Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Matematika II ­ 6. přednáška
Průběh funkce, optimalizace
Michal Bulant
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
22. 10. 2008
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Obsah přednášky
1 Průběh funkce
Konvexnost, konkávnost, inflexe
Asymptoty
Celkový průběh funkce
2 Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Doporučené zdroje
Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text.
Roman Hilscher ­ MB102, e-text.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Doporučené zdroje
Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text.
Roman Hilscher ­ MB102, e-text.
Zuzana Došlá, Jaromír Kuben ­ Diferenciální počet funkcí
jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2
(rovněž na
http://www.math.muni.cz/~dosla/skript.pdf).
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Plán přednášky
1 Průběh funkce
Konvexnost, konkávnost, inflexe
Asymptoty
Celkový průběh funkce
2 Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Podmínky monotonie
Věta
Nechť f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom
platí následující.
1 Funkce f (x) je neklesající na intervalu I  f (x)  0 x  I.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Podmínky monotonie
Věta
Nechť f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom
platí následující.
1 Funkce f (x) je neklesající na intervalu I  f (x)  0 x  I.
2 Funkce f (x) je rostoucí na intervalu I  f (x)  0 x  I,
přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném podintervalu
intervalu I.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Podmínky monotonie
Věta
Nechť f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom
platí následující.
1 Funkce f (x) je neklesající na intervalu I  f (x)  0 x  I.
2 Funkce f (x) je rostoucí na intervalu I  f (x)  0 x  I,
přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném podintervalu
intervalu I.
3 Funkce f (x) je nerostoucí na intervalu I  f (x)  0 x  I.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Podmínky monotonie
Věta
Nechť f (x) má vlastní derivaci na otevřeném intervalu I. Potom
platí následující.
1 Funkce f (x) je neklesající na intervalu I  f (x)  0 x  I.
2 Funkce f (x) je rostoucí na intervalu I  f (x)  0 x  I,
přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném podintervalu
intervalu I.
3 Funkce f (x) je nerostoucí na intervalu I  f (x)  0 x  I.
4 Funkce f (x) je klesající na intervalu I  f (x)  0 x  I,
přičemž rovnost f (x) = 0 neplatí na žádném podintervalu
intervalu I.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Věta
Funkce f (x) může mít lokální extrémy pouze ve svých
stacionárních bodech nebo v bodech, kde f (x) neexistuje.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Věta
Funkce f (x) může mít lokální extrémy pouze ve svých
stacionárních bodech nebo v bodech, kde f (x) neexistuje.
Věta
Nechť x0 je stacionární bod funkce f (x), tj. f (x0) = 0, a nechť
existuje f (x0).
1 Je-li f (x0) > 0, potom je v bodě x0 ostré lokální minimum.
2 Je-li f (x0) < 0, potom je v bodě x0 ostré lokální maximum.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Pojmy konvexnost, konkávnosti a inflexních bodů slouží ke studiu
toho, jak daná funkce (či přesněji její graf) zatáčí. Tyto pojmy
budeme uvažovat pouze pro diferencovatelné funkce.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Pojmy konvexnost, konkávnosti a inflexních bodů slouží ke studiu
toho, jak daná funkce (či přesněji její graf) zatáčí. Tyto pojmy
budeme uvažovat pouze pro diferencovatelné funkce.
Definice
Nechť má funkce f (x) vlastní derivaci na intervalu I  D(f ).
