3. Skalární součin 25 3. SKALÁRNÍ SOUČIN Teorie 3.1. Definice. Nechť V je vektorový prostor nad polem K. Pak skalární součin na V je bilineární symetrická forma, tj. zobrazení ( , ) : V x V —► K takové, že (x,x) > 0 pro x E V, x t^ o. (To znamená, že příslušná kvadratická forma je pozitivně definitní.) Reálný vektorový prostor se skalárním součinem nazýváme euklidovský prostor. 3.2. Definice. Nechť Rn je vektorový prostor. Definujeme skalární součin pro x,y E Rn, x = (xi, x2, ■ ■ ■, xn), y = (yi, y2, ■ ■ ■, yn) jako (x, y) = Yli=i xíVí- Takto definovaný skalární součin nazýváme standardní skalární součin. Euklidovský vektorový prostor Rn se standardním skalárním součinem budeme značit En. 3.3. Definice. Velikost (norma) vektoru v v euklidovském prostoru V je číslo ||w|| = 3.4. Věta. (Cauchyova-Schwartzova nerovnost) Pro každé dva vektory v euklidovském prostoru V platí \(u, v)\ < \\u\\ \\v\\ 3.5. Definice. Necht V je euklidovský prostor, u,v EV. Uhel, který vektory u a. v svírají je číslo a E (0, 7t) takové, že \\u\\ \\v\\ 3.6. Definice. Dva vektory u,v E V, kde V je euklidovský prostor, nazveme kolmé (ortogonální), pokud (ií, v) = 0. Dva vektory u, v E V, nazveme ortonormální, pokud jsou ortogonální (tj. (u,v) = 0) a pokud jejich velikost je rovna jedné (tj. ||ií|| = 1 A \\v\\ = 1). 3.7. Věta. Nechť V je euklidovský prostor a ví, v2, ■ ■ ■, Vk E V jsou po dvou ortogonální vektory různé od nulového. Pak jsou tyto vektory lineárne nezávislé. 3.8. Definice. Bázi tvořenou ortogonálními vektory nazveme ortogonální báze. Bázi tvořenou ortonormálními vektory nazveme ortonormální báze. 3.9. Věta. Nectí V je euklidovský prostor a u\,u2,... ,Uk E V libovolné vektory. Pak existují ortogonální vektory ví, v2, ■ ■ ■, Vk E V, které generují tentýž prostor jako vektory U\,u2,..., Uk, to znamená [ui,u2,...,uk] = [vl,v2,...,vk\. 26 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie Algoritnus, s jehož pomocí lze nalézt vektory ví, v2,..., Vu se nazývá Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces a je popsán v úloze 1. 3.10. Definice. Řekneme, že množiny A, B Q V jsou ortogonální množiny (ozn. A _L B) jestliže Vu e A,Vv e B : {u, v) = 0 3.11. Definice. Ortogonální áoplňek množiny A v euklidovském vektorovém prostoru V nazveme množinu A1- = {u G V : (u, v) = 0, Vw G A} 3.12. Definice. Nechť V je euklidovský prostor a U C V je vektorový podprostor ve V. Kolmá projekce vektoru v E V áo ř7je vektor Pv E U takový, že v — Pv _l_ U. 3.13. Věta. Nechť V je euklidovský prostor a U C F je podprostor. Potom [/©f/-1 = F. ___________________________________________________Řešené příklady Úloha 1: Použijte Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces na bázi a : U\ = (2, 0, —1)T, U2 = (—1,1,1)T, «3 = (1,1,1)T vektorového prostoru E3. Řešení: Budeme hledat ortogonální bázi ß : [vi, v2, v3] 1) Za ví zvolíme libovolně jeden ze tří