1. Výpočet determinantu
5
1.8. Definice. Nechť A = (a^-) je čtvercová matice řádu n; nechť je zvoleno k jejích řádků a sloupců k < n & 1 < ii < Í2 < • • • < ik < n, 1 < ji < J2 < • • • < jk < n. Pak matice
M =
í
\
"n n
**2J1
"1-kJ-i
"nn
H2J2
"1-k]2
. a . a
njk
12] k
.. a
i-kjk
\
I
se nazývá submatice matice A určená řádky ii,... ,ik a sloupci ji,... ,jk- Její determinant
det M se nazývá minor řádu k matice A.
Zbývajícími (n — k) řádky a (n — k) sloupci je určena tzv. doplňková submatice M k sub-
matici M a její determinant det M se nazývá doplněk minora det M.
Označme sm = i\ + iri + • • • + ik + ji + ji + • • • + jk- Pak číslo (—1)SM det M se nazývá
algebraický doplněk minoru det M.
1.9. Věta. (Laplaceova věta) Nectí A = (a^) je čtvercová matice řádu n, nectí je pevně zvoleno k řádků matice A, kde 0 < k < n. Pak determinant matice A je roven součtu všech (™) součinů minorů řádu k, vybraných ze zvolených k řádků, s jejich algebraickými doplňky.
__________________________________________________Řešené příklady
Úloha 1: Spočtěte determinant matice
A =
(1    0 0     2	0     1
	3     1
1     0	-1   1
\ 2   -3	1     0
1\
(a)  převedením na schodovitý tvar pomocí elementárních úprav, které nemění hodnotu determinantu
(b)  užitím Laplaceovy věty
Řešení: (a) Převedeme na schodovitý tvar. Nejprve ke třetímu řádku přičteme -1 násobek prvního řádku a ke čtvrtému řádku přičteme -2 násobek prvního řádku. Pak ke čtvrtému řádku přičteme f násobek druhého řádku.
det
/ 1     0      0     1 \ 0     2      3     1 10-11
\ 2 -3   i   o y
/
= det
10      0      1 0     2      3      1 0     0-10 V 0   -3     1     -2
\
J
í
	0	9	3	1	
= det					
	0	U	-1	U	
	\°	0	u 2	1 2	/
6
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Nyní přičteme ke čtvrtému řádku 5 násobek třetího řádku, čímž dostáváme schodovitý tvar a determinant se rovná součinu prvků na hlavní diagonále.
= det
/ 1    0    0      1   \
0   2     3      1
0   0-10
\0   0     0     -\)
= i2r-n
= i
(b) Uděláme Laplaceův rozvoj podle prvního řádku:
det
/l     0	0     1\
0     2	3     1
1     0	-1   1
\ 2   -3	1    o)
2	3     1
0	-1   1
-3	1     0
= ldet
(-9-3-2) -(-9
1)4+11 det
2) = 1
Úloha 2: Rozvojem podle více řádků určete determinant matice
A =
/   1       0      2      0   \
3       0-10
4       15      1 \ -3    -1     0     -2 )
Řešení: Vybereme si první a druhý řádek, protože tyto řádky obsahují nejvíce nul. V rozvoji pak musíme postupně procházet všechny dvojice sloupců. Vidíme, že všechny členy determinantu kromě druhého jsou nulové a výpočet se tedy velmi zjednoduší.
3   0 ) det ( 0   -2
det
1      1 -1   -2
3   0 j det V
-l)1+2+1+3det 1     5
det (   l   \ j det ( _43   \ >1+2+3+4detr  \   °   ] det
0   0
1     2 3   -1
]\ 1+2+2+3
4      -5 -3     0
-3   -1  ) =(-1)7det( 3   _2i
1      1 -1    -2
= (-!)(-!-6) (-2 + 1) = -7
1. Výpočet determinantu
Úloha 3: Spočtěte determinant matice
/   1
A =
2 3 1 0 3 1   -2     0
n — 1     n \
n — 1     n n — 1     n
-n+i o y
řádu n.
