11
3. MATICE, OPERACE S MATICEMI
Definujme nejprve základní operace s maticemi.
Sčítání matic: Nechť A = (aij) a B = (bij) jsou matice typu m × n. Pak A + B =
(aij) + (bij) je matice typu m × n pro i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.
Násobení matic skalárem: Nechť A = (aij) je matice typu m × n, a  R je skalár. Pak
a  A = (a  aij) je matice typu m × n pro i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.
Násobení matic: Nechť A = (aij) je matice typu m × n, B = (bjk) je matice typu
n × p. Pak AB = C = (cik) je matice typu m × p a cik = n
j=1 aijbjk pro i = 1, ..., m, j =
1, ..., n, k = 1, ..., p.
Transponování matic: Nechť A = (aij) je matice typu m × n. Pak AT
= (aji) je matice
typu n × m pro i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.
Stopa matice, ozn. Tr(A), je součet prvků matice na hlavní diagomále. Tr(A) je definována
pouze pro čtvercové matice.
Příklad: Mějme matice
A =


2 1
0 3
1 0

, B =
2 0 1 4
3 1 -1 -1
, C =


3
2
-1

, D =
1 -1
2 1
, E = 1 0 -2 ,
F =
1 0
0 -7
.
Vypočtěte matice 2D - 5F, A + 3C, CT
, AT
, 2C + 4ET
, AB, EC, CE, F2
- 3D. Dále
vypočtěte stopy matic A, ..., F.
Řešení:
2D - 5F = 2
1 -1
2 1
- 5
1 0
0 -7
=
2 -2
4 2
-
5 0
0 -35
=
-3 -2
4 37
Součet A + 3C není definován.
CT
= 3 2 -1 AT
=
2 0 1
1 3 0
2C + 4ET
= 2


3
2
-1

 + 4


1
0
-2

 =


6
4
-2

 +


4
0
-8

 =


10
4
-10


AB =


2 1
0 3
1 0

 2 0 1 4
3 1 -1 -1
=
=


2  2 + 1  3 2  0 + 1  1 2  1 + 1  -1 2  4 + 1  -1
0  2 + 3  3 0  0 + 3  1 0  1 + 3  (-1) 0  4 + 3  (-1)
1  2 + 0  3 1  0 + 0  1 1  1 + 0  (-1) 1  4 + 0  (-1)

 =


7 1 1 7
9 3 -3 -3
2 0 1 4


12
EC = 1 0 -2


3
2
-1

 = 1  3 + 0  2 + (-2)(-1) = (5)
CE =


3
2
-1

 1 0 -2 =


3  1 3  0 3  (-2)
2  1 2  0 2  (-2)
(-1)  1 (-1)  0 (-1)  (-2)

 =


3 0 -6
2 0 -4
-1 0 2


F2
- 3D =
1 0
0 -7
1 0
0 -7
- 3
1 -1
2 1
=
1 0
0 49
-
3 -3
6 3
=
-2 3
-6 46
Tr(D) = 2, Tr(F) = -6, pro ostatní matice není stopa definována.
Cvičení:
1. Uvažme matice nad Z
A =


1 0
2 1
-1 2

, B = -1 0 2 , C =
1 0 0 -1
0 2 0 5
, D =
1 1
1 2
, E =




1
-3
0
7



,
F =


1 2 0
-2 0 -3
0 3 5

, G =


1 0 0
0 1 -4
1 0 1

, H =
1 0
1 -7
, I = 1 0 -2 4 .
() Které matice můžeme násobit s A zleva a zprava?
() Spočtěte (pokud je definováno):
(a) EI
(b) IE
(c) D3
+ 4DH - H2
(d) G2
- 3F
(e) A - F
(f) A - GFA
(g) BACE - BFBT
2. Uvažme matice
A =


3 0
-1 2
1 1

, B =
4 -1
0 2
, C =
1 4 2
3 1 5
, D =


1 5 2
-1 0 1
3 2 4

, E =


6 1 3
-1 1 2
4 1 3

.
Spočtěte (je-li definováno):
(a) (4B)C + 2B
(b) 2AT
+ C
(c) DT
- ET
(d) (D - E)T
13
(e) DT
ET
- (ED)T
(f) (AB)C
(g) A(BC)
(h) Tr(D)
(i) Tr(D - 3E)
(j) 4Tr(7B)
(k) Tr(A)
(l) Tr(DDT
)
(m) CT
AT
+ 2ET
3. Mějme A a B blokové matice:
A =


