Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Matematika II ­ 9. přednáška
Riemannův integrál
Michal Bulant
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
12. 11. 2008
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Obsah přednášky
1 Riemannův integrál
2 Vlastnosti určitého integrálu
3 Integrál jako funkce horní meze
4 Aplikace určitého integrálu
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Doporučené zdroje
Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text.
Roman Hilscher ­ MB102, e-text.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Doporučené zdroje
Martin Panák, Jan Slovák ­ Drsná matematika, e-text.
Roman Hilscher ­ MB102, e-text.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Plán přednášky
1 Riemannův integrál
2 Vlastnosti určitého integrálu
3 Integrál jako funkce horní meze
4 Aplikace určitého integrálu
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Bernhard Riemann (1826 ­ 1866) ­ jeden z nejvýznamnějších
matematiků celé historie (nejen matematické analýzy) ­ viz
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
V této části budou uvažované funkce vždy ohraničené.
Základní otázka zní: Jaká je plocha mezi f (x) a osou x (na
intervalu [a, b])?
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Obsah plochy
Příklad
(a) f (x) = 2 pro x  [-1, 1], P = 4.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Obsah plochy
Příklad
(a) f (x) = 2 pro x  [-1, 1], P = 4.
(b) f (x) = k pro x  [a, b], P = k (b - a).
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Obsah plochy
Příklad
(a) f (x) = 2 pro x  [-1, 1], P = 4.
(b) f (x) = k pro x  [a, b], P = k (b - a).
(c) f (x) = x pro x  [0, 4], P = 1
2 42 = 8.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Obsah plochy
Příklad
(a) f (x) = 2 pro x  [-1, 1], P = 4.
(b) f (x) = k pro x  [a, b], P = k (b - a).
(c) f (x) = x pro x  [0, 4], P = 1
2 42 = 8.
(d) f (x) = x pro x  [2, 4], P = 1
2 42 - 1
2 22 = 8 - 2 = 6.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Obsah plochy
Příklad
(a) f (x) = 2 pro x  [-1, 1], P = 4.
(b) f (x) = k pro x  [a, b], P = k (b - a).
(c) f (x) = x pro x  [0, 4], P = 1
2 42 = 8.
(d) f (x) = x pro x  [2, 4], P = 1
2 42 - 1
2 22 = 8 - 2 = 6.
(e) f (x) = x pro x  [a, b], P = 1
2 b2 - 1
2 a2.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Obsah plochy
Příklad
(a) f (x) = 2 pro x  [-1, 1], P = 4.
(b) f (x) = k pro x  [a, b], P = k (b - a).
(c) f (x) = x pro x  [0, 4], P = 1
2 42 = 8.
(d) f (x) = x pro x  [2, 4], P = 1
2 42 - 1
2 22 = 8 - 2 = 6.
(e) f (x) = x pro x  [a, b], P = 1
2 b2 - 1
2 a2.
(f) f (x) =

1 - x2 pro x  [-1, 1], P = 1
2  12 = 
2 .
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Obsah plochy
Příklad
(a) f (x) = 2 pro x  [-1, 1], P = 4.
(b) f (x) = k pro x  [a, b], P = k (b - a).
(c) f (x) = x pro x  [0, 4], P = 1
2 42 = 8.
(d) f (x) = x pro x  [2, 4], P = 1
2 42 - 1
2 22 = 8 - 2 = 6.
(e) f (x) = x pro x  [a, b], P = 1
2 b2 - 1
2 a2.
(f) f (x) =

1 - x2 pro x  [-1, 1], P = 1
2  12 = 
2 .
(g) f (x) = -2x + 1 pro x  [1, 2], P = 1
2  3
2  3 - 1
2  1
2  1 = 2. Ale
protože je plocha pod osou x, klademe P = -2.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Obsah plochy
Příklad
(a) f (x) = 2 pro x  [-1, 1], P = 4.
(b) f (x) = k pro x  [a, b], P = k (b - a).
(c) f (x) = x pro x  [0, 4], P = 1
2 42 = 8.
(d) f (x) = x pro x  [2, 4], P = 1
2 42 - 1
2 22 = 8 - 2 = 6.
(e) f (x) = x pro x  [a, b], P = 1
2 b2 - 1
2 a2.
(f) f (x) =

