Jméno a příjmení:
Absence Příklad číslo: 1 2 3 4
Počet bodů:
Příklad 1. Rozhodněte, zda funkce f : R3
 R, f(x, y, z) = y2
z nabývá extrémů na úsečce dané rovnicemi 2x + y + z = 1,
x - y + 2z = 0 a omezením x  -1, 2 . Pokud ano, tak tyto extrémy nalezněte a určete o jaké extrémy se jedná.
Všechna svoje rozhodnutí zdůvodněte.
Řešení. Hledáme extrémy spojité funkce na kompaktní množině, funkce tedy bude nabývat na dané množině jak
svého minima tak maxima a to buď v bodech, kde je gradient zkoumané funkce lineární kombinací gradientů funkcí
zadávající vazební podmínky, nebo v krajních bodech úsečky. Najděme body splňující podmínku s gradienty:
0 = 2k + l
2yz = k - l
y2
= k + 2l
2x + y + z = 1
x - y + 2z = 0,
která má řešení (x, y, z) = (2
3 , 0, -1
3 ) a (x, y, z) = (4
9 , 2
9 , -1
9 ) (proměnné k a l můžeme samozřejmě dopočítat také, ale
nezajímají nás). Krajní body dané úsečky jsou (-1, 5
3 , 4
3 ) a (2, -4
3 , -5
3 ). Z těchto čtyř bodů nabývá funkce největší
hodnoty v prvním z krajních bodů (f(x, y, z) = 100
27 ), tam tedy nabývá maxima na dané úsečce a nejmenší hodnoty v
druhém z krajních bodů (f(x, y, z) = -80
27 ), tam tedy nabývá svého minima na dané úsečce. 2
Příklad 2. Určete těžiště části elipsy 3x2
+ 2y2
= 1 ležící v prvním kvadrantu roviny R2
.
Řešení. Spočítejme nejprve obsah dané elipsy. Transformací souřadnic x = 1
3
x , y = 1
2
y s Jakobiánem 1
6
dosta-
neme
S =
1
3
0
q
1-3x2
2
0
dy dx =
1

6
1
0

1-x2
0
dy dx =

4

6
.
Další potřebné integrály můžeme spočítat přímo v kartézkých souřadnicích x a y:
Tx =
1
3
0
q
1-3x2
2
0
x dy dx =
1
3
0
x
1 - 3x2
2
dx =
=
1
2
1
3
0
1 - 3t
2
dt =

2
18
.
Ty =
1
3
0
q
1-3x2
2
0
y dy dx =
1
2
1
3
0
1 - 3x2
2
dx =
=
1
4
1
3
0
(1 - 3x2
) dx =

3
18
.
Souřadnice těžiště jsou potom [4

3
9 , 2

2
 ]. 2
Příklad 3. Metodou hledání maximálního toku v síti (kterou získáte z daného bipartitního grafu přidáním jistých
dvou vrcholů a orientací hran, jak jistě víte) nalezněte maximální párování následujícího bipartitního grafu:
A
B
C
D
E
F
G
T
U
V
W
X
Y
Z
Pro maximální tok určující Vámi nalezené maximální párování dále určete jemu odpovídající minimální řez v síti.
Řešení. Z daného bipartitního grafu vyrobíme síť přidáním zdroje Zd a stoku St, orientovaných hran (Zd, A), . . . , (Zd, G),
(T, St), . . . , (Z, St), stávající hrany orientujeme ,,abecedně od nižšího písmena k vyššímu, všem hranám pak přiřadíme
kapacitu 1. Ford-Fulkersonovým algoritmem pak snadno nalezneme některý maximální tok a jemu odpovídající max.
párování. Jeden z možných maximálních toků je vyznačen na následujícím obrázku (červené hrany znázorňují tok o
velikosti 1 danou hranou zleva do prava):
A
B
C
G
T
U
V
W
X
Y
Z
Zd
E
D
F
St
Odpovídající maximální párování (A, W), (B, Z), (C, T), (D, V ), (F, X), (G, Y ). Modře jsou v obrázku vyznačeny
vrcholy, do nichž existuje rezervní cesta, minimální řez je pak tvořen hranami jdoucích z modrých vrcholů do černých
vrcholů, tedy hranami (Zd, A), (Zd, B),(Zd, C),(V, St),(X, St),(Y, St). 2
Příklad 4. Určete jedinou funkci y vyhovující lineární diferenciální rovnici
y(3)
- 3y - 2y = 2ex
,
s počátečními podmínkami y(0) = 0, y (0) = 0, y (0) = 0.
Řešení. Charakteristický polynom je x3
-3x-2 s kořeny 2 a dvojnásobným kořenem -1, partikulární řešení hledáme
ve tvaru aex
, a  R, snadno zjistíme že je jím funkce -1
2 ex
, obecné řešení dané rovnice je tedy
c1e2x
+ c2e-x
+ c3xe-x
-
1
2
ex
.
Dosazením do počátečních podmínek získáme jedninou funkci vyhovující zadání
2
9
e2x
+
5
18
e-x
+
1
3
xe-x
-
1
2
ex
.
2