Třetí demonstrovaná cvičení k MB103
Úlohy z domácí sady druhého týdne
Příklad 1. Určete stacionární body funkce
f : R2
 R, f(x, y) = x2
y + y2
x - xy
a rozhodněte, které z těchto bodů jsou lokální extrémy a jakého druhu.
Příklad 2. Napište Taylorův rozvoj druhého řádu funkce
f : R2
 R, f(x, y) = ln(x2
+ y2
+ 1)
v bodě [1, 1].
Příklad 3. Prozkoumejte stacionární body funkce
f(x, y) = xa
e-x2
-y2
pro a = 1, 2, 3. (Pokud Vám nestačí pro některý z bodů druhé derivace, ponechejte
nerozhodnuté, doporučujeme zkusit načrtnout graf funkce.)
1
2
Nové úlohy
Parciální derivace složených zobrazení se počítají obdobně jako u funkcí jedné
proměnné. Pouze je třeba si uvědomit, že derivace je lineární zobrazení dané maticí
parciálních derivací a lineární přiblížení složeného zobrazení je dáno jako složení
příslušných zobrazení, tj. vynásobením příslušných matic.
Úloha 1. Spočtěte parciální derivace podle proměnných x a y funkce g(x, y), která
je v polárních souřadnicích zadána vztahem g(r, , t) = sin(r-t), kde t je parametr.
(Funkci si můžete představit jako popis vlnění hladiny v čase t po pádu kamene v
počátku souřadnic v čase t = 0.)
V případě funkcí jedné proměnné f(x) se spojitou derivací existuje v okolí bodu
x0 funkce inverzní f-1
právě, když derivace f (x0) = 0. Pak je derivace (f-1
) (x0) =
(f (x0))-1
. Obdobně je tomu u zobrazení ­ inverze existuje právě, když je matice
parciálních derivací invertibilní a je zadána právě inverzní maticí.
Úloha 2. Spočtěte derivace obou směrů transformace mezi kartézskými a polárními
souřadnicemi v R2
.
Funkce a zobrazení lze zadávat implicitně. V nejjednodušším případě funkcí jedné
proměnné to znamená, že zadáme rovnost f(x, y) = 0 známou funkcí f dvou proměnných
a hledáme funkci y = g(x) takovou, že po dosazení platí f(x, g(y)) = 0.
Pokud existují spojité parciárlní derivace f, taková funkce g existuje v okolí bodu
(x0, y0) splňujícího rovnici f(x0, y0) = 0, jestliže v bodě (x0, y0) je parciální derivace
fy nenulová. Navíc pak je z vyjádření diferenciálu složené funkce f(x, g(x))
vidět, že potom
g (x) = fx(x,
g(x))
fy(x, g(x))
.
Úloha 3. Ukažte, že funkce f : R2
 R, f(x, y) = ex
sin(y) + ey
sin(x) definuje
předpisem f(x, y) = 1 pro (x, y)  0, /2 × 0, /2 implicitne proměnnou y jako
funkci proměnné x, y = g(x). Určete g (x).
Obdobně postupujeme, pokud máme více proměnných a případně více podmínek.
Pro m + n proměnných a n podmínek (tj. místo reálné funkce f máme zobrazení
F do Rn
, tj. n funkcí), děje se totéž, jen opět místo hodnot parciálních derivací
pracujeme s vektory a maticemi.
Úloha 5. Určete funkci z = z(x, y) splňující rovnici
F(x, y, z) = sin xy + sin yz + sin xz = 1
a spočtěte její parciální derivace v bodě (x, y, z) = ( /2, /2, 0).
Často je třeba hledat extrémy funkčních hodnot pouze na podmnožinách zadaných
podmínkami F(x, ..., z) = 0. Teoreticky bychom mohli využít nástrojů na
hledání stacionárních bodů funkcí po vyjádření některých z proměnných jako implicitně
zadané funkce. To ale není praktické. Místo toho je možné spočíst stacionární
body přímo pomocí tzv. Lagrangeových multiplikátorů. Jde o to, že pro funkci
F(x, y, .., z) je její gradient, tj. vektor parciálních derivací právě směr, ve kterém
funkce nejrychleji roste. Ve směrech nadroviny kolmé ke gradientu je proto stacionární.
Potenciální body extrému jsou tedy ty, v nichž gradient funkce, jejíž extrémy
hledáme, je kolmý na plochu zadanou podmínkami, tj. lze jej vyjádřit pomocí gradientů
F.
Úloha 6. Najděte absolutní extrémy funkce f(x, y) = x - 2y na podmnožině dané
F(x, y) = y - x3
- 2x = 1 pro x  0, 5 .
Úloha 7. Ptačí budka má spodní dno o ploše 10 jednotek a je uzavřená ze tří stran
(v každém případě je uzavřená shora). Jaký bude poměr stran dna, aby byl povrch
(tj. množství použitého materiálu) co nejmenší?