Jméno a příjmení:
Příklad číslo: 1 2 3
Počet bodů:
Skupina B
Příklad 1. Určete obecné řešení rovnice
y + y = 1.
Řešení. Charakteristický polynom dané rovnice je x2
+ x s kořeny 0 a -1, obecné řešení zhomogenizované
rovnice je tedy c1 + c2e-x
, kde c1, c2  R.
Partikulární řešení hledáme ve tvaru ax, a  R. Po dosazení do původní rovnice dostáváme a = 1. Obecné
řešení dané nehomogenní rovnice je c1 + c2e-x
+ x, c1, c2  R. 2
Příklad 2. Určete počet kružnic v grafu K5.
Řešení. Počet kružnic spočítáme postupně podle jejich délky. Nejkratší kružnice může mít délku 3, nejdelší
kružnice v K5 pak délku pět. Kružnice je určena svými vrcholy, tak jak v ní jdou popořadě, přičemž je jedno,
který vrchol prohlásíme za počáteční a který za koncový. Počet kružnic je tedy 5  4  3/3  2 + 5  4  3  2/4 
2 + 5!/5  2 = 10 + 15 + 12 = 37. 2
Příklad 3. Označme vrcholy v grafu K6 postupně čísly 1, 2, . . . 6 a každou hranu {i, j} ohodnoťme číslem
[(i + j) mod 3] + 1. Kolik existuje různých minimálních koster v tomto grafu?
Řešení. Hrany s ohodnocením jedna tvoří kružnici 12451 délky čtyři a hranu 36. Jde tedy o nesouvislý
podgraf daného grafu. Není tedy možné vybrat kostru daného grafu pouze z hran s ohodnocením jedna.
Minimální kostra bude mít tedy součet ohodnocení hran v ní minimálně 41+2 = 6. Kostru s touto hodnotou
skutečně můžeme vybrat. Z hran s ohodnocením 1 můžeme vypustit libovolnou hranu ze zmiňované kružnice
a nezávisle přidáme nějakou hranu s ohodnocením dvě, která spojuje v podgrafu hran s ohodnocením jedna
komponentu 1245 s komponentou 36. Takové hrany jsou celkem čtyři. Celkem má daný graf 44 = 16 různých
minimálních koster. 2
1