Pátá demonstrovaná cvičení k MB103
Úlohy z domácí sady čtvrtého týdne
Příklad 1. Určete povrch části válce x2
+ z2
= 16, který leží
uvnitř válce x2
+ y2
= 16.
Příklad 2. Spočtěte objem části prostoru vyymezeného třemi
souřadnicovými rovinami x = 0, y = 0, z = 0 a rovinou x/a +
y/b + z/c = 1.
Příklad 3. Určete objem a souřadnice těžiště kužele o kruhové
podstavě s poloměrem r a výšce h.
1
2
Nové úlohy
Příklad 1. Vyrešte diferenciální rovnici pro funkci y = y(x)
dy
dx
=
1 + y2
1 + x2
.
Příklad 2. Čistička vody o objemu 2000 m3
byla znečištěna olovem,
které se nachází ve vodě v ní v množství 10 g/m3
. Do čističky
přitéká čistá voda rychlostí 2 m3
/s a stejnou rychlostí i vytéká.
Za jak dlouho poklesne obsah olova ve vode v čisticče pod
10 g/m3, předpokládáme-li, že voda je neustále rovnomerně promíchávána?
(vyjádřete úbytek hmotnosti olova dm v nádrži za
infinitezimální (nekonečně malý) čas dt a tak sestavte příslušnou
diferenciální rovnici, kterou je třeba řešit.)
Příklad 3. Rychlost, kterou se rozpadá daný izotop daného prvku,
je přímo úměrná množství daného izotopu. Poločas rozpadu izotopu
Plutonia, 239
Pu, je 24 100 let. Za jak dlouho ubude setina z nukleární
pumy, jejíž aktivní složkou je zmiňovaný izotop?