Řešení: Ke všem řádkům přičteme první řádek
det
( 1 2 3 -10 3 -1   -2     0
n — 1     n \ n — 1     n n — 1     n
= det
-3   ...    -n +1    0 y
/ 1    2     3
0   2    2.3
0   0     3
0    0     0
n — 1       n  \ ..   2(n-l)   2n ..   2(n-l)   2n
0
n
Úloha 4: Odvoďte rekurentní vztah pro výpočet determinantu matice
( x + y     xy         0       ...0      0     \
1       x + y     xy     ...   0      0 A-           0          1       x + y   ...   0      0
^     0         0         0       ...   1   x + y J
řádu n.
Řešení: Uděláme Laplaceuv rozvoj podle prvního sloupce
det An = {x + y) det
(x + y     xy     ...0      0     \ 1       x + y   ...   0      0
y     0         0      ...   1   x + y J
1)2+1 det
í xy      0       ...   0      0     \
1    x + y   ...   0      0
\    0       0      ...     1     £ + £/  J
8
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
První matice je vlastně shodná s původní maticí, pouze je o řád menší. U druhé matice provedeme Laplaceuv rozvoj podle prvního řádku. Pak dostáváme
det An = (x + y) det Ax-i — xy det A
n-2
Úloha 5: Určete determinant matice řádu n (tzv. Vandermonduv determinant).
Vn(xl,x2,. ..,xn) = det
/                 ry            ry^                         ryn       ^        ryn       *-       \
/        _1_        Jj\         Jj\          .   .   .        Jj 1                 Jj 1                \
1      X2      Xi      ■
n—2      „n —1
V     1      Xn      Xn
Xn           X
ry-ilí        4        ry'*'        A
.l,n           .l,n
I
Řešení: Od každého sloupce, kromě prvního, odečteme x\ násobek předchozího sloupce. Budeme postupovat od posledního sloupce až ke druhému.
/I       o
\
Vn(xl,x2,...,xn) = det
1        Xr2        X\        Xn        X\Xr2        • •  •       Xn              X\Xn           Xn              X\Xn
\      i.        ^Tl           >Xj\        >Xj ly,           iXjY^t,
ry'*1       ^    ___    ry     ry'*'      *-*        ry1'*'       *-    ___    ry1     ry1'*'       ^       §
Nyní uděláme Laplaceuv rozvoj podle prvního řádku a jednotlivé prvky determinantu upravíme vytýkáním.
Vn(xl,x2,...,xn) = det
/ x2 — x\    x2(x2 — x\)    ...   X2  3(x2 — x\)    X2  2(x2 — X\) \
Xj, — X\     X3(x3 — Xi)      ...     Xs~3(x3—Xi)     Xs~2(x3—Xi)
Vn/i       ___    ry*           ry*       [   ry*       ___    ry*       j                         ry*' "       ^ í ry*       ___    ry*      \        ry*' "       ^ 1 ry*       ___    ry*      \       1
Vytknemeli z každého řádku, zůstane nám determinant, který je Vandermonduv determinant řádu n — 1 s parametry x2,..., xn.
Vn(xi, x2,..., xn) = (x2 - Xi) (x3 -Xi)... (xn - Xi) det A tedy
I 1   x2   . 1    x3    .
n-3        n-2   \
.1-2          X2           \
n-3        n-2
X3          X3
V1
Xr,
rylí       O        ry'*'        "
.l,n           .l,n
)
Vn(Xi,X2,...,Xn) = (x2 -Xi) (x3 -Xi)...(xn -Xi)Vn-i(x2,...,Xn)
1. Výpočet determinantu                                                                                               9
Tím jsme získali rekurentní formuli, která platí pro n > 1. Indukcí teď snadno nahlédneme výsledné řešení.
Vn(xl,x2,..., xn) = {x2 - Xi) (x3 - Xi) ... {xn - Xi) (x3 - x2) ■ ■ ■ {xn - x2)......(xn - Xn-í)
1<J<Í<77
Cvičení
1.  Spočtěte počet inverzí v dané permutaci:
(a)   (2,1,7,9,8,6,5,3,4)
(b)   (9,8,7,6,5,4,3,2,1)
2.  Určete paritu následujících permutací:
(a)   (4,6,1,5,3,2)
(b)   (6,3,1,2,4,5)
(c)   (3,7,6,2,4,1,5)
(d)   (4,1,3,7,2,5,6)
3.  Určete x, y tak, aby pořadí
(a)   (1, 2, 7,4, x, 5, 6, y, 9) bylo sudé.
