě jednodušší je postup při výpočtu limity v případě, kdy lim xx0 f (x) = , lim xx0 g(x) = . Stačí totiž psát lim xx0 f (x) g(x) = lim xx0 1/g(x) 1/f (x) , což je již případ pro použití ĽHospitalova pravidla z předchozí věty. Věta Nechť f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu x0 R, ne však nutně v bodě x0 samotném, a nechť existují limity limxx0 f (x) = a limx0 g(x) = . Jestliže existuje limita limxx0 f (x) g (x) pak existuje i limita limxx0 f (x) g(x) a jsou si rovny. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Příklad 1 lim x0+ x ln x = lim x0+ ln x 1 x ľHosp. = lim x0+ (ln x) 1 x = lim x0+ 1 x - 1 x2 = lim x0+ (-x) = 0. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Příklad 1 lim x0+ x ln x = lim x0+ ln x 1 x ľHosp. = lim x0+ (ln x) 1 x = lim x0+ 1 x - 1 x2 = lim x0+ (-x) = 0. 2 lim x0+ xx = lim x0+ ex ln x = elimx0+ x ln x = e0 = 1. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Plán přednášky 1 Vlastnosti derivací 2 ĽHospitalovo pravidlo 3 Derivace implicitně zadaných funkcí 4 Průběh funkce Monotonie a extrémy Lokální extrémy Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Pokud máme zadánu funkci f (x) vzorcem y = f (x), hovoříme o jejím explicitním zadání. Obecnějším zadáním funkce je rovnice F(x, y) = 0, kde závislá proměnná y představuje neznámou funkci. Pokud tuto rovnici nelze (nebo to nepotřebujeme) vyřešit vzhledem k y, pak hovoříme o funkci zadané implicitně. Avšak i v tomto obecnějším případě budeme schopni vypočítat y (x) (aniž bychom znali explicitní vzorec pro y(x)), a to pomocí pravidla pro derivaci složené funkce. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Příklad Rovnice y2 = x definuje dvě diferencovatelné funkce y1 = x, y2 = - x y1 = 1 2 x , y2 = - 1 2 x (x > 0). Avšak i bez znalosti samotných funkcí y1 a y2 lze derivováním rovnice y2 = x spočítat, že (y2 ) = (x) 2yy = 1 y = 1 2y , což je jediný vzorec pro y obsahující jak y1 tak y2. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Příklad Rovnice y2 = x definuje dvě diferencovatelné funkce y1 = x, y2 = - x y1 = 1 2 x , y2 = - 1 2 x (x > 0). Avšak i bez znalosti samotných funkcí y1 a y2 lze derivováním rovnice y2 = x spočítat, že (y2 ) = (x) 2yy = 1 y = 1 2y , což je jediný vzorec pro y obsahující jak y1 tak y2. Při derivování implicitně zadaných funkcí obsahuhe výsledná derivace y jak proměnnou x tak proměnnou y (na rozdíl od běžného derivování funkce, kdy je ve výsledku pouze proměnná x). Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Příklad Určete směrnici tečny ke kružnici x2 + y2 = 25 v bodě P = [-3, 4]. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Příklad Určete směrnici tečny ke kružnici x2 + y2 = 25 v bodě P = [-3, 4]. Řešení Derivováním zadané rovnice podle proměnné x dostaneme (x2 + y2 ) = (25) 2x + 2yy = 0 y = - x y . A proto je směrnice tečny v bodě P (=derivace v bodě P) rovna y = - -3 4 = 3 4 . Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Plán přednášky 1 Vlastnosti derivací 2 ĽHospitalovo pravidlo 3 Derivace implicitně zadaných funkcí 4 Průběh funkce Monotonie a extrémy Lokální extrémy Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Definice Funkce f (x) je rostoucí na intervalu I, pokud f (x1) < f (x2) pro každé x1, x2 I, x1 < x2, klesající na intervalu I, pokud f (x1) > f (x2) pro každé x1, x2 I, x1 < x2, neklesající na intervalu I, pokud f (x1) f (x2) pro každé x1, x2 I, x1 < x2, nerostoucí na intervalu I, pokud f (x1) f (x2) pro každé x1, x2 I, x1 < x2. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Podmínky monotonie Věta Nechť f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom platí následující. 1 Funkce f (x) je neklesající na intervalu I f (x) 0 x I. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Podmínky monotonie Věta Nechť f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom platí následující. 1 Funkce f (x) je neklesající na intervalu I f (x) 0 x I. 2 Funkce f (x) je rostoucí na intervalu I f (x) 0 x I, přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Podmínky monotonie Věta Nechť f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom platí následující. 1 Funkce f (x) je neklesající na intervalu I f (x) 0 x I. 2 Funkce f (x) je rostoucí na intervalu I f (x) 0 x I, přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I. 3 Funkce f (x) je nerostoucí na intervalu I f (x) 0 x I. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Podmínky monotonie Věta Nechť f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom platí následující. 1 Funkce f (x) je neklesající na intervalu I f (x) 0 x I. 2 Funkce f (x) je rostoucí na intervalu I f (x) 0 x I, přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I. 3 Funkce f (x) je nerostoucí na intervalu I f (x) 0 x I. 4 Funkce f (x) je klesající na intervalu I f (x) 0 x I, přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném podintervalu intervalu I. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Důkaz. Snadný s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě, neboť pro x < y má výraz f (y) - f (x) stejné znaménko jako f (c) = f (y) - f (x) y - x . Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Důkaz. Snadný s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě, neboť pro x < y má výraz f (y) - f (x) stejné znaménko jako f (c) = f (y) - f (x) y - x . Důsledek Nechť f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom platí následující. 1 Jestliže f (x) > 0 x I, potom je funkce f (x) je rostoucí na intervalu I. 2 Jestliže f (x) < 0 x I, potom je funkce f (x) je klesající na intervalu I. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Pro určení intervalů monotonie funkce f (x) tedy stačí určit body, kdy f (x) mění znaménko. Zejména to jsou body, ve kterých je f (x) = 0 nebo ve kterých f (x) neexistuje. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Pro určení intervalů monotonie funkce f (x) tedy stačí určit body, kdy f (x) mění znaménko. Zejména to jsou body, ve kterých je f (x) = 0 nebo ve kterých f (x) neexistuje. Příklad Určete intervaly monotonie funkce f (x) = ex3-6x . Řešení f (x) = ex3-6x . (3x2 - 6) = 3 ex3-6x . (x2 - 2), pro x R. Vidíme, že f (x) = 0 pouze pro x = 2. Na každém z intervalů (-, - 2), (- 2, 2), ( 2, ) určíme znaménko derivace např. výběrem nějakého bodu z tohoto intervalu, protože víme, že se znaménko f (x) v těchto intervalech již nemění. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Definice Funkce f (x) má v bodě x0 D(f ) lokální maximum, pokud f (x) f (x0) pro všechna x z nějakého okolí bodu x0, lokální minimum, pokud f (x) f (x0) pro všechna x z nějakého okolí bodu x0, ostré lokální maximum, pokud f (x) < f (x0) pro všechna x z nějakého ryzího okolí bodu x0, ostré lokální minimum, pokud f (x) > f (x0) pro všechna x z nějakého ryzího okolí bodu x0. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Následující věta říká, že tečna v bodech lokálních extrémů (pokud zde existuje vlastní derivace) musí nutně být vodorovná. Věta Existuje-li vlastní derivace f (x0) v bodě x0, kde má funkce f (x) lokální extrém, potom je nutně f (x0) = 0. Důkaz. Zřejmý. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Následující věta říká, že tečna v bodech lokálních extrémů (pokud zde existuje vlastní derivace) musí nutně být vodorovná. Věta Existuje-li vlastní derivace f (x0) v bodě x0, kde má funkce f (x) lokální extrém, potom je nutně f (x0) = 0. Důkaz. Zřejmý. Body, kde f (x) = 0, se nazývají stacionární body funkce f (x). Opačné tvrzení k větě neplatí, tj. z f (x0) = 0 neplyne extrém v bodě x0. Nejjednodušším příkladem je funkce f (x) = x3, která v počátku nemá extrém, ale je f (0) = 3x2 x=0 = 0 (tj. tečna v bodě x0 = 0 je vodorovná). Důsledek Funkce f (x) může mít lokální extrémy pouze ve svých stacionárních bodech nebo v bodech, kde f (x) neexistuje. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Lokální extrémy a derivace Věta Nechť f (x) je spojitá v bodě x0 D(f ) a existuje vlastní derivace f (x) na nějakém ryzím okolí bodu x0. 1 Má-li f (x) v levém a pravém okolí bodu x0 opačná znaménka, potom je v bodě x0 lokální extrém. Přitom Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Lokální extrémy a derivace Věta Nechť f (x) je spojitá v bodě x0 D(f ) a existuje vlastní derivace f (x) na nějakém ryzím okolí bodu x0. 1 Má-li f (x) v levém a pravém okolí bodu x0 opačná znaménka, potom je v bodě x0 lokální extrém. Přitom je-li změna f (x) z do , potom je v bodě x0 lokální minimum, Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Lokální extrémy a derivace Věta Nechť f (x) je spojitá v bodě x0 D(f ) a existuje vlastní derivace f (x) na nějakém ryzím okolí bodu x0. 1 Má-li f (x) v levém a pravém okolí bodu x0 opačná znaménka, potom je v bodě x0 lokální extrém. Přitom je-li změna f (x) z do , potom je v bodě x0 lokální minimum, je-li změna f (x) z do , potom je v bodě x0 lokální maximum. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Lokální extrémy a derivace Věta Nechť f (x) je spojitá v bodě x0 D(f ) a existuje vlastní derivace f (x) na nějakém ryzím okolí bodu x0. 1 Má-li f (x) v levém a pravém okolí bodu x0 opačná znaménka, potom je v bodě x0 lokální extrém. Přitom je-li změna f (x) z do , potom je v bodě x0 lokální minimum, je-li změna f (x) z do , potom je v bodě x0 lokální maximum. 2 Má-li f (x) v levém a pravém okolí bodu x0 stejná znaménka, potom není v bodě x0 lokální extrém. Přitom Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Lokální extrémy a derivace Věta Nechť f (x) je spojitá v bodě x0 D(f ) a existuje vlastní derivace f (x) na nějakém ryzím okolí bodu x0. 1 Má-li f (x) v levém a pravém okolí bodu x0 opačná znaménka, potom je v bodě x0 lokální extrém. Přitom je-li změna f (x) z do , potom je v bodě x0 lokální minimum, je-li změna f (x) z do , potom je v bodě x0 lokální maximum. 2 Má-li f (x) v levém a pravém okolí bodu x0 stejná znaménka, potom není v bodě x0 lokální extrém. Přitom má-li f (x) v okolí bodu x0 kladné znaménko, potom je f (x) v bodě x0 rostoucí, Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Lokální extrémy a derivace Věta Nechť f (x) je spojitá v bodě x0 D(f ) a existuje vlastní derivace f (x) na nějakém ryzím okolí bodu x0. 1 Má-li f (x) v levém a pravém okolí bodu x0 opačná znaménka, potom je v bodě x0 lokální extrém. Přitom je-li změna f (x) z do , potom je v bodě x0 lokální minimum, je-li změna f (x) z do , potom je v bodě x0 lokální maximum. 2 Má-li f (x) v levém a pravém okolí bodu x0 stejná znaménka, potom není v bodě x0 lokální extrém. Přitom má-li f (x) v okolí bodu x0 kladné znaménko, potom je f (x) v bodě x0 rostoucí, má-li f (x) v okolí bodu x0 záporné znaménko, potom je f (x) v bodě x0 klesající. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Lokální extrémy a druhá derivace Věta Nechť x0 je stacionární bod funkce f (x), tj. f (x0) = 0, a nechť existuje f (x0). 1 Je-li f (x0) > 0, potom je v bodě x0 ostré lokální minimum. 2 Je-li f (x0) < 0, potom je v bodě x0 ostré lokální maximum. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Lokální extrémy a druhá derivace Věta Nechť x0 je stacionární bod funkce f (x), tj. f (x0) = 0, a nechť existuje f (x0). 1 Je-li f (x0) > 0, potom je v bodě x0 ostré lokální minimum. 2 Je-li f (x0) < 0, potom je v bodě x0 ostré lokální maximum. Důkaz. (i) f (x0) > 0 a f (x0) = 0 znamená, že f (x) roste v bodě x0 z do hodnot, tedy funkce f (x) samotná klesá a pak roste. Tedy je v bodě x0 ostré lokální minimum. (ii) analogicky. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Poznámka Obecněji, je-li f (x0) = f (x0) = = f (k-1) (x0) = 0 a f (k) (x0) = 0, potom pro k sudé je ostrý lokální extrém v bodě x0, přičemž pro f (k) (x0) > 0 je v bodě x0 ostré lokální minimum, pro f (k) (x0) < 0 je v bodě x0 ostré lokální maximum, pro k liché není lokální extrém v bodě x0, přičemž pro f (k) (x0) > 0 funkce f (x) roste v bodě x0, pro f (k) (x0) < 0 funkce f (x) klesá v bodě x0. Všechny tyto případy si můžete lehce ilustrovat na mocninných funkcích x2, x3, x4, x5, atd. v bodě x0 = 0. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Globální extrémy Definice Funkce f (x) má v bodě x0 D(f ) globální maximum na množině M D(f ), pokud f (x) f (x0) pro všechna x M, globální minimum na množině M D(f ), pokud f (x) f (x0) pro všechna x M. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Poznámka Místo globální max/min se také používá termín absolutní max/min. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Poznámka Místo globální max/min se také používá termín absolutní max/min. Globální max/min nemusí být jediné. Např. funkce f (x) = x2 na intervalu [-1, 1] má globální max 1 v bodech x = -1 a x = 1, kdežto globální min 0 v bodě x = 0. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Poznámka Místo globální max/min se také používá termín absolutní max/min. Globální max/min nemusí být jediné. Např. funkce f (x) = x2 na intervalu [-1, 1] má globální max 1 v bodech x = -1 a x = 1, kdežto globální min 0 v bodě x = 0. Globální max/min nemusí ani existovat. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Poznámka Místo globální max/min se také používá termín absolutní max/min. Globální max/min nemusí být jediné. Např. funkce f (x) = x2 na intervalu [-1, 1] má globální max 1 v bodech x = -1 a x = 1, kdežto globální min 0 v bodě x = 0. Globální max/min nemusí ani existovat. Weierstrassova věta zaručuje existenci globálního max/min za předpokladu spojitosti funkce f (x) na intervalu [a, b]. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Poznámka Místo globální max/min se také používá termín absolutní max/min. Globální max/min nemusí být jediné. Např. funkce f (x) = x2 na intervalu [-1, 1] má globální max 1 v bodech x = -1 a x = 1, kdežto globální min 0 v bodě x = 0. Globální max/min nemusí ani existovat. Weierstrassova věta zaručuje existenci globálního max/min za předpokladu spojitosti funkce f (x) na intervalu [a, b]. Pokud víme, že globální extrémy existují, potom musí tyto globální extrémy být ve stacionárních bodech nebo v bodech, kde neexistuje f (x), nebo v krajních bodech daného intervalu. Nemusíme již pak určovat, jestli jsou ve stacionárních bodech lokální extrémy či nikoliv. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Příklad Určete globální extrémy funkce f (x) = x - 1 - |x|, na intervalu [-1, 1]. Vlastnosti derivací ĽHospitalovo pravidlo Derivace implicitně zadaných funkcí Průběh funkce Příklad Určete globální extrémy funkce f (x) = x - 1 - |x|, na intervalu [-1, 1]. Řešení Protože je f (x) spojitá na intervalu [-1, 1], globální extrémy v tomto intervalu existují. stacionární body: x = 1 4, f 1 4 = 1 4 - 1 - 1 2 = -5 4, f (x) x = 0, f (0) = -1, krajní body: x = -1, f (-1) = -1 - 1 - 1 = -3, x = 1, f (1) = 1 - 1 - 1 = -1.