Jméno a příjmení:
Příklad číslo: 1 2 3
Počet bodů:
Skupina C
Příklad 1. Určete obecné řešení rovnice
y + 5y + 6y = e-2x
.
Řešení. Charakteristický polynom rovnice je x2
+5x+6 = (x+2)(x+3), jeho kořeny jsou -2 a -3, obecné
řešení zhomogenizované rovnice je tedy c1e-2x
+ c2e-3x
, c1, c2  R. Partikulární řešení hledáme metodou
neurčitých koeficientů ve tvaru axe-2x
, a  R (-2 je kořenem charakteristického polynomu). Dosazením do
původní rovnice získáme a = 1. Obecné řešení dané rovnice je tedy c1e-2x
+ c2e-3x
+ xe-2x
. 2
Příklad 2. Kolik minimálně hran může mít šestistěn?
Řešení. V libovolném mnohostěnu je každá stěna ohraničena minimálně třemi hranami. Každá hrana pak
leží ve dvou stěnách. Označíme-li s počet stěn a h počet hran mnohostěnu dostáváme tak odhad 3s  2h. Pro
šestistěn dává tento odhad 18  2h, neboli h  9. Šestistěn s devíti hranami skutečně existuje, dostaneme
jej například ,,slepením dvou stejně velikých pravidelných čtyřstěnů stěnou k sobě. Minimální možný počet
hran šestistěnu je tedy devět. 2
Příklad 3. Označme vrcholy v grafu K7 postupně čísly 1, 2, . . . 7 a každou hranu {i, j}, ohodnoťme číslem
[(i + j) mod 3] + 1. Kolik existuje různých minimálních koster v tomto grafu?
Řešení. Nejlevnější hrany s ohodnocením jedna tvoří podgraf obshahující všechny vrcholy a mající dvě komponenty,
které mohou být propojeny nějakou hranou s druhým nejmenším ohodnocením. Minimální kostra
má tedy součet ohodnocení jejch hran minimálně 6 × 1 + 2 = 8. Kostry s touto hodnotou skutečně existují,
je totiž šest hran hodnoty 2, které propojují zmiňované dvě komponenty. Konkrétně jde o komponentu
{1, 2, 4, 5, 7} a {3, 6}. V první komponentě existují právě tři kružnice a to délky 4, přičemž každá ze šesti
hran této komponenty leží právě ve dvou kružnicích. Abychom z dané komponenty získali strom, musíme
dvě hrany vypustit, to můžeme udělat 6  4/2 způsoby. Celkem dostáváme 12  6 = 72 různých minimálních
koster. 2
1