Matematika 2 A
6. ledna 2009 (UČO: )
Hodnocení:
Bonus 1. 2. 3. 4. 5. 6.
0
Potřebné minimum (včetně bonusu) je 15 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
1. (4 body) Uvedťe integrální kritérium pro určení konvergence (resp. divergence) číselné řady
s nezápornými členy. S využitím tohoto kritéria určete všechny hodnoty parametru a  R,
pro něž řada 
n=1 na
konverguje. Své tvrzení zdůvodněte.
Řešení: viz s.103 ve skriptech doc. Hilschera (Věta 43 a Příklad 140), řada konverguje pro
a < -1.
2. (3 body) Vypočtěte
lim
n
n
n

n!
.
(Pomoci může Stirlingova aproximace ­ mj. v cheatu ­ , z níž plyne limn
n!
2n(n/e)n = 1).
Řešení: Snadnou úpravou z uvedeného vztahu s využitím toho, že n

n  1, vyjde limita
rovná e.
3. (7 bodů) Přesýpací hodiny mají tvar tělesa vzniklého rotací arcussinusoidy kolem osy y. Jejich
horní část je z poloviny objemu plná písku, který se sype dolů rychlostí 1 cm3
za 10 s. Kolik
času zbývá do jeho úplného přesypání?
(Nápověda: Použijte inverzní funkci.)
Řešení: Funkce arcsin je definována na intervalu -1, 1 a nabývá zde všech hodnot z -
2
, 
2
.
Rotací kolem osy y dostaneme stejné těleso jako rotací grafu funkce sin kolem osy x (přesněji
části grafu pro x  -
2
, 
2
. Objem hodin je pak roven V = 

2
-
2
sin2
(x) dx = 2
2
(je rovněž
možné počítat jako dvojnásobek objemu poloviny tělesa pro x od 0 do 
2
, intergrál se snadno
spočítá pomocí vyjádření 1 - 2 sin2
(x) = cos(2x)). Výsledek příkladu pak je 52
4
.
4. (7 bodů) Vyšetřete průběh funkce f(x) = arctg x
2-x
. Tj. určete:
(a) Definiční obor. Řešení: R \ {2}
(b) Sudost, lichost, periodičnost. Řešení: nic z toho
(c) Body nespojitosti a jejich druh. Řešení: x=2, jde o skok (limita zleva je 
2
, zprava -
2
).
(d) Nulové body. Řešení: [0, 0]
(e) Kladnost, zápornost. Řešení: Kladné pro x  (0, 2).
(f) Intervaly monotonie, lokální extrémy a jejich typ, obor hodnot.
Řešení: f (x) = 1
x2-2x+2
, stacionární body žádné, funkce roste v každém bodě definičního
oboru. Oborem hodnot je (-
2
, 
2
) \ {-
4
} (-
4
je pouze limitou funkce v ).
(g) Konvexnost, konkávnost, inflexní body.
Řešení: f (x) = 2(1-x)
(x2-2x+2)2 , je tedy f konvexní pro x < 1, konkávní pro x > 1, 1 je
inflexní bod.
(h) Asymptoty (se směrnicí i bez směrnice).
Řešení: Bez směrnice nejsou, se směrnicí je asymptota jediná y = -
4
(limx
f(x)
x
=
ohr.

= 0).
(i) Načrtněte graf.
Řešení: Viz např. http://user.mendelu.cz/~marik/maw/index.php?lang=cs&form=
prubeh
5. (6 bodů) Najděte obecné řešení lineární diferenciální rovnice
y +
y
x
=

x.
Řešení: Např. pomocí vynásobení integračním faktorem (x) = e
R
1/x dx
= x, odkud yx =
x
3
2 dx a y = 2
5
x
3
2 + C
x
.
6. (3 body) Určete
(a) inf N = inf {1, 2, 3, . . . , }. Řešení: 1
(b) sup -1
n
; n  N \ {1} . Řešení: 0
(c) Taylorův polynom 3. stupně funce sin(cos x) se středem v x0 = 0 .
Řešení: sin 1 - cos 1x2
2!