IBOOO Úvod do informatiky -- príklady na procvičení
Sada 1 -- Zadání
Téma
Základní důkazové techniky. Přímý důkaz, důkaz obměnou, důkaz sporem. Protipříklad.
Matematická indukce.
Příklad 1.
Dokažte následující tvrzení. Používejte matematické zápisy.
a) Součet dvou sudých čísel je sudé číslo.
b) Součet dvou lichých čísel je sudé číslo.
c) Je-li x2
sudé číslo, potom i x je sudé číslo. (Vizte větu 6 z přednášky.)
Příklad 2.
Rozhodněte, zda platí následující tvrzení a jejich platnost dokažte nebo vyvraťte.
a) Pro každé přirozené číslo n platí, že (n + l)3
+ (n -- l)3
je dělitelné dvěma.
b) Pro každé přirozené číslo n platí, že (n + l)3
+ (n -- l)3
je dělitelné třemi.
c) Každé přirozené číslo je dělitelné dvěma různými přirozenými čísly.
Příklad 3.
Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n, 0 < n platí:
n / n
\
i=0 \i=0 /
Příklad 4.
Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n, 0 < n je J^"=1(2i -- 1) druhou mocninou
přirozeného čísla.
Příklad 5.
Matematickou indukcí dokažte tvrzení (je to zobecněná trojúhelníková nerovnost):
Pro všechna kladná přirozená čísla n platí
n n
i=i i=i
kde xi,... ,xn jsou libovolná reálná čísla.