vektorů původní báze a , např. Ví = Uí a tedy u1 = (2,0,-l)T 2) Hledáme druhý vektor báze v2 ve tvaru V2 = U2 +PíVí tuto rovnost skalárně vynásobíme vektorem Ví (Ví,V2) = (Ví,U2) +Pí{Ví,Ví) požadujeme, aby vektory ví, v2 byly kolmé, proto skalární součin (ví, v2) = 0; zbylé skalární součiny můžeme už lehce spočítat (vi,u2) = —3, (t>i,t>i) = 5, pak 3 0 = —3 + 5pi z toho plyne Pí = - 3. Skalární součin 27 a tedy u2 = (-1,1, l)r + |(2, O, -l)r můžeme do báze zvolit libovolný násobek tohoto vektoru, pro snadnější počítání tedy volme v2 = (l,5,2)T 3) Nyní zbývá najít ještě třetí vektor báze v3, který musí být kolmý k oběma předchozím vektorům vi a v2; předpokládejme jej ve tvaru v3 = u3 + qíVí + q2v2 tuto rovnost nejdříve skalárně vynásobíme vektorem v\ a pak vektorem v2, čímž dostáváme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých qi a q2 {v3, ví) = (ií3, ví) + ql(vl, vľ) + q2(v2, vľ) (v3, v2) = {u3, v2) + qi(vu v2) + q2{v2, v2) z požadavku vzájemné ortogonality všech vektorů báze ß plyne 0 = 1 + 5^i z toho plyne q\ = — 5 4 0 = 8 + 30(?2 z toho plyne q2 =------ 15 tedy t4 = (1.uf_|(2,0.-lf-±(1.5,2f=(I.-|.rT opět můžeme do báze ß zvolit libovolný násobek tohoto vektoru, např. U3 = (1,-1,2)T a tedy ß = [(2, 0, -1)T, (1, 5, 2)T, (1, -1, 2)T] Úloha 2: Nechť W = [(1, -1,1, 0, 0)T, (1, 0,1, 0,1)T, (1,1, 0, -1,1)T] je podprostor v E5. Najděte ortogonální doplněk WL tohoto podprostoru. Řešení: Podle definice 3+0. je ortogonální doplněk podprostoru množina všech vektorů kolmých ke všem vektorům zadaného podprostoru. Rozmyslíme-li si tuto definici, je zřejmé, že stačí hledat množinu všech vektorů kolmých k vektorům báze podprostoru W. Označíme 28 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie si vektory báze postupně t>i,t>2,f3 a uvažujeme libovolný vektor x = {xi,X2,x?i,x^xr))T takový, že ir G WL, pak platí: x G WL právě když x _L V\ Ailt)2 Ailti3 a tedy a; G WL právě když (ir, Ví) = 0; (x, v2) = 0; (x, V3) = 0 X\ —x2 +X3 = 0 z toho plyne iri +x3 +ir5 = 0 xi +X2 — £4 +£5 = 0 dále řešíme tuto soustavu rovnic pro nalezení tvaru vektoru x úpravou na schodovitý tvar pomocí elementárních řádkových úprav 1—11 o o 1 0 \ /i -11 o o 1 o 10101|0~01 o o 1 i o 110 —1 1 j 0 / \ 0 2 —1 —1 1 j 0 1 -1 1 o o 1 o o 1 o o 1 j o o o 1 1 1 j o zavedeme parametry a, b a dostáváme: X5 = b; £4 = a; Xj, = —a — b; x2 = —b; X\ = a podprostor vektorů x, což je podprostor vektorů kolmých na vektory báze podprostoru W, a tedy ortogonální doplněk podprostoru W, je generován vektory, které dostáváme nezávislou volbou parametrů a a b ^ = [(1,0,-1,1, Of, (0,-1,-1,0,1)T] Úloha 3: Najděte kolmý průmět vektoru v do podprostoru W = [u>i,u>2] v E4, kde ^i = (1,-1,-1, 2f, w2 = (3,1, 0, lf, v = (-2, 2, 2, 5f. Řešení: Kolmý průmět Pv vektoru v předpokládáme ve tvaru lineární kombinace vektorů báze podprostoru W, do kterého promítáme PV = CLiWi + 02^2 Aby šlo o