1 - x2 pro x  [-1, 1], P = 1
2  12 = 
2 .
(g) f (x) = -2x + 1 pro x  [1, 2], P = 1
2  3
2  3 - 1
2  1
2  1 = 2. Ale
protože je plocha pod osou x, klademe P = -2.
(h) f (x) = x3 pro x  [-1, 1], plocha je stejná nad i pod osou x,
a proto klademe P = 0.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Riemannův integrál
Pro definici integrálu využijeme přímo intuitivní úvahy, kterými
jsme v minulé přednášce odůvodňovali souvislost Newtonova
integrálu s velikostí plochy.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Riemannův integrál
Pro definici integrálu využijeme přímo intuitivní úvahy, kterými
jsme v minulé přednášce odůvodňovali souvislost Newtonova
integrálu s velikostí plochy.
Skutečnou plochu mezi f (x) a osou x odhadneme pomocí
vepsaných a opsaných obdélníků, čímž dostaneme dolní odhad
s(D, f ) pro skutečnou plochu a horní odhad S(D, f ) pro skutečnou
plochu.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Definice (dělení intervalu)
Nechť a, b  R, a < b. Dělením intervalu [a, b] je konečná množina
bodů D  [a, b] s vlastností a, b  D. Tedy
D = {x0, x1, . . . , xn}, kde a = x0 < x1 <    < xn-1 < xn = b.
Body x0, x1, . . . , xn se nazývají dělící body a interval [xk-1, xk] se
nazývá dělící (pod)interval.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Definice (dělení intervalu)
Nechť a, b  R, a < b. Dělením intervalu [a, b] je konečná množina
bodů D  [a, b] s vlastností a, b  D. Tedy
D = {x0, x1, . . . , xn}, kde a = x0 < x1 <    < xn-1 < xn = b.
Body x0, x1, . . . , xn se nazývají dělící body a interval [xk-1, xk] se
nazývá dělící (pod)interval.
Délka největšího dělícího podintervalu je pak norma dělení D, tj. je
to číslo
n(D) := max
k=1,...,n
{xk - xk-1}. (1)
Množinu všech dělění intervalu [a, b] označujeme jako D[a, b] či
jenom jako D.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Pro funkci f (x) na [a, b] a dělení D intervalu [a, b] zaveďme
mk := inf f (x), x  [xk-1, xk] , Mk := sup f (x), x  [xk-1, xk]
s(D, f ) :=
n
k=1
mk (xk - xk-1), dolní součet f (x) při dělení D,
S(D, f ) :=
n
k=1
Mk (xk - xk-1), horní součet f (x) při dělení D.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Pro funkci f (x) na [a, b] a dělení D intervalu [a, b] zaveďme
mk := inf f (x), x  [xk-1, xk] , Mk := sup f (x), x  [xk-1, xk]
s(D, f ) :=
n
k=1
mk (xk - xk-1), dolní součet f (x) při dělení D,
S(D, f ) :=
n
k=1
Mk (xk - xk-1), horní součet f (x) při dělení D.
Tvrzení
Nechť c  f (x)  d pro každé x  [a, b]. Potom pro každá dvě
dělení D1, D2  D[a, b] platí
c (b - a)  s(D1, f )  S(D2, f )  d (b - a),
tj. dolní součet libovolného dělení je nejvýše roven hornímu součtu
libovolného dělení, přičemž všechny dolní součty jsou zdola
ohraničeny číslem c (b - a) a všechny horní součty jsou shora
ohraničeny číslem d (b - a) .
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Při vzrůstajícím počtu dělících bodů xk v dělení D1, D2 se bude
dolní součet s(D1, f ) zvětšovat a zároveň horní součet S(D2, f )
zmenšovat.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Při vzrůstajícím počtu dělících bodů xk v dělení D1, D2 se bude
dolní součet s(D1, f ) zvětšovat a zároveň horní součet S(D2, f )
zmenšovat.
Definice
Číslo
b
a
f := sup s(D, f ), D  D
nazýváme dolním (Riemannovým) integrálem z funkce f (x) na
intervalu [a, b].
Číslo
b
a
f := inf S(D, f ), D  D
