Jméno a příjmení:
Příklad číslo: 1 2 3
Počet bodů:
Skupina A
Příklad 1. Určete obecné řešení rovnice
y + 3y + 2y = e-2x
.
Řešení. Nejprve vyřešíme zhomogenizovanou rovnici
y + 3y + 2y = 0.
Její charakteristický polynom je
x2
+ 3x + 2 = (x + 1)(x + 2),
s kořeny x1 = -1 a x2 = -2. Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tedy
c1e-x
+ c2e-2x
,
kde c1, c2 jsou libovolné reálné konstanty.
Nyní metodou neurčitých koeficientů nalezneme (nějaké) partikulární řešení původní nehomogenní rovnice.
Podle tvaru nehomogenity a protože -2 je kořenem charakteristického polynomu dané rovnice hledáme
řešení ve tvaru y0 = axe-2x
, kde a  R.
Dosazením do původní rovnice obdržíme
a[-4e-2x
+ 4xe-2x
+ 3(e-2x
- 2xe-2x
) + 2xe-2x
] = e-2x
,
odkud a = -1. Partikulárním řešením dané rovnice je tedy funkce -xe-2x
, obecným řešením potom prostor
funkcí c1e-x
+ c2e-2x
- xe-2x
, c1, c2  R. 2
Příklad 2. Určete počet podgrafů grafu K5.
Řešení. Počet podgrafů spočítáme postupně podle počtu v jejich vrcholů:
* v = 0. Jde o prázdný graf. Ten je pouze jediný.
* v = 1. Jeden vrchol můžeme vybrat pěti způsoby, celkem 5 grafů.
* v = 2. Dva vrcholy můžeme vybrat 5
2 způsoby, mezi vybranými vrcholy pak buď vede nebo nevede
hrana. Celkem 5
2 2 grafů.
* v = 3. Tři vrcholy můžeme vybrat 5
3 způsoby, mezi každými dvěma vybranými vrcholy buď vede,
nebo nevede hrana, celkem 5
3  2(3
2) grafů.
* v = 4. 5
4  2(4
2) grafů.
* v = 5. 5
5  2(5
2) grafů.
1
Celkem 1550 podgrafů grafu K5. 2
Příklad 3. Označme vrcholy v grafu K6 postupně čísly 1, 2, . . . 6 a každou hranu {i, j} ohodnoťme číslem
[(i + j) mod 3] + 1. Kolik existuje různých minimálních koster v tomto grafu?
Řešení. Hrany s ohodnocením jedna tvoří kružnici 12451 délky čtyři a hranu 36. Jde tedy o nesouvislý
podgraf daného grafu. Není tedy možné vybrat kostru daného grafu pouze z hran s ohodnocením jedna.
Minimální kostra bude mít tedy součet ohodnocení hran v ní minimálně 41+2 = 6. Kostru s touto hodnotou
skutečně můžeme vybrat. Z hran s ohodnocením 1 můžeme vypustit libovolnou hranu ze zmiňované kružnice
a nezávisle přidáme nějakou hranu s ohodnocením dvě, která spojuje v podgrafu hran s ohodnocením jedna
komponentu 1245 s komponentou 36. Takové hrany jsou celkem čtyři. Celkem má daný graf 44 = 16 různých
minimálních koster. 2
2