Funkce f (x) se nazývá
konvexní na intervalu I, pokud je f (x) neklesající na I,
konkávní na intervalu I, pokud je f (x) nerostoucí na I.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Poznámka
To, že funkce f (x) je neklesající na intervalu I (tj. f (x) je
konvexní), znamená, že tečny mají neklesající směrnici, tj.
graf funkce f (x) zatáčí doleva a tečny leží pod grafem.
To, že funkce f (x) je nerostoucí na intervalu I (tj. f (x) je
konkávní), znamená, že tečny mají nerostoucí směrnici, tj.
graf funkce f (x) zatáčí doprava a tečny leží nad grafem.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
1 Funkce f (x) = x2 má derivaci f (x) = 2x, což je funkce
rostoucí (tudíž neklesající) na R. A proto je x2 konvexní na R.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
1 Funkce f (x) = x2 má derivaci f (x) = 2x, což je funkce
rostoucí (tudíž neklesající) na R. A proto je x2 konvexní na R.
2 Funkce f (x) = x3 má derivaci f (x) = 3x2, což je
na intervalu [0, ) funkce rostoucí (tudíž neklesající). A proto
je x3 konvexní na [0, ).
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
1 Funkce f (x) = x2 má derivaci f (x) = 2x, což je funkce
rostoucí (tudíž neklesající) na R. A proto je x2 konvexní na R.
2 Funkce f (x) = x3 má derivaci f (x) = 3x2, což je
na intervalu [0, ) funkce rostoucí (tudíž neklesající). A proto
je x3 konvexní na [0, ).
3 Funkce f (x) = x3 má derivaci f (x) = 3x2, což je
na intervalu (-, 0] funkce klesající (tudíž nerostoucí). A
proto je x3 konkávní na (-, 0].
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
1 Funkce f (x) = x2 má derivaci f (x) = 2x, což je funkce
rostoucí (tudíž neklesající) na R. A proto je x2 konvexní na R.
2 Funkce f (x) = x3 má derivaci f (x) = 3x2, což je
na intervalu [0, ) funkce rostoucí (tudíž neklesající). A proto
je x3 konvexní na [0, ).
3 Funkce f (x) = x3 má derivaci f (x) = 3x2, což je
na intervalu (-, 0] funkce klesající (tudíž nerostoucí). A
proto je x3 konkávní na (-, 0].
4 Funkce f (x) = ax + b má derivaci f (x) = a, což je funkce
konstantní (tudíž neklesající) na R. A proto je ax + b
konvexní na R. Současně je konstantní funkce f (x) = a
nerostoucí na R, a proto je ax + b také konkávní na R.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Konvexnost a druhá derivace
Věta
Nechť I  D(f ) je otevřený interval a nechť má funkce f (x)
druhou derivaci f (x) na I.
(i) Je-li f (x) > 0 na I, potom je f (x) konvexní na intervalu I.
(ii) Je-li f (x) < 0 na I, potom je f (x) konkávní na intervalu I.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Konvexnost a druhá derivace
Věta
Nechť I  D(f ) je otevřený interval a nechť má funkce f (x)
druhou derivaci f (x) na I.
(i) Je-li f (x) > 0 na I, potom je f (x) konvexní na intervalu I.
(ii) Je-li f (x) < 0 na I, potom je f (x) konkávní na intervalu I.
Důkaz.
ad (i): Je-li f (x) > 0 na intervalu I, potom je funkce f (x)
rostoucí na intervalu I. Tedy je přímo podle definice funkce f (x)
konvexní na intervalu I.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Inflexní bod
Tam, kde se mění konvexnost na konkávnost nebo naopak, se
nacházejí tzv. inflexní body funkce.
Definice
Nechť má funkce f (x) vlastní nebo nevlastní derivaci f (x0). Je-li
f (x0) nevlastní, potom navíc předpokládejme, že je f (x) spojitá v
bodě x0. Bod x0 je inflexní bod funkce f (x), pokud v nějakém
levém okolí bodu x0 je funkce f (x) konvexní a v nějakém pravém
okolí bodu x0 je funkce f (x) konkávní, nebo naopak.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Vlastnosti inflexních bodů
Věta
(i) Pokud existuje vlastní druhá derivace f (x0) = 0 v inflexním