nazýváme horním (Riemannovým) integrálem z funkce f (x) na
intervalu [a, b].
Současně víme, že vždy je c (b - a) 
b
a
f 
b
a f  d (b - a).
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Definice (Riemannův integrál)
Je-li
b
a
f =
b
a
f ,
potom říkáme, že funkce f (x) je integrovatelná (v Riemannově
smyslu) na [a, b] a toto společné číslo značíme
b
a f :=
b
a
f =
b
a f .
Množinu všech (Riemannovsky) integrovatelných funkcí na
intervalu [a, b] značíme jako R[a, b].
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Definice (Riemannův integrál)
Je-li
b
a
f =
b
a
f ,
potom říkáme, že funkce f (x) je integrovatelná (v Riemannově
smyslu) na [a, b] a toto společné číslo značíme
b
a f :=
b
a
f =
b
a f .
Množinu všech (Riemannovsky) integrovatelných funkcí na
intervalu [a, b] značíme jako R[a, b].
Je-li
b
a
f <
b
a
f ,
potom říkáme, že funkce f (x) není integrovatelná na [a, b].
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Definice (Riemannův integrál)
Je-li
b
a
f =
b
a
f ,
potom říkáme, že funkce f (x) je integrovatelná (v Riemannově
smyslu) na [a, b] a toto společné číslo značíme
b
a f :=
b
a
f =
b
a f .
Množinu všech (Riemannovsky) integrovatelných funkcí na
intervalu [a, b] značíme jako R[a, b].
Je-li
b
a
f <
b
a
f ,
potom říkáme, že funkce f (x) není integrovatelná na [a, b].
Riemannův integrál přes interval [a, b] je tedy číslo. Zápis pro
Riemannův integrál budeme používat také ve tvaru s integrační
proměnnou.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Příklad
Pro konstantní funkci f (x) = c máme mk = Mk = c pro všechny k
a tedy je
s(D, f ) = c (b - a), S(D, f ) = c (b - a), D  D, 
b
a
c =
b
a
k =
b
a
k = c (b - a).
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Příklad
Dirichletova funkce  [chí]
(x) :=
1, pro x  Q  [a, b],
0, pro x  (R \ Q)  [a, b],
Potom mk = 0 a Mk = 1 pro všechna k a tedy je
s(D, ) = 0, S(D, ) = b - a, D  D, 
b
a
 = sup{s(D, )} = sup{0} = 0,
b
a
k = inf{S(D, )} = inf{b - a} = b - a 
0 =
b
a
 <
b
a
 = b - a, a tedy   R[a, b],
tj. není integrovatelná.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Jak obecně určíme, zda je daná funkce integrovatelná (a pak jakou
hodnotu má její určitý integrál) či nikoliv?
Definice
Nulová posloupnost dělení Dk  D je taková posloupnost dělení,
která splňuje n(Dk)  0 pro k  , neboli norma dělení jde k
nule.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Jak obecně určíme, zda je daná funkce integrovatelná (a pak jakou
hodnotu má její určitý integrál) či nikoliv?
Definice
Nulová posloupnost dělení Dk  D je taková posloupnost dělení,
která splňuje n(Dk)  0 pro k  , neboli norma dělení jde k
nule.
Věta
Nechť je funkce f (x) ohraničená na intervalu [a, b]. Potom pro
libovolnou nulovou posloupnost dělení Dk  D platí, že
s(Dk, f ) 
b
a
f , S(Dk, f ) 
b
a
f , pro k  .
Je-li navíc f (x) integrovatelná na [a, b], potom dolní součty
s(Dk, f ) i horní součty S(Dk, f ) konvergují (ve smyslu existence
vlastní limity) k číslu
b
a f .
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Z této věty vyplývá, že pokud víme, že je f (x) integrovatelná na
[a, b], potom lze
b
a f určit limitním přechodem pomocí libovolné
nulové posloupnosti dělení intervalu [a, b].
Zásadní otázku, které funkce jsou vlastně (Riemannovsky)
integrovatelné, zodpovídá následující tvrzení.
Věta
