5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice                                                         45
5. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY, ORTOGONÁLNÍ MATICE
Teorie
5.1.   Definice. Lineární operátor je lineární zobrazení <p> : V —► V, kde V je vektorový prostor.
5.2.  Definice. Nechť <p> : V —► V je lineární operátor, a = (vi, t>2, ■ ■ ■, vn) báze vektorového prostoru V. Pak matice operátoru <p> v bázi a je matice (4>)a,a = (ckj), kde ve sloupci j jsou souřadnice vektoru <p>{vj) v bázi a.
5.3.  Věta. Nectí (f) : V ^ V je lineární operátor, a = (ví, t>2, • • •, w„), /3 = («i, 112, ■ ■ ■, un) jsou dvě báze vektorového prostoru V. Pak pro matice zobrazení cj) v bázích a a ß platí tento vztah:
{4>)ß,ß = {id)ß,a ■ {4>)a,a ■ (id)a,ß,
kde (id)aß je matice přechodu od báze ß k bázi a.
5.4.   Definice. Řekneme, že matice A a. B jsou poáobné, existuje-li regulární matice P taková, že B = P'1 ■ A- P.
5.5.  Definice. Nechť V je vektorový prostor a (j) : V —► V je lineární operátor. Podprostor [/CKse nazývá invariantní podprostor operátoru (p, jestliže 4>{U) C [/.
5.6.  Definice. Vektor u/o^ey, kde V je vektorový prostor, se nazývá vlastní vektor lineárního operátoru (p, existuje-li číslo X E K takové, že
(p(u) = Xu
Číslo A se pak nazývá vlastní číslo.
5.7.  Poznámka. Je-li matice lineárního zobrazení A, pak vlastní vektory x jsou nenulová řešení rovnic
Ax = Xx.
Tato soustava je ekvivalentní se soustavou
(A - XE)x = 0, což je homogenní soustava rovnic, která má nenulové řešení právě tehdy když
det(A -XE) = 0
5.8. Definice. Rovnice det(A — XE) = 0 se nazývá charakteristická rovnice matice A.
46
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
5.9.  Věta. Vlastní čísla jsou právě kořeny charakteristické rovnice. Je-li číslo Ao vlastní číslo, pak vlastní vektory jsou řešením soustavy rovnic (A — X0E) = 0.
5.10.   Definice. Algebraická násobnost vlastního čísla je násobnost tohoto čísla jakožto kořene charakteristické rovnice. Geometrická násobnost vlastního čísla je dimenze pod-prostoru Ker(</> — Aid).
5.11.  Věta. Je-li A = a + bi vlastní číslo reálné matice A s vlastním vektorem u = U\+ÍU2, kde Ui,U2 E FT, pak A = a — bi je taky vlastní číslo s vlastním vektorem ň = u\— iu^-
5.12.   Poznámka. Podprostor generovaný vektory U\,U2 v i?" z předchozí věty je invariantní podprostor zobrazení cj). Platí, že
A ■ («i + IU2) = (a + ib)(ui + ÍU2) ■
Rozepsáním na reálnou a imaginární část rovnice dostáváme
A- iíi   =   oiíi    — bii2 A ■ ií2   =   bu\   -\-au2   .
Zobrazení <f> má tedy v bázi [ui, u2] matici
a   —b b    a
Číslo a + ib můžeme napsat v goniometrickém tvaru a + ib = \/a? + 62(cos a + i sin a), pak
má matice zobrazení tvar
/ 0 , ,0 / cos a   — sin a v a2 + b2 [
\ srna     cos a
Tento operátor působí jako otočení o úhel a složené se stejnolehlostí na dvourozměrném invariantním podprostoru zobrazení cj).
5.13.   Věta. Nechí cj) je lineární zobrazení a nechí a = (f 1, f2, • • •, vn) je báze tvořená vlastními vektory příslušnými vlastním číslům Xí} X2, ■ ■ ■, \n. Pak matice lineárního zobrazení v této bázi má tvar
{<P)c
/ Ai    0    ...    0  \
0    A2   ...    0
V o   0   ... xn )
5.14.  Věta. Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé.
5.15.  Definice. Nechť U a V jsou dva euklidovské vektorové prostory. Zobrazení (p : U V se nazývá   ortogonální, právě když (</>(ui), ^(«2)) = {ui, ^2) Pro Viíi, ií2 G U.