A11 | A12
-- | --
A21 | A22

 B =


B11 | B12
-- | --
B21 | B22


Jejich součin lze vyjádřit: AB =


A11B11 + A12B21 | A11B12 + A12B22
- - - - - - -- | - - - - - - --
A21B11 + A22B21 | A21B12 + A22B22


za předpokladu, že bloky matic A a B mají vhodné rozměry. Tato metoda se nazývá
blokové násobení.
Vynásobte následující matice blokově a výsledek ověřte obyčejným maticovým náso-
bením:
(a) A =




-1 2 | 1 5
0 -3 | 4 2
-- -- | -- --
1 5 | 6 1



 B =






2 1 | 4
-3 5 | 2
-- -- | --
7 -1 | 5
0 3 | -3






(b) A =




-1 2 1 | 5
0 -3 4 | 2
-- -- -- | --
1 5 6 | 1



 B =






2 1 | 4
-3 5 | 2
-- -- | --
7 -1 | 5
0 3 | -3






(c) A =
3 -1 0 | -3
2 1 4 | 5
B =






2 -4 1
3 0 2
1 -3 5
-- -- --
2 1 4






14
4. Ukažte, že má-li A nulový řádek a B je matice taková, že AB je definován, pak AB
obsahuje také nulový řádek.
Taktéž ukažte, že má-li B nulový sloupec a AB je definován, pak i AB má nulový
sloupec.
5. Nechť E = (eij) je matice typu n × n splňující
eij =
1 pro i = j
0 pro i = j
Ukažte, že AE = EA = A pro libovolnou matici A typu n × n.
E se nazývá jednotková matice.
6. Najdětě matici A = (aij) typu 4 × 4 splňující následující podmínky:
(a) aij = i + j
(b) aij = ij-1
(c) aij =
1 pro |i - j| > 1
-1 pro |i - j|  1
7. Maticí A tvaru n × n takovou, že
(a) A22 = a, Aii = 1 pro všechna i = 2 a Aij = 0 pro i = j,
(b) A13 = A22 = A31 = Aii = 1 pro i  4 a Aij = 0 pro všechny ostatní dvojice ij,
(c) A13 = a, Aii = 1 pro všechna i a Aij = 0 pro všechny ostatní dvojice ij
vynásobte obecnou matici B = (Bij) tvaru n × m zleva a obecnou matici C = (Cij)
tvaru m × n zprava. Jak se výsledky násobení liší od matice B, resp. C?
8. Najděte matici A typu 2 × 2 takovou, že zobrazení
x
y
 A
x
y
, R2
 R2
, je
stejnolehlost se středem v
0
0
a koeficientem 3.
9. Najděte matici A typu 2 × 2 tak, aby A
x
y
=
3x - 2y
-x + y
.
10. Kolik existuje matic A typu 3 × 3 takových, že platí:
(a) A


x
y
z

 =


x + y
x - y
0


(b) A


x
y
z

 =


xy
0
0


15
11. Matice B se nazývá odmocninou matice A, jestliže platí BB = A.
(a) Najděte odmocninu matice A =
2 2
2 2
.
(b) Kolik existuje různých odmocnin matice A =
5 0
0 9
.
(c) Mají všechny matice typu 2 × 2 odmocninu? Vysvětlete.
12. Nechť O je nulová matice typu 2 × 2.
(a) Existují matice A typu 2 × 2 takové, že A = O a AA = O? Dokažte.
(b) Existují matice A typu 2 × 2 takové, že A = O a AA = A? Dokažte.
13. Ukažte, že násobení sloupcového vektoru v R2
maticí A =
cos  - sin 
sin  cos 
reprezentuje
otočení v rovině o úhel . Spočtěte A2
, A3
(obecně Ak
).
14. Nechť A =
1 1
1 2
. Dokažte, že An
=
a2n-1 a2n
a2n a2n+1
, kde {an} je Fibonacciho
posloupnost a a1 = 1, a2 = 1, an = an-1 + an-2.
15. Orientovaný graf G je tvořen množinou vrcholů V = {1, 2, ..., n} a množinou hran
H = {(i, j) : i, j  V }.
Matice grafu G je definována takto: aij = 1 právě, když (i, j)  H, aij = 0 právě,
když (i, j)  H.
Cesta délky k je tvořena posloupností čísel i1, i2, ..., ik, ik+1 takových, že (i1, i2), (i2, i3),
..., (ik, ik+1)  H.
Určete, jaký je vztah mezi A2
, A3
, ..., Ak
a cestami délky 2, 3, ..., k.