(i) Každá spojitá funkce na intervalu [a, b] je zde také
integrovatelná, neboli
C[a, b]  R[a, b].
(ii) Každá monotónní funkce na intervalu [a, b] je zde také
integrovatelná.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Poznámka
Riemannův integrál (tj. vlastně orientovaná plocha) se zřejmě
nezmění, pokud je integrovatelná funkce f (x) nespojitá či není
definována v konečně mnoha bodech (či obecněji na množině míry
nula), viz obr. Tímto dostáváme určitý integrál přes otevřený nebo
polouzavřený interval. Zejména pro (ohraničené) intervaly všech
typů (a, b), (a, b] i [a, b) je příslušný určitý integrál přes tento
interval roven již dříve definovanému číslu
b
a f , tj. Riemannově
integrálu přes uzavřený interval [a, b].
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Poznámka
Riemannův integrál (tj. vlastně orientovaná plocha) se zřejmě
nezmění, pokud je integrovatelná funkce f (x) nespojitá či není
definována v konečně mnoha bodech (či obecněji na množině míry
nula), viz obr. Tímto dostáváme určitý integrál přes otevřený nebo
polouzavřený interval. Zejména pro (ohraničené) intervaly všech
typů (a, b), (a, b] i [a, b) je příslušný určitý integrál přes tento
interval roven již dříve definovanému číslu
b
a f , tj. Riemannově
integrálu přes uzavřený interval [a, b].
Příklad
Pro nespojitou funkci sgn x platí
3
-2 sgn x dx = 3 + (-2) = 1.
Obdobně lze ukázat, že pro a < 0 < b je
b
a sgn x dx = a + b.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Plán přednášky
1 Riemannův integrál
2 Vlastnosti určitého integrálu
3 Integrál jako funkce horní meze
4 Aplikace určitého integrálu
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Pravidla pro určitý integrál
Věta
Nechť f , g  R[a, b] (f (x) a g(x) jsou integrovatelné) a c  R je
konstanta.
(i) Pravidlo konstantního násobku: c . f  R[a, b] a platí
b
a
c . f (x) dx = c
b
a
f (x) dx.
(ii) Pravidlo součtu a rozdílu: f  g  R[a, b] a platí
b
a
f (x)  g(x) dx =
b
a
f (x) dx 
b
a
g(x) dx.
(iii) Pravidlo monotonie: je-li f (x)  g(x) na [a, b], potom
b
a
f 
b
a
g.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
(iv) Pravidlo absolutní hodnoty: |f |  R[a, b] a platí
b
a
f 
b
a
|f |.
(v) Pravidlo součinu: f . g  R[a, b].
(vi) Pravidlo podílu: je-li g(x)  c na intervalu [a, b] pro nějaké
c > 0, potom je f
g  R[a, b].
(vii) Pravidlo návaznosti: je-li a < c < b, potom je f  R[a, c],
f  R[c, b] a platí
b
a
f =
c
a
f +
b
c
f .
Všimněte si, že pravidla (i) a (ii) vlastně říkají, že zobrazení
I : R[a, b]  R, I(f ) :=
b
a
f
je lineární zobrazení mezi vektorovými prostory R[a, b] a R.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Plán přednášky
1 Riemannův integrál
2 Vlastnosti určitého integrálu
3 Integrál jako funkce horní meze
4 Aplikace určitého integrálu
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Je-li funkce f (x) integrovatelná na [a, b], potom je podle
návaznosti také integrovatelná na intervalu [a, x] pro každé
x  [a, b]. Tedy předpis
F(x) :=
x
a
f =
x
a
f (t) dt
definuje funkci F(x), která je řádně definovaná pro všechna
x  [a, b].
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Je-li funkce f (x) integrovatelná na [a, b], potom je podle
návaznosti také integrovatelná na intervalu [a, x] pro každé
x  [a, b]. Tedy předpis
F(x) :=
x
a
f =
x
a
f (t) dt
definuje funkci F(x), která je řádně definovaná pro všechna