bodě x0, potom je f (x0) = 0.
(ii) Je-li f (x0) = 0 a f (x) mění znaménko v bodě x0, potom je
x0 inflexní bod.
(iii) Je-li f (x0) = 0 a f (x0) = 0, potom je x0 inflexní bod.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Vlastnosti inflexních bodů
Věta
(i) Pokud existuje vlastní druhá derivace f (x0) = 0 v inflexním
bodě x0, potom je f (x0) = 0.
(ii) Je-li f (x0) = 0 a f (x) mění znaménko v bodě x0, potom je
x0 inflexní bod.
(iii) Je-li f (x0) = 0 a f (x0) = 0, potom je x0 inflexní bod.
Zejména část (ii) v předchozí větě ukazuje, jak inflexní body najít.
Současně ze změny znaménka f (x) (tedy jestli se jedná o změnu
z do  nebo o změnu z  do ) poznáme, kterým směrem graf
funkce f (x) v bodě x0 zatáčí.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Určete monotonii, lokální extrémy, konvexnost/konkávnost a
inflexní body funkce
f (x) = x + sin x na intervalu [0, 4].
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Určete monotonii, lokální extrémy, konvexnost/konkávnost a
inflexní body funkce
f (x) = x + sin x na intervalu [0, 4].
Řešení
f (x) = 1 + cos x = 0 implikuje, že cos x = -1, tedy x = , 3 jsou
stacionární body (v intervalu [0, 4]). Body, kde neexistuje f (x)
nejsou. V každém z intervalů (0, ), (, 3) a (3, 4) vybereme
jeden bod pro určení znaménka f (x) v těchto intervalech. Tedy
f (x) je rostoucí na [0, 4],
f (x) nemá lokální extrémy.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Řešení příkladu ­ pokr.
Řešení
f (x) = - sin x = 0 implikuje, že x = 0, , 2, 3, 4 jsou
kandidáti na inflexní body. V každém z intervalů (0, ), (, 2),
(2, 3) a (3, 4) vybereme jeden bod pro určení znaménka
f (x) v těchto intervalech. Tedy
f (x) je konvexní na [, 2] a na [3, 4],
f (x) je konkávní na [0, ] a na [2, 3],
f (x) má inflexi v bodech x = , 2, 3.
A protože můžeme jednoduše vypočítat funkční hodnoty a hodnoty
derivace (pro sklon tečny) ve zmiňovaných stacionárních, inflexních
a krajních bodech, můžeme také načrtnout graf této funkce na
intervalu [0, 4].
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Asymptoty
Funkce f (x) může mít jako asymptotu svislou přímku (asymptota
bez směrnice) nebo přímku se směrnicí. Ve druhém případě pak
rozlišujeme asymptoty v  a v -.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Asymptoty
Funkce f (x) může mít jako asymptotu svislou přímku (asymptota
bez směrnice) nebo přímku se směrnicí. Ve druhém případě pak
rozlišujeme asymptoty v  a v -.
Definice
Přímka x = x0 (svislá přímka) je asymptotou bez směrnice
funkce f (x), pokud je alespoň jedna jednostranná limita v
bodě x0 nevlastní, tj.
limxx+
0
f (x) =  nebo limxx-
0
f (x) = .
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Asymptoty
Funkce f (x) může mít jako asymptotu svislou přímku (asymptota
bez směrnice) nebo přímku se směrnicí. Ve druhém případě pak
rozlišujeme asymptoty v  a v -.
Definice
Přímka x = x0 (svislá přímka) je asymptotou bez směrnice
funkce f (x), pokud je alespoň jedna jednostranná limita v
bodě x0 nevlastní, tj.
limxx+
0
f (x) =  nebo limxx-
0
f (x) = .
Přímka y = ax + b (a, b  R) je asymptotou se směrnicí v ,
pokud
lim
x
[f (x) - (ax + b)] = 0.
Podobně pro asymptotu se směrnicí v -.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
(a) Funkce f (x) = 1
x má asymptotu bez směrnice x = 0 a
asymptotu se směrnicí y = 0 (v ).
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
(a) Funkce f (x) = 1
x má asymptotu bez směrnice x = 0 a
asymptotu se směrnicí y = 0 (v ).
(b) Funkce f (x) = sin x
x má asymptotu se směrnicí y = 0 (v ),
protože
lim
x
sin x
x
- 0 = lim
x
sin x
x
typ
ohr.

