Náhodnost
IBllO
1/8
Alternatívne spôsoby počítania
Motivácia
existencia veľkej triedy prakticky neriešiteľných (a/e rozhodnutelných) problémov, ktoré potrebujeme prakticky riešiť!
Idea
relaxovať požiadavky, ktoré kladieme na výpočty
•  náhodnostné algoritmy
•  aproximatívne algoritmy
pomôže to 111
Náhodnostné algoritmy
náhodnostný protokol pre večerajúcich filozofov
3/8
Náhodnostné algoritmy
Porovnávanie reťazcov
Na počítačoch A a B sú uložené databázy x a y; nech x a y sú binárne reťazce dĺžky n. Úlohou je rozhodnúť, či x a y sú zhodné. Zaujíma nás, koľko bitov si musia počítače A a B vymeniť, aby dokázali vyriešiť problém rovnosti.
Dá sa dokázať, že neexistuje deterministický komunikačný protokol, ktorý by riešil problém rovnosti a pritom si A a B vymenili nanajvýš n — 1 bitov. T.j. protokol, v ktorom A pošle celý reťazec x počítaču B je optimálny.
4/8
I    Náhodnostné algoritmy
Porovnávanie retazcov
Randomizovany protokol pre problém rovnosti
Vstup   x = xix2 ...xn,y = yiy2 ...yn
Krok 1 A vyberie náhodne prvočíslo p z intervalu [2, n2].
Krok 2 A vypočíta číslo s = x  mod p a pošle čísla s, p počítaču B.
Kro/c 3 B vypočíta číslo q = y   mod p.
Ak q t^ s, tak B vráti odpoveď x^y. Ak q = s, tak B vráti odpoveď x = y.
počet bitov, ktoré si počítače pošlú je 2 • |~log2 n2] < 4 • |~log2 n]
t                                                                                                                                                           t                           I        2
pravděpodobnost, že protokol vráti nesprávnu odpoved je < JL^-
Ak n = 1016, tak zložitosi: deterministického protokolu je 1016, zatiaľ čo zložitosi randomizovaného protokolu je 256.
Pravdepodobnosi, že randomizovany protokol vráti nesprávnu odopoved' je < 0.36892 • 10"14.
5/8
Náhodnostné algoritmy
Randomizovaný Quicksort
Rand-Quicksort(A)
Vstup   zoznam prvkov A
Krok 1   ak A má jeden prvok, je utriedený
ak A má viac prvkov, tak náhodne vyber prvok x z A
Krok 2   vytvor zoznam A< obsahujúci prvky z A menšie než x vytvor zoznam A> obsahujúci prvky z A väčšie než x
Krok 3   výstup je Rand-QuicksortfA,^), x, Rand-QuicksortfAy) očakávaná zložitosť algoritmu je ö(N\ogN)
6/8
Náhodnostné algoritmy
Typy náhodnostných algoritmov
Monte Carlo s ohraničenou pravdepodobnosťou je odpoveď nesprávna príklad: randomizovaný protokol pre problém rovnosti
Las Vegas odpoveď je vždy správna;
ciel': očakávaná zložitosť Las Vegas algoritmu pre problém je lepšia než zložitosť (deterministického) algorimtu príklad: randomizovaný Quicksort
7/8
I    Náhodnostné algoritmy
Náhodnostné zložitostné triedy
Pravdepodobnostný Turingov stroj
pracuje ako nedeterministický TS s tým rozdielom, že nedeterministický výber kroku výpočtu interpretujeme ako náhodnostnú volbu
Trieda RP
obsahuje rozhodovacie problémy, pre ktoré existuje polynomiálně časovo
ohraničený pravdepodobnostný Turingov stroj s vlastnosťou:
ak odpoveďou pre vstup X je "Nie", tak s pravdepodobnosťou 1 stroj dá
správnu odpoveď
ak odpoveďou je "Áno", tak stroj s pravdepodobnosťou > 1/2 dá yes.
P C RP C NP
náhodnostné algoritmy nemôžu efektívne riešit problémy mimo NP; problémy z N P ale dokážu (často) riešit s väčšou efektivitou
8/8