x  [a, b].
Příklad
Pro (nespojitou) funkci
f (x) :=
5, pro x  [0, 1),
10, pro x  [1, 2],
je
F(x) :=
5x, pro x  [0, 1],
10x - 5, pro x  [1, 2],
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
V následujích dvou tvrzeních uvidíme, že funkce F(x) vylepšuje
vlastnosti funkce f . Viz např. předchozí příklad, kdy z nespojité
funkce f (x) dostaneme spojitou funkci F(x).
Věta
Nechť f  R[a, b] (tedy funkce f (x) může být i nespojitá). Potom
je funkce
F(x) :=
x
a
f
spojitá na intervalu [a, b].
Důkaz.
Důkaz provedeme pro ohraničenou funkci f (x). Obecný případ lze
najít v literatuře.
Nechť x0  [a, b] je libovolný bod. Chceme ukázat, že
F(x) - F(x0)  0 pro x  x0. Platí |F(x) - F(x0)| =
|
x
a f -
x0
a f | = |
x
x0
f |  |
x
x0
|f | |  |
x
x0
c | = c |x - x0|
 0
 0.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Věta
Je-li f (x) spojitá na nějakém okolí bodu x0, potom má funkce
F(x) :=
x
a f derivaci v bodě x0 a platí
F (x0) = f (x0).
Důsledek (Fundamentální vztah integrálního počtu)
Je-li funkce f (x) spojitá na intervalu [a, b], potom má funkce
F(x) :=
x
a f spojitou derivaci F (x) = f (x) na [a, b], tj. platí
vztah
x
a
f (t) dt = f (x). (2)
Předchozí vztah v sobě soustřeďuje poznatky o derivaci, neurčitém
integrálu, určitém integrálu a spojitosti. Tento důsledek je
důkazem věty o existenci primitivní funkce.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Newton-Leibnitzova formule
Věta
Je-li f  R[a, b] a je-li F(x) libovolná primitivní funkce k f (x) na
(a, b), přičemž F(x) je spojitá na [a, b], potom je
b
a
f (x) dx = F(b) - F(a).
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Newton-Leibnitzova formule
Věta
Je-li f  R[a, b] a je-li F(x) libovolná primitivní funkce k f (x) na
(a, b), přičemž F(x) je spojitá na [a, b], potom je
b
a
f (x) dx = F(b) - F(a).
Důkaz.
Důkaz ale provedeme pouze pro spojitou funkci f (x).
Je-li f (x) spojitá na [a, b], potom má f (x) na [a, b] primitivní
funkci, označme ji F(x). Dále, protože je podle předchozího
důsledku funkce
x
a f také primitivní k f (x) na [a, b], musí se tyto
dvě primitivní funkce navzájem lišit o konstantu. Tedy platí, že
F(x) =
x
a f + C pro každé x  [a, b], a proto je
F(b) - F(a) =
b
a
f + C -
a
a
f + C =
b
a
f .
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Výpočet určitého integrálu
Díky předchozí větě vidíme, jak využít metodu per-partes a
substituční metody i pro výpočet určitého integrálu. Při použití
substituční metody máme oproti výpočtu neurčitého integrálu tu
výhodu, že není třeba provádět zpětnou substituci, stačí pri
substituci transformovat i meze integrace.
Věta (Substituce pro určitý integrál)
Nechť je funkce f (t) spojitá na intervalu [c, d] a nechť má funkce
(x) integrovatelnou derivaci na intervalu [a, b] a
([a, b])  [c, d]. Potom platí
b
a
f (x) .  (x) dx =
(b)
(a)
f (t) dt.
Neboli v daném integrálu volíme substituci t = (x) a
transformujeme nejen integrál, ale i meze (v tomtéž pořadí mezí).
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Příklad
Vypočtěte obsah kruhu s poloměrem r > 0.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Příklad
Vypočtěte obsah kruhu s poloměrem r > 0.
Řešení
Obsah kruhu vypočítáme např. jako dvojnásobek obsahu půlkruhu.
P = 2
r
-r
r2 - x2 dx =
x = r sin t
dx = (r cos t) dt
x = -r  t = -
2
x = r  t = 
2
=
= 2