= 0.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
(a) Funkce f (x) = 1
x má asymptotu bez směrnice x = 0 a
asymptotu se směrnicí y = 0 (v ).
(b) Funkce f (x) = sin x
x má asymptotu se směrnicí y = 0 (v ),
protože
lim
x
sin x
x
- 0 = lim
x
sin x
x
typ
ohr.

= 0.
(c) Funkce f (x) = ax + b je svou vlastní asymptotou (v ).
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
(a) Funkce f (x) = 1
x má asymptotu bez směrnice x = 0 a
asymptotu se směrnicí y = 0 (v ).
(b) Funkce f (x) = sin x
x má asymptotu se směrnicí y = 0 (v ),
protože
lim
x
sin x
x
- 0 = lim
x
sin x
x
typ
ohr.

= 0.
(c) Funkce f (x) = ax + b je svou vlastní asymptotou (v ).
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
(a) Funkce f (x) = 1
x má asymptotu bez směrnice x = 0 a
asymptotu se směrnicí y = 0 (v ).
(b) Funkce f (x) = sin x
x má asymptotu se směrnicí y = 0 (v ),
protože
lim
x
sin x
x
- 0 = lim
x
sin x
x
typ
ohr.

= 0.
(c) Funkce f (x) = ax + b je svou vlastní asymptotou (v ).
Poznámka
Je zřejmé, že asymptoty bez směrnice mohou být pouze v bodech
nespojitosti funkce f (x). Samozřejmě ne každý bod nespojitosti
zadává asymptotu, viz např. f (x) = sin x
x v x0 = 0.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Asymptoty se směrnicí
Věta
Přímka y = ax + b je asymptotou funkce f (x) v  
a = lim
x
f (x)
x
, b = lim
x
[f (x) - ax].
Podobně, přímka y = ax + b je asymptotou funkce f (x) v - 
a = lim
xf
(x)
x
, b = lim
x[f
(x) - ax].
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Důkaz.
Býti asymptotou v  znamená, že f (x)  ax + b pro x  .
Tedy pokud obě strany podělíme výrazem x, dostaneme, že
f (x)
x
 a +
b
x
pro x  .
A protože výraz b
x  0 pro x  , dostáváme odtud vzoreček pro
hodnotu koeficientu a.
Dále, známe-li koeficient a, potom
f (x) - ax  b pro x  .
Samozřejmě, pokud alespoň jedna z limit definujících koeficienty a,
b je nevlastní nebo neexistuje, tak potom daná funkce asymptotu v
příslušném  nebo - nemá.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Určete asymptoty funkce
f (x) =
(x - 2)3
(x + 2)2
.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Určete asymptoty funkce
f (x) =
(x - 2)3
(x + 2)2
.
Řešení
x = -2 je asymptota bez směrnice.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Určete asymptoty funkce
f (x) =
(x - 2)3
(x + 2)2
.
Řešení
x = -2 je asymptota bez směrnice.
a+ = limx
f (x)
x =    = 1, b+ =    = -10. Podobně pro
x  -. Proto y = x - 10 je asymptota v  i v -.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Celkový průběh funkce
Při vyšetřování průběhu funkce určíme
definiční obor (pokud již není zadán),
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Celkový průběh funkce
Při vyšetřování průběhu funkce určíme
definiční obor (pokud již není zadán),
první derivaci f (x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body,
body kde neexistuje f (x), intervaly monotonie (rostoucí a
klesající f (x)) a lokální extrémy.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Celkový průběh funkce
Při vyšetřování průběhu funkce určíme
definiční obor (pokud již není zadán),
první derivaci f (x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body,
body kde neexistuje f (x), intervaly monotonie (rostoucí a
