Matematika 2 A
21. ledna 2009 (UČO: )
Hodnocení:
Bonus 1. 2. 3. 4. 5. 6.
0
Potřebné minimum (včetně bonusu) je 15 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
1. (7 bodů) Vyšetřete průběh funkce f(x) = ln cos x. Tj. určete:
(a) Definiční obor.
(b) Sudost, lichost, periodičnost.
(c) Body nespojitosti a jejich druh.
(d) Nulové body.
(e) Kladnost, zápornost.
(f) Intervaly monotonie, lokální extrémy a jejich typ, obor hodnot.
(g) Konvexnost, konkávnost, inflexní body.
(h) Asymptoty (se směrnicí i bez směrnice).
(i) Načrtněte graf.
2. (7 bodů) Určete délku křivky zadané na intervalu t  [ 4

3, 4

8] parametricky předpisem
x = ln t
y =
t2
2
3. (6 bodů) Mezi pravoúhlými trojúhelníky s délkami odvěsen a, b a přepony c, splňujícími
a + c = K, kde K je daná konstanta, určete ten s největším obsahem a charakterizujte jej
pomocí velikosti vnitřních úhlů. Nezapomeňte na zdůvodnění maximality.
4. (6 bodů) Podrobně (tj. nestačí výsledek opsat z cheatu, a to ani v dílčím případě) vypočtěte
následující integrály:
(a)
1
0
ln x dx,
(b)

2
dx
x2+x-2
.
5. (4 body) Pro funkci f(x) = -x2
+ 3x + 7 na intervalu [0, 5] vypočtěte:
(a) horní a dolní součet pro dělicí body {2, 3, 4} ,
(b) Riemannův integrál.
Matematika 2 B
21. ledna 2009 (UČO: )
Hodnocení:
Bonus 1. 2. 3. 4. 5. 6.
0
Potřebné minimum (včetně bonusu) je 15 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
1. (5 bodů) Řešte diferenciální rovnici
y = xe-x2
- 2xy
(nezapomínejte na konstanty).
2. (6 bodů)
(a) Vypočtěte
lim
n
1 + 1
n
n2
en
.
(b) Určete obor konvergence mocninné řady

n=1
1 +
1
n
n2
xn
(včetně chování v hraničních bodech).
3. (7 bodů) Vyšetřete průběh funkce f(x) = x-2
x2+1
. Tj. určete:
(a) Definiční obor.
(b) Sudost, lichost, periodičnost.
(c) Body nespojitosti a jejich druh.
(d) Nulové body.
(e) Kladnost, zápornost.
(f) Intervaly monotonie, lokální extrémy a jejich typ, obor hodnot.
(g) Konvexnost, konkávnost, inflexní body.
(h) Asymptoty (se směrnicí i bez směrnice).
(i) Načrtněte graf.
4. (6 bodů) Vypočtěte objem těles, která jsou ohraničena plochami, vzniklými rotací křivek
y = 2x - x2
a y = 0:
(a) kolem osy x,
(b) kolem osy y.
5. (6 bodů) Do elipsy s rovnicí x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0 jsou délky poloos) vepište obdélník,
jehož strany jsou rovnoběžné s osami elipsy a který má maximální obsah (nezapomeňte na
zdůvodnění maximality).