(b)   (5, l,y,8, 9,4, x, 6, 3) bylo liché.
4.  Zjistěte paritu následujících permutací.
(a)   (n,n-l,...,2,l)
(b)   (1, 3, 5,..., 2n - 3, 2n - 1, 2,4,..., 2n)
(c)   (2, 4, 6,..., 2(n - 1), 2n, 1, 3,..., 2n - 1)
(d)   (2, 5, 8,..., 3n - 1,1, 4, 7,..., 3n - 2, 3, 6, 9,..., 3n)
(e)   (2, l,4,3,...,2n,2n-l)
5.  Rozhodněte, zda se daný součin vyskytuje v determinantu matice A řádu n.
(a)   TI = 6,  Ö3i a43 Ö14 a52 Ö66 ^25
(b)   TI = 8,  Ö72 Öi7 Ö43 Ö21 Ö64 «35 «56
6.  Určete všechny členy determinantu matice A řádu 4, které obsahují prvky aí2, a34.
10
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
7. Spočtěte determinant matice podle definice.
A =
D =
-2   3 1     4
-3
B =
-3
E =
2 6
C =
F =
1     -7 8. Spočtěte determinant úpravou na schodovitý tvar.
3
A =
C =
-3
/   2
-4 3 2
-2 -5
1
0
1 2
-2\
0
-4
ß =
9
8
4 7
-5 -8
-3
-4
6   \
7
-2 -5/
1 3
5 2 2
-1\
1
-2 -1
3   )
D =
( 2   1    0   2   1 \
10   2   12
12    10   2
0   2    2   11
\ 2   1    1   2   0 )
E =
-2 -9
3 6
1   \
3 -2
F =
G =
1    1   l\
i   1   i
2      |      2
I  I  o I o oy
f =
/
/ =
2 2
\ -2     9
3      4  \
-5    13
10     4
-8    25 J
J =
í
\
■1     1
-2   \
K =
/   7
1 7
1     -1 V -7     0
6 0
8
9
-2 -9
4 6
-1 4 2
-4\
-2;
L =
0
/4
2
3
1
1   7 V2    1
-13 y
1
0
-1   0
7     5
5      7 2     1
6      6 1     2
-1    8\
2      3
3      2
1      2 5     7
2      1/
1+i 0
1. Výpočet determinantu
M =
0 =
Q =
(   1     5     3     5    -4 \
3     12     9     8
-17-3    8    -9
3     4     2     4     7
V   1     8     3     3     5   y
P =
2      4       5   \
-3     2     -4
5     -2    -3    -7
V -3     4      2       9   y
N =
/-5 O 2 6 5
V   3
O O
4
-2
4 -2
6
10
-2
2     -2
O     -5
O      2
-1    15
1 O
14 3
16 \
O
O
-5 6
O   J
<\
9. Spočtěte determinant matice pouze užitím Laplaceovy věty a definice.
A =
( 1
6 1 4 1
3    4   5    6 \
4    3 2    1 3   4 0   0 2    10   0 0   0   0   0
B =
( 1   O   2   O    3    O \
5   14   2    7    3
4    0   9    0
5    3    7   6 5   4    3    8
\ 2 i o o o o y
10. Spočtěte determinant řádu n > 1.
1   O
8    1
9    1
\ 1   O   7   O   9   O y
A =
ijj          <Xj           <Xj
iÁJ           ijj           <Xj
iÁJ          <ÁJ           ijj
x   x \
nn        rp        rp                        rp        ri
tXj         iÁJ          iÁj          ...          lA/          ijj
B =
( x y 0 . 0 x y . 0   0   x   .
0   0   0.