klesající f (x)) a lokální extrémy.
druhou derivaci f (x) a vše co z ní lze určit, tj. konvexnost,
konkávnost a inflexní body, případně lokální extrémy.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Celkový průběh funkce
Při vyšetřování průběhu funkce určíme
definiční obor (pokud již není zadán),
první derivaci f (x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body,
body kde neexistuje f (x), intervaly monotonie (rostoucí a
klesající f (x)) a lokální extrémy.
druhou derivaci f (x) a vše co z ní lze určit, tj. konvexnost,
konkávnost a inflexní body, případně lokální extrémy.
asymptoty bez směrnice a se směrnicí,
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Celkový průběh funkce
Při vyšetřování průběhu funkce určíme
definiční obor (pokud již není zadán),
první derivaci f (x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body,
body kde neexistuje f (x), intervaly monotonie (rostoucí a
klesající f (x)) a lokální extrémy.
druhou derivaci f (x) a vše co z ní lze určit, tj. konvexnost,
konkávnost a inflexní body, případně lokální extrémy.
asymptoty bez směrnice a se směrnicí,
hodnoty funkce f (x) a derivace f (x) ve všech význačných
bodech (např, stacionárních a inflexních bodech, kde
neexistuje f (x) nebo f (x), v krajních bodech, atd.),
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Celkový průběh funkce
Při vyšetřování průběhu funkce určíme
definiční obor (pokud již není zadán),
první derivaci f (x) a vše co z ní lze určit, tj. stacionární body,
body kde neexistuje f (x), intervaly monotonie (rostoucí a
klesající f (x)) a lokální extrémy.
druhou derivaci f (x) a vše co z ní lze určit, tj. konvexnost,
konkávnost a inflexní body, případně lokální extrémy.
asymptoty bez směrnice a se směrnicí,
hodnoty funkce f (x) a derivace f (x) ve všech význačných
bodech (např, stacionárních a inflexních bodech, kde
neexistuje f (x) nebo f (x), v krajních bodech, atd.),
a nakonec ze všech těchto informací sestrojíme graf funkce
f (x).
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Vyšetřete celkový průběh funkce
f (x) =
1
x
+ ln x.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Vyšetřete celkový průběh funkce
f (x) =
1
x
+ ln x.
Řešení
Definiční obor je D(f ) = (0, ).
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Vyšetřete celkový průběh funkce
f (x) =
1
x
+ ln x.
Řešení
Definiční obor je D(f ) = (0, ).
První derivace f (x) = x-1
x2 , tj. x = 1 je jediný stacionární bod
(a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f (x)).
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Vyšetřete celkový průběh funkce
f (x) =
1
x
+ ln x.
Řešení
Definiční obor je D(f ) = (0, ).
První derivace f (x) = x-1
x2 , tj. x = 1 je jediný stacionární bod
(a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f (x)).
Druhá derivace f (x) = 2-x
x3 , je proto x = 2 je jediným
kandidátem na inflexní bod a snadno je vidět, že jím i je.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Vyšetřete celkový průběh funkce
f (x) =
1
x
+ ln x.
Řešení
Definiční obor je D(f ) = (0, ).
První derivace f (x) = x-1
x2 , tj. x = 1 je jediný stacionární bod
(a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f (x)).
