23
5. INVERZNÍ MATICE
Řekneme, že matice A  Matn(K) má inverzní matici, jetliže existuje matice B 
Matn(K) taková, že
AB = BA = E.
Ke každé matici existuje nejvýše jedna inverzní matice. Značíme ji A-1
. Matici, která má
matici inverzní, nazýváme regulární maticí.
Metoda výpočtu inverzní matice spočívá v použití EŘO. Nechť A je matice typu n×n.
Vytvoříme blokovou matici B tak, že zapíšeme A a jednotkovou matici E vedle sebe ­ A
nalevo, E napravo:
B =



a11    a1n | 1    0
...
...
... |
...
...
...
an1    ann | 0    1



Matici B upravujeme nejdříve na schodovitý tvar. Pokud je ve schodovitém tvaru v levém
bloku řádek ze samých nul, inverzní matice k A neexistuje. Pokud tento případ nenastane,
pokračujeme v řádkových úpravách tak, abychom v levém bloku dostali jednotkovou matici.
(Tento postup se nazývá zpětmá Gaussova eliminace.) V pravém bloku je potom A-1
.
Příklad: Najděte inverzní matici k matici A =


1 1 1
2 3 3
-1 -3 -2

.
Řešení: Vytvoříme blokovou matici tak, že A napíšeme nalevo, E napravo a upravujeme
pomocí EŘO na schodovitý tvar (přímou Gaussovou eliminací).


1 1 1 | 1 0 0
2 3 3 | 0 1 0
-1 -3 -2 | 0 0 1

 


1 1 1 | 1 0 0
0 1 1 | -2 1 0
0 -2 -1 | 1 0 1

 


1 1 1 | 1 0 0
0 1 1 | -2 1 0
0 0 1 | -3 2 1


Ze schodovitého tvaru vidíme, že A-1
existuje. Matici tedy dále upravujeme na redukovaný
schodovitý tvar (zpětnou Gaussovou eliminací).


1 1 0 | 4 -2 -1
0 1 0 | 1 -1 -1
0 0 1 | -3 2 1

 


1 0 0 | 3 -1 0
0 1 0 | 1 -1 -1
0 0 1 | -3 2 1


Tedy A-1
=


3 -1 0
1 -1 -1
-3 2 1


Správnost výpočtu ověříme vynásobením A s A-1
.
24
Příklad: Najděte inverzní matici k matici C =
i -2
1 i
.
Řešení: Napíšeme blokovou matici nalevo s maticí C, napravo s jednotkovou maticí
a upravujeme na redukovaný schodovitý tvar:
i -2 | 1 0
1 i | 0 1
První řádek vynásobíme -i, od druhého řádku odečteme nový první řádek.
1 2i | -i 0
0 -i | i 1
K prvnímu řádku přičteme dvojnásobek druhého řádku, druhý řádek vynásobíme i.
1 0 | i 2
0 1 | -1 i
Tedy C-1
=
i 2
-1 i
Cvičení:
1. Vypočtěte inverzní matice k daným maticím.
A =
8 5
11 7
, B =
1 3
1 4
, C =


1 2 3
0 1 2
0 0 1

, D =


1 -4 -3
1 -5 -3
-1 6 4

,
E =




1 1 1 1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1



, F =




3 3 -4 -3
0 6 1 1
5 4 2 1
2 3 3 2



, G =




1 4 -2 3
2 9 3 -2
-1 -6 -11 4
0 -1 -6 0



.
2. Mějme matice A =
3 1
5 2
, B =
2 -3
4 4
, C =
6 4
-2 -1
.
(a) Najděte jejich inverze.
(b) Ukažte, že
i. (A-1
)-1
= A
ii. (BT
)-1
= (B-1
)T
iii. (AB)-1
= B-1
A-1
iv. (ABC)-1
= C-1
B-1
A-1
25
3. Najděte inverzní matice k daným maticím.
K =
 
 
, L =
cos  - sin 
sin  cos 
, M =








2 - n 1    1 1
1 2 - n
... 1 1
...
...
...
...
...
1   
... 2 - n 1
1       1 2 - n








,
N =







1 1 0    0
0 1 1    0
...
...
...
...
...
0    0 1 1
0       0 1







.
4. Najděte inverzní matice k následujícím maticím v C.
A =
1 + i 1 - i
2 i
, B =
2 i
1 0
, C =
1 1 - i
2 - 3i 4
, D =
1 i
-i 3
,
E =
-i 2
0 1
.