Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
MB102 ­ 2. demonstrovaná cvičení
Motivační příklady
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
22.9. 2008
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Plán přednáky
1 Domácí úlohy z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 1. Napište parametrické i neparametrické rovnice tečny
ps(t) křivky (spirály) c(s) = (cos(s), s, sin(s)) pro pevnou hodnotu
parametru s. Rovnice dále uvažte jako zobrazení  : R2  R3,
(s, t)  ps(t) a spočtěte parciální derivace tohoto zobrazení.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 1. Napište parametrické i neparametrické rovnice tečny
ps(t) křivky (spirály) c(s) = (cos(s), s, sin(s)) pro pevnou hodnotu
parametru s. Rovnice dále uvažte jako zobrazení  : R2  R3,
(s, t)  ps(t) a spočtěte parciální derivace tohoto zobrazení.
Parametrické rovnice:
x = cos(s) - t sin(s)
y = s + t
z = sin(s) + t cos(s)
Neparametrické rovnice:
x + sin(s)y = cos(s) + s sin(s)
y - t cos(s) = sin(s) - t cos(s)
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Parciální derivace zobrazení :
(s, t)
s
= (- sin(s) - t cos(s), t, cos(s) - t sin(s)
(s, t)
t
= (- sin(s), 1, cos(s))
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Určete, zda tečná rovina ke grafu funkce
f : R × R+  R, f (x, y) = x  ln(y) v bodě [1, 1
e ] prochází bodem
(1, 2, 3)  R3.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Určete, zda tečná rovina ke grafu funkce
f : R × R+  R, f (x, y) = x  ln(y) v bodě [1, 1
e ] prochází bodem
(1, 2, 3)  R3.
Řešení. Určíme nejdříve parciální derivace: f (x,y)
x = ln(y),
f (x,y)
y = x
y , jejich hodnoty v bodě (1, 1
e ) jsou -1, e, dále
f (1, 1
e ) = -1. Rovnice tečné roviny je tedy
z = f 1,
1
e
+
f (x, y)
x
1,
1
e
(x + 1) +
f (x, y)
y
1,
1
e
y -
1
e
= -1 - x + ey.
Této rovnici daný bod nevyhovuje, v tečné rovnině tedy neleží. 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Zintegrujte vektorový integrál
2
0 c(t) dt, kde
c(t) = (cos(t), sin(t)).
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Zintegrujte vektorový integrál
2
0 c(t) dt, kde
c(t) = (cos(t), sin(t)).
Řešení. (0, 0) 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Plán přednáky
1 Domácí úlohy z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 1. Určete Taylorův polynom druhého řádu funkce ln(x2y) v
bodě [1, 1].
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Sylvestrovo kriterium positivní definitnosti.
Symetrická čtvercová matice nad R je positivně (semi)definitní,
jestliže jsou všechny její vedoucí hlavní minory kladné (nezáporné).
Důsledek. Symetrická čtvercová matice nad R je negativně
(semi)definitní, jestliže její vedoucí hlavní minory střídají znaménka
(případně jsou nulové), počínaje znaménkem mínus.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Určete extrémy funkce f : R2  R, x2y - xy - x
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Určete extrémy funkce f : R2  R, x2y - xy - x
Řešení. fx = 2xy - y - 1, fy = x2 - x, Hf =
2y 2x - 1
2x - 1 0
.
Stacionární body (0, -1), (1, 1), v obou je Hessián indefinitní, tedy
funkce extrémy nemá. 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3 . V rovině x + 2y + z = 1 v R3 určete bod, který má
nejmenší vzdálenost od bodu (1, 1, 1).