Druhá derivace f (x) = 2-x
x3 , je proto x = 2 je jediným
kandidátem na inflexní bod a snadno je vidět, že jím i je.
x = 0 je asymptota bez směrnice
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Vyšetřete celkový průběh funkce
f (x) =
1
x
+ ln x.
Řešení
Definiční obor je D(f ) = (0, ).
První derivace f (x) = x-1
x2 , tj. x = 1 je jediný stacionární bod
(a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f (x)).
Druhá derivace f (x) = 2-x
x3 , je proto x = 2 je jediným
kandidátem na inflexní bod a snadno je vidět, že jím i je.
x = 0 je asymptota bez směrnice
f (x) nemá žádnou asymptotu se směrnicí
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Vyšetřete celkový průběh funkce
f (x) =
1
x
+ ln x.
Řešení
Definiční obor je D(f ) = (0, ).
První derivace f (x) = x-1
x2 , tj. x = 1 je jediný stacionární bod
(a z vyšetření okolí je zřejmě globálním minimem funkce f (x)).
Druhá derivace f (x) = 2-x
x3 , je proto x = 2 je jediným
kandidátem na inflexní bod a snadno je vidět, že jím i je.
x = 0 je asymptota bez směrnice
f (x) nemá žádnou asymptotu se směrnicí
Hodnoty funkce f (x) a derivace f (x) ve všech význačných
bodech:
f (1) = 1, f (1) = 0, f (2) = 1
2 + ln 2  1.19, f (2) = 1
4.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Plán přednášky
1 Průběh funkce
Konvexnost, konkávnost, inflexe
Asymptoty
Celkový průběh funkce
2 Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Diferenciál funkce je pojem, který se pro funkce jedné proměnné
využívá pouze pro potřeby integrování nebo pro přibližné výpočty.
Pro funkce více proměnných má mnohem větší význam (viz
MB103).
Definice
Nechť x0  D(f ) je bod, ve kterém existuje vlastní derivace f (x0)
funkce y = f (x). Potom definujeme
diferenciál dx (diferenciál nezávislé proměnné) jako
dx = x - x0 (pro x blízko x0),
diferenciál dy (diferenciál závislé proměnné) jako
dy = f (x0) . dx .
Alternativní značení pro dy je df , případně df (x0) pokud chceme
zdůraznit, že se jedná o diferenciál v bodě x0.
Uvědomte si, že pokud je x napravo od x0, je dx = x - x0 > 0,
pokud je ale x nalevo od x0, je dx = x - x0 < 0.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Co to vlastně ten diferenciál je?
Pokud se podíváme na rovnici tečny v bodě x0, máme
y - y0 = f (x0) (x - x0), kde y0 = f (x0),
y - f (x0) = f (x0) dx
dy
= df (x0).
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Co to vlastně ten diferenciál je?
Pokud se podíváme na rovnici tečny v bodě x0, máme
y - y0 = f (x0) (x - x0), kde y0 = f (x0),
y - f (x0) = f (x0) dx
dy
= df (x0).
Vidíme tedy, že diferenciál dy je změna funkčních hodnot na tečně.
A protože hodnoty na tečně aproximují funkční hodnoty f (x) pro x
blízko bodu x0, plyne odtud vzoreček pro přibližné výpočty:
f (x)  f (x0) + df (x0), tj. f (x)  f (x0) + f (x0) (x - x0).
(Jedná se vlastně o rovnici tečny trošku zapsanou jiným
způsobem). Tedy hodnoty funkce f (x) pro x blízko bodu x0 se
přibližně rovnají hodnotám na tečně v bodě x0, přičemž pro tento
výpočet musíme znát hodnotu funkce f (x0) a derivace f (x0) v
bodě x0.
Diferenciál je tedy přibližná změna funkčních hodnot pro x blízko
x0.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte

85.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte

85.
Řešení
Protože známe

81 = 9, položíme x0 = 81 a x = 85, tj.
dx = x - x0 = 4. Tedy pro f (x) =

x potom je f (x) = 1
2

x
, a
tedy f (81) = 9 a f (81) = 1
2

81
= 1
18. Ze vzorce pro aproximaci
potom plyne, že
f (85)  f (81) + df (81) = f (81) + f (81) dx, tj.

85  9 +
1
18
 4 = 9 +
2
9
=
83
9
= 9.2222 . . . .
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte

85.
Řešení
Protože známe

81 = 9, položíme x0 = 81 a x = 85, tj.
dx = x - x0 = 4. Tedy pro f (x) =

x potom je f (x) = 1
2

x
, a
tedy f (81) = 9 a f (81) = 1
2

81
= 1
18. Ze vzorce pro aproximaci
potom plyne, že
f (85)  f (81) + df (81) = f (81) + f (81) dx, tj.

85  9 +
1
18
 4 = 9 +
2
9
=
83
9
= 9.2222 . . . .
Pro srovnání je přesná hodnota

85 = 9.2195 . . . .
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Taylorův polynom
Viděli jsme, že pro aproximaci funkce pomocí lineárního polynomu
slouží tečna (tedy diferenciál). Lze ale použít i aproximace vyšších
řádů. V tomto obecnějším případě potom hovoříme o
Taylorově polynomu.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Taylorův polynom
Viděli jsme, že pro aproximaci funkce pomocí lineárního polynomu
slouží tečna (tedy diferenciál). Lze ale použít i aproximace vyšších
řádů. V tomto obecnějším případě potom hovoříme o
Taylorově polynomu.
Definice
Nechť x0  D(f ) je bod, ve kterém existují vlastní derivace f (x0),
f (x0), . . . , f (n)(x0) funkce f (x) až do řádu n.
Taylorův polynom stupně n funkce f (x) se středem v bodě x0 je
polynom
T(x) = Tn(x) = Tf
n (x) = Tf
n (x; x0)
definovaný jako
T(x) := f (x0)+f (x0) (x-x0)+
f (x0)
2
(x-x0)2
+  +
f (n)(x0)
n!
(x-x0)n
.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Alternativně zapisujeme Taylorův polynom pomocí sumy
T(x) =
n
k=0
f (k)(x0)
k!
(x - x0)k
,
přičemž pro k = 0 klademe 0! := 1 a f (0)(x) := f (x).
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Alternativně zapisujeme Taylorův polynom pomocí sumy
T(x) =
n
k=0
f (k)(x0)
k!
(x - x0)k
,
přičemž pro k = 0 klademe 0! := 1 a f (0)(x) := f (x).
Poznámka
(i) Taylorův polynom stupně n = 0 se středem v bodě x0 je tedy
polynom
T0(x) = f (x0),
tedy jedná se o konstantní funkci.
(ii) Taylorův polynom stupně n = 1 se středem v bodě x0 je tedy
polynom
T1(x) = f (x0) + f (x0) (x - x0).
Vidíme tedy, že tento polynom je přesně rovnice tečny nebo
také vyjadřuje aproximaxi funkce f (x) pomocí diferenciálu .
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Určete Taylorův polynom pro funkce f (x) = sin(x), g(x) = ex .
Poznámka
Aproximace funkce sin x pomocí těchto polynomů je zobrazena v
souboru <tayloruv polynom sinus.pdf>
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Příklad
Určete Taylorův polynom pro funkce f (x) = sin(x), g(x) = ex .
Poznámka
Aproximace funkce sin x pomocí těchto polynomů je zobrazena v
souboru <tayloruv polynom sinus.pdf>
Věta
Nechť f (x) má spojité derivace f (x), f (x), . . . , f (n)(x) na
uzavřeném intervalu [a, b] a nechť existuje vlastní derivace
f (n+1)(x) na otevřeném intervalu (a, b). Potom pro každý bod
x  (a, b) existuje bod c  (a, x) tak, že platí rovnost
f (x) = Tn(x) + Rn(x), kde Rn(x) =
f (n+1)(c)
(n + 1)!
(x - a)n+1
,
kde Tn(x) je Taylorův polynom stupně n funkce f (x) se středem v
bodě a.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Důkaz.
Toto důležité tvrzení je důsledkem Rolleovy věty o střední hodnotě.
Podrobnosti jsou ve sktiptech.
Poznámka
S rostoucím n se stupeň Taylorova polynomu zvyšuje, až se pro
n   dostáváme v polynomu Tn(x) k součtu nekonečně mnoha
členů ­ tzv. nekonečné řadě. Více o tomto tématu probereme
později.
Průběh funkce Diferenciál funkce a Taylorův polynom
Důkaz.
Toto důležité tvrzení je důsledkem Rolleovy věty o střední hodnotě.
Podrobnosti jsou ve sktiptech.
Poznámka
S rostoucím n se stupeň Taylorova polynomu zvyšuje, až se pro
n   dostáváme v polynomu Tn(x) k součtu nekonečně mnoha
členů ­ tzv. nekonečné řadě. Více o tomto tématu probereme
později.
Příklad
Odhadněte chybu v bodě x = 
4 Taylorova polynomu stupně n = 6
funkce f (x) = cos x se středem v bodě x0 = 0.