2
-
2
r2 - r2 sin2
t
= r cos t
. r cos t dt
dx
= 2

2
-
2
r2
cos2
t dt =
= 2 r2

2
-
2
1 + cos(2t)
2
dt = 2 r2 t
2
+
1
2

sin(2t)
2

2
0
=
= 2 r2 
4
+
sin 
4
- -

4
+
sin(-)
4
= r2
.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Plán přednášky
1 Riemannův integrál
2 Vlastnosti určitého integrálu
3 Integrál jako funkce horní meze
4 Aplikace určitého integrálu
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Obsah plochy mezi dvěma grafy
Víme, že určitý integrál
b
a f byl zkonstruován jako orientovaná
plocha mezi grafem funkce f (x) a osou x na intervalu [a, b]. Tato
orientovaná plocha je zřejmě rovna skutečné ploše, pokud je
f (x)  0 na [a, b].
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Obsah plochy mezi dvěma grafy
Víme, že určitý integrál
b
a f byl zkonstruován jako orientovaná
plocha mezi grafem funkce f (x) a osou x na intervalu [a, b]. Tato
orientovaná plocha je zřejmě rovna skutečné ploše, pokud je
f (x)  0 na [a, b].
Pokud nás zajímá velikost plochy mezi grafy funkcí f (x) a g(x),
viz obr., určíme ji pomocí vepsaných a opsaných obdélníků (stejně
jako při konstrukci Riemannova integrálu), avšak nyní bude obsah
každého takového obdélníka tvaru [f (ck) - g(ck)] (xk - xk-1),
Riemannův součet je pak
n
k=1
[f (ck) - g(ck)] (xk - xk-1).
Tyto úvahy vedou k odvozeni následujícího vzorce.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Věta (plocha mezi grafy)
Nechť f , g  R[a, b] a f (x)  g(x) na [a, b]. Potom má plocha
mezi grafy těchto funkcí na intervalu [a, b] velikost
P =
b
a
[f (x) - g(x)] dx =
b
a
[ horní funkce - dolní funkce ] dx.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Věta (plocha mezi grafy)
Nechť f , g  R[a, b] a f (x)  g(x) na [a, b]. Potom má plocha
mezi grafy těchto funkcí na intervalu [a, b] velikost
P =
b
a
[f (x) - g(x)] dx =
b
a
[ horní funkce - dolní funkce ] dx.
Příklad
Určete plochu mezi grafy funkcí y = sin x a y = 2 sin x na
intervalu [, 2].
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Věta (plocha mezi grafy)
Nechť f , g  R[a, b] a f (x)  g(x) na [a, b]. Potom má plocha
mezi grafy těchto funkcí na intervalu [a, b] velikost
P =
b
a
[f (x) - g(x)] dx =
b
a
[ horní funkce - dolní funkce ] dx.
Příklad
Určete plochu mezi grafy funkcí y = sin x a y = 2 sin x na
intervalu [, 2].
Řešení
Oba grafy se protínají v bodech x =  a x = 2, přičemž funkce
y = sin x je horní funkce na tomto intervalu. Proto
P =
2