\y o  o  .
o  o \ o o o o
x   y 0   x
c =
í öo     1     1
1    ai     0
1     0    a2
1     0     0
..   1     1   \
..0    0
..0    0
..   0   a„
/
D =
a0
ai      x
a2       0
1     0
0
-1     0 x     —1
Hr).
0 0
o o
o o
o o o
x
o
12
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
(
E =
a0	d\	a2   .	■     CLn-l	ar
-yi	X\	0    .	.      0	0
0	-V2	x2   ■	.      0	0
\   y       o      O    ...    -yn   xn J 11. Spočtěte determinant matice řádu n > 1 úpravou na schodovitý tvar
A =
/Oil a2 1 0 a3   0   1
a„   0   0
C =
( 2    2    2
2    2    2
2    2    2
3    2    2
£ =
G =
V
*n        ^n
1 =
i   i\
o o o o
0   1
2    3 \
3    2 2    2
2    2
/   1
B =
J
2 3 1 0 3 1   -2     0
a — 1     a \
a — 1     a a — 1     a
/l
-a + 1   0
/
D =
n
V
1       1
1-n       1 1       1-n
1
/1	n	n   .	..   n   n \
n	2	n   .	..   n   n
n	n	3    .	..   n   n
\  n	n	n   .	..   n   n J
í	1		1
	d\		Öl
	a2		.   a2 - b2
F =
í   X\     Ö12     Ö13
X\      X2      Ö23 X\      X2       Xs
y xi   x2    x3
1       1
1       1
1       1
1    1-n
ßl(n-l)    Cbín    \
Ö2(n-1)     «2n
Ö2(n-1)     «3n
•^n — 1        ^n     /
/   1         Öl              02
1     Öi + &i         02
1       ai       a2 + &2
1    1 \
a,i — by     öi
a2        a2
an     \
F =
/ 1    2    3
2    3   4
3    4    5
n — 2   n — 1   n
n — 1       n      n
n          n      n
n   n   n   ...      n          n      n
\l       ai          a2       ...   an + bn J
12. Odvoďte rekurentní vztah pro výpočet determinantu matice.
1. Výpočet determinantu
A„ —
(^n  —
í 2    1    O    ...   O \
1    2    O    ...   O
O    1    2    ...   O
^ O    O    O     ...   2
í 5   6   O   O   O
4   5    2    0   0
0    13    2   0
0   0    13   2
B„ =
( 3 2 O 1 3 2 O   1   3
^000
0\
O
O
3y
0   0   0   0   0 0   0   0   0   0
o o\ o o o o o o
3   2 1   3
Dn =
(1	2	0	0	0
3	4	3	0	0
0	2	5	3	0
0	0	2	5	3
0	0	0	0	0
{ o	0	0	0	0
E„ =
( 7 5 O 2 7 5 0   2   7
O   O \ O   O O   O
V
0   0   0
(jr2n   —
í x    O
O    x
O     y
V y     o
13. Řešte rovnici: í a) det
x — 1 2-x
.    2   7
o  y\ y  o
x   O O   x
= 3
F  =
J-  n.
( x +1      x          O
1       x +1      x O          1       x + 1
V
o
o
Hn   =
( 1 1 O O 1110 Olli
0   0   0   0
(b) det
srna; cos a;
-3 cos a; siná;
O
O     O
O     O
0    O
1    1
= 2
14. Spočtěte determinant (užijte postupu z úlohy 5).
/Ill      1      1   \ 2    1-23-1 B =
A =
2     2     2
-1\
1     2     4 V 1    -2   4
-«;
4    14      9      1 8    1   -8   27   -1
y i6 i  i6 si   i y
/
c =
1
Xi + 1
o X i n- X^
i
x2 + 1
1
\
X
n — l
x
n-1
Xo
X2
x2
X2
X

n — l
Xr.
xnn  2 J
14
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
15. Laplaceovým rozvojem podle třetího sloupce spočtěte determinant matice
A =
í x    -1     0      0   \
0     x     -1     0
0     0      x     -1
\ a0     ßi      a2      ö3  /
16. Vyjádřete polynom stupně n pomocí determinantu stupně n — 1. (Využijte výsledku předchozího příkladu.)