Šestá demonstrovaná cvičení k MB103
Úlohy z domácí sady pátého týdne
Příklad 1. Vyřešte rovnici
y =
1 + y3
xy2(1 + x2)
.
Příklad 2. Vyřešte rovnici
y =
cos2
y
sin2
x
.
Příklad 3. Rychlost změny teploty tělesa je přímo úměrná rozdílu
teploty tělesa a prostředí, které jej obklopuje. Uvařili jsme šálek
zeleného čaje o teplotě 80
C. Teplota čaje klesla v místnosti o
teplotě 20
C za pět minut na 60
C. Za jak dlouho klesne teplota
čaje na 40
C?
1
2
Nové úlohy
Příklad 1. Na těleso připevněné silnou pružinou k pevnému bodu
O působí v bodě y(t) síla úměrná vzdálenosti těžiště od O. Popište
pohyb tělesa (o kterém přepokládáme, že se pohybuje pouze podél
pevné přímky).
Příklad 2. Předpokládejte, že materiálové vlastnosti pružiny v
předchozím příkladě navíc brzdí pohyb přimo úměrně jeho rychlosti.
Popište nyní opět pohyb tělesa.
Příklad 3. Spočtěte všechna řešení rovnice
y (x) - 2y (x) + y(x) = ex
.
Najděte také to řešení, které splňuje y(0) = 0 a y (0) = 1. Můžme
také chtít předepsat hodnotu ve dvou různých bodech x?
Příklad 4. Předpokládejme, že v populaci dvou soupeřících druhů
je přírůstek jedné přímo úměrný stavu druhé populace a stejně
tak úbytek druhé populace je úměrný stavu první. Jak se budou
vyvíjet počty v obou populacích?