kolmou projekci, musí být podle definice 3.11. vektor v — Pv kolmý na podprostor W, a tedy musí platit: v — Pv _l_ Wi V — Pv _l_ IJJ2 3. Skalární součin 29 z toho plyne (v,Wí) —ai{wi,wi) —a2(w2,wi) = 0 (v,w2) -aí(w2,wí) -a2(w2,w2) = 0 po vyčíslení skalárních součinů dostáváme: 8 — 7a 1 — 6a2 = 0 1 — 6a 1 — 11ü2 = 0 řešením této soustavy rovnic jeai=2aa2 = —1, tedy Pv = 2(1,1, -1, 2) - (3,1, 0,1) = (-1,1, -2, 3) Cvičení 1. Zjistěte zda je zobrazení g : R2 x R2 —► i? skalární součin (a) #(ir, í/) = £12/1 + a; 12/2 + x2yi + £22/2 (b) g(x, y) = 4zi?/i + 2iri£/2 + 5ir2?/2 (c) #(ir, y) = xlyl + ÍC1J/2 + Z2Ž/1 + 2x2i/2 2. Zjistěte, zda je zobrazení g : R3 x R3 ^ R skalární součin (a) g(u, v) = 3u]_vi - u\v2 - u2v\ + 2u2v2 + U]_v3 + u3vi + ií3v3 (b) g(u, v) = 2uiVi — u\v2 — u2v\ + ií3v3 (c) g(u, V) = UíVí + 2UiV2 - U2Vy + U2V2 + U3W1 + 2lí3W3 (d) g(u, v) = U]_vi + 2u2v2 - u2v3 - u3v2 + 3ií3v3 (e) #(lí, v) = 3U]_Vi + U1W2 + «2^1 + «2^2 + U3V3 3. Ve vektorovém prostoru R2[x] je pro libovolné dva polynomy /, g definováno reálné číslo {f, g)- Rozhodněte, zda je takto definován skalární součin. (a) (f,g) = f\f(t)g(t)dt (b) (f,g) = l 4. Ve vektorovém prostoru Mat22(R) je pro libovolné vektory A = ( ) , B = \ Ü3 CLi J ,l ,2 I definováno reálné číslo (A, B). Rozhodněte, zda je takto definován skalární součin. (a) {A, B) =det(A5) (b) (A, B) = det(A + B) 30 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie (c) (A, B) = ßi&i + CÍ4&4 (d) (A, B) = aibi + a2b2 + 03^3 + «4^4 5. Zkuste na R2 najít takový skalární součin, aby vektory u a v byly na sebe kolmé. (a) u = (l,2)T,v = (2,3)T (b) u = (-5,2)T, v = (10,-4)T 6. Najděte ortogonální bázi podprostoru generovaného vektory (3, 2, —4, 6)T, (8,1, —2, — 16)T, (5,12, —14, 5)T, (11, 3, 4, — 7)T v euklidovském prostoru £4. 7. Určete ortogonální bázi podprostoru generovaného vektory (1, 0, 4, — 1)T, (1, —4, 0,1)T, (—4,1,1, 0)T a jeho ortogonálního doplňku v euklidovském prostoru £4. 8. Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem sestrojte ortogonální bázi podprostoru generovaného vektory (1,1, —1, — 1)T, (1, —1,1,1)T, (—1, —2, 0,1)T v euklidovském prostoru EA. 9. V euklidovském prostoru V nalezněte ortogonální bázi podprostoru W, je-li: (a) V = E,,W = [(1, 2, 2, -1)T, (1,1, -5, 3)T, (3, 2, 8, -7)T] (b) V = EA,W = [(1, 0,1, 0)T, (0,1, 0, -7)T, (3, -2, 3,14)T] (c) F = E5, W = [(1, 2, 0,1, 2f, (1,1, 3, 0, lf, (1, 3, -3, 2, 3)T, (1, -1, 9, -2, -lf] (d) V = E5,W = [(1, -1, 0,1, lf, (1, -1,1,0, -lf, (1, -2, -2, 0, Of, (1, -4,1, 3,4f] 10. V euklidovském prostoru £4 jsou dány vektory u, v. Ukažte, že tyto vektory jsou ortogonální a doplňte je na ortogonální bázi celého prostoru. Přitom: (a) u = (1,-2, 2, lf, v = (1,3,2, lf (b) u = (2, 3, -3, -4)T, u = (-1, 3, -3,4)T (c) u = (l,7,7,l)T, V = (-1,7,-7,1)T 11. Najděte ortogonální bázi vektorového prostoru i?3[a;] se skalárním součinem definovaným (/,