(sin x - 2 sin x) dx =
2

(- sin x) dx = cos x
2

= cos 2 - cos  = 1 - (-1) = 2.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Délka křivky
Křivka C v rovině, C : [, ]  R2, je zadána parametricky jako
zobrazení C : t  [x(t), y(t)].
Příklad
Křivka C : t  [cos t, sin t] pro t  [0, 2] je kružnice o poloměru
r = 1 se středem v počátku.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Délka křivky
Křivka C v rovině, C : [, ]  R2, je zadána parametricky jako
zobrazení C : t  [x(t), y(t)].
Příklad
Křivka C : t  [cos t, sin t] pro t  [0, 2] je kružnice o poloměru
r = 1 se středem v počátku.
Věta (Délka křivky v rovině)
Nechť C je křivka v rovině a [x(t), y(t)] pro t  [, ] její
parametrizace. Mají-li souřadné funkce x(t) a y(t) spojitou derivaci
na intervalu [, ], potom má křivka C konečnou délku a platí
d(C) =


[x (t)]2 + [y (t)]2 dt.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Odvození předchozího vztahu pomocí dělení je obdobné jako u
obsahu plochy. Intuitivně lze s využitím Pythagorovy věty
argumentovat takto: Představme si křivku C jako dráhu pohybu v
čase t. Derivací tohoto zobrazení dostaneme hodnoty, které budou
odpovídat rychlosti pohybu po takovéto dráze. Proto celková délka
křivky (tj. dráha uražená za dobu mezi hodnotami t = a, t = b)
bude dána integrálem přes interval [a, b], kde integrovanou funkcí
je dráha uražená za nekonečně malý čas dt. Ta je podle
Pythagorovy věty rovna dx2 + dy2 = x (t)2 + y (t)2 dt, a
odtud dostáváme požadovaný výsledek.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Příklad
Určete obvod kružnice o poloměru r > 0.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Příklad
Určete obvod kružnice o poloměru r > 0.
Řešení
Kružnice má parametrizaci [x(t), y(t)] = [r cos t, r sin t] pro
t  [0, 2]. Tyto funkce mají spojitou derivaci
[x (t), y (t)] = [-r sin t, r cos t] na [0, 2], a proto je obvod
kružnice roven
d =
2
0
[x (t)]2 + [y (t)]2 dt =
2
0
(-r sin t)2 + (r cos t)2 dt
=
2
0
r2 (sin2
t + cos2 t) dt =
2
0
r dt = r t
2
0
= 2r.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Graf funkce f (x) můžeme chápat jako množinu bodů [x, f (x)],
tedy je to speciální případ křivky v rovině, která má parametrizaci
[t, f (t)] pro t  [a, b] (v tomto případě tuto parametrizaci ale
píšeme s proměnnou x). A protože má tato parametrizace derivaci
[(t) , f (t)] = [1, f (t)], dostáváme
Důsledek
Má-li funkce f (x) spojitou derivaci na intervalu [a, b], potom má
její graf na intervalu [a, b] konečnou délku a platí
d(f ) =
b
a
1 + [f (x)]2 dx.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Objem rotačního tělesa
Rotační těleso vznikne rotací plochy mezi grafem funkce f (x) a
osou x kolem osy x na intervalu [a, b] (viz obr.). Zřejmě má tato
úloha smysl pouze pro nezápornou funkci f (x) (či obecněji, pro
funkci, která nemění znaménko na intervalu [a, b], tj. je buď stále
nezáporná nabo nekladná).
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Objem rotačního tělesa
Rotační těleso vznikne rotací plochy mezi grafem funkce f (x) a
osou x kolem osy x na intervalu [a, b] (viz obr.). Zřejmě má tato
úloha smysl pouze pro nezápornou funkci f (x) (či obecněji, pro
funkci, která nemění znaménko na intervalu [a, b], tj. je buď stále
nezáporná nabo nekladná).
Věta (objem rotačního tělesa)
Nechť f (x) je spojitá nezáporná funkce na intervalu [a, b]. Objem
rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy mezi grafem f a osou
x na intervalu [a, b] kolem osy x, je
V = 
b
a
f 2
(x) dx.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Objem rotačního tělesa
Rotační těleso vznikne rotací plochy mezi grafem funkce f (x) a
osou x kolem osy x na intervalu [a, b] (viz obr.). Zřejmě má tato
úloha smysl pouze pro nezápornou funkci f (x) (či obecněji, pro
funkci, která nemění znaménko na intervalu [a, b], tj. je buď stále
nezáporná nabo nekladná).
Věta (objem rotačního tělesa)
Nechť f (x) je spojitá nezáporná funkce na intervalu [a, b]. Objem
rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy mezi grafem f a osou
x na intervalu [a, b] kolem osy x, je
V = 
b
a
f 2
(x) dx.
Intuitivní zdůvodnění je obdobné jako u dělky křivky ­ objem
nekonečně malé válcové části tělesa o délce dx je dán součinem dx
a obsahu kruhové podstavy o obsahu f (x)2.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Povrch rotačního tělesa
Analogicky jako objem vypočteme i povrch pláště rotačního tělesa.
Pokud vznikne těleso rotací grafu funkce f kolem osy x v intervalu
[a, b], vzniká při přírůstku x nárůst plochy, jehož velikost je rovna
součinu s délky křivky zadané grafem funkce f a velikosti
kružnice o poloměru f (x). Plocha se proto spočte formulí
S(f ) = 2
b
a
f (x) ds = 2
b
a
f (x) 1 + (f (x))2 dx,
kde ds = dx2 + dy2 je dán přírůstkem délky křivky y = f (x).
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Povrch rotačního tělesa
Analogicky jako objem vypočteme i povrch pláště rotačního tělesa.
Pokud vznikne těleso rotací grafu funkce f kolem osy x v intervalu
[a, b], vzniká při přírůstku x nárůst plochy, jehož velikost je rovna
součinu s délky křivky zadané grafem funkce f a velikosti
kružnice o poloměru f (x). Plocha se proto spočte formulí
S(f ) = 2
b
a
f (x) ds = 2
b
a
f (x) 1 + (f (x))2 dx,
kde ds = dx2 + dy2 je dán přírůstkem délky křivky y = f (x).
Věta (obsah pláště rotačního tělesa)
Nechť f (x) je nezáporná funkce se spojitou derivací f (x) na
intervalu [a, b]. Obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne grafu
f na intervalu [a, b] kolem osy x, je
S = 2
b
a
f (x) 1 + [f (x)]2 dx.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Příklad
Určete povrch jednotkové koule.
Riemannův integrál Vlastnosti určitého integrálu Integrál jako funkce horní meze Aplikace určitého integrálu
Příklad
Určete povrch jednotkové koule.
Řešení
Povrch určíme jako dvojnásobek povrchu polokoule, přičemž
polokoule vznikne rotací funkce f (x) =

r2 - x2 kolem osy x na
intervalu [0, 1]. Protože platí f (x) = -x
r2-x2
, je tedy
S = 2 . 2 
r
0
r2 - x2 1 +
-x

r2 - x2
2
dx =
= 4
r
0
r2 - x2
(r2 - x2) + x2
r2 - x2
dx
= 4
r
0
r dx = 4 rx
r
0
= 4r2
.