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
47
5.16.  Věta. Nechí (j) : U —► U je lineárni operátor. Pak (j) je ortogonální zobrazení, právě tehdy když pro matici zobrazení v ortonormální bázi a platí, že A~l = AT.
5.17.  Definice. Matici A, pro kterou platí A^1 = AT, nazýváme   ortogonální maticí
5.18.  Definice. Nechť U a. V jsou dva unitární vektorové prostory. Zobrazení cj) :U —► V se nazývá  unitární právě když (</>(ui), </>(u2)) = (^1,^2) Pro Viíi,ií2 E U.
5.19.   Věta. Nechť cj) : U —► [7 je lineární operátor. Pak cj) je unitární zobrazení, právě tehdy když pro matici zobrazení v ortonormální bázi a platí, že A~l = A  .
5.20.  Definice. Matici A, pro kterou platí A~l = A , nazýváme   unitární maticí.
5.21.   Věta. Je-li matice A unitární, pak \ det A\ = 1 a její vlastní čísla mají absolutní hodnotu rovnu 1.
5.22.  Věta. Nechť cj) : U —► U je unitární zobrazení. Pak v U existuje ortonormální báze a tvořená vlastními vektory taková, že v této bázi má matice zobrazení diagonální tvar
{<P)c
í Ai    0    ...    0  \
0    A2   ...    0
V  0     0    ...   \n J
5.23. Poznámka. Každá ortogonální matice A je unitární. Má-li A reálná vlastní čísla, pak jsou to 1 nebo -1.
Má-li komplexní vlastní číslo a + ib, pak má také vlastní číslo a — ib, a protože |a + i&| = 1, tak a2 + b2 = 1. Je-li ui + iu2 vlastní číslo, pak ui — iu2 je také vlastní číslo. Z toho, že («i + iu2) -L (ui — iu2) plyne, že ||iíi|| = ||ií2|| a u\ _l_ u2. ui, u2 tedy tvoří ortogonální bázi dvourozměrného invariantního podprostoru.
A(ui + iu2) = (a + ib)(ui + iu2)
Z toho plyne
Aiíi = aui — bu2, Au2 = bui + au2.
V bázi iíi, ^2 je tedy matice tohoto zobrazení (tuto bázi nazýváme kanonická báze)
a   —b\_í cos a   — sin a b    a   J      \ siná     cos a
Toto zobrazení je tedy otočení o úhel a .
Z toho plyne, že každá ortogonální matice řádu 3 reprezentuje geometricky otočení kolem
osy složené případně se symetrií podle roviny kolmé k této ose procházející počátkem.
1 1	— 1     1 1  1
1	-1   3
48                                                                       I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
__________________________________________________Řešené příklady
Úloha 1: Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru zadaného maticí
A =
ve standardní bázi.
Řešení: Podle věty 5.9. jsou vlastní čísla řešením charakteristické rovnice det(A — XE) = 0. Spočteme tedy tento determinant, položíme ho roven nule a řešíme charakteristickou rovnici.
/l-A     -1         1     \
det       -1     1-A      1          =0
\ -i    -i   3-a y
z toho plyne
(1 - A)2(3 - A) + 1 + 1 + (1 - A) + (1 - A) - (3 - A) = 0
(1-A)(2-A)2 = 0
Jako řešení charakteristické rovnice dostáváme dvě vlastní čísla, Ai = 1 s algebraickou násobností 1, A2 = 2 s algebraickou násobností 2. Podle věty 5.9. jsou vlastní vektory řešením homogenní soustavy rovnic (A — XE) = 0.
Pro Ai = 1 má homogenní soustava tvar
0	-1  1	1 o
-1	0     1	1 o
-1	-1   2	1 o
1	0	-1	1 o
0	1	-1	1 o
0	-1	1	1 o
Zavedeme parametr t, x3 = t, pak x2 =t,Xi= t.
Řešením je podprostor generovaný vektorem (1,1,1)T, tedy podprostor vlastních vektorů
:u,if]
Geometrická násobnost vlastního čísla Ai je 1. Pro A2 = 2 má homogenní soustava tvar
1	-1  1	1  0
1	-1  1	1  0
1	-1  1	1  0
-1	-1  1	1 0
0	0     0	1  0
0	0     0	1  0
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
49
1	1	72
2	2	2
1	1	V2
2	2	2
V2	V2	0
2	2	
Zavedeme parametry t a s, X3 = t, X2 = s, pak x\ = t — s.
Řešením je podprostor generovaný vektory (1, 0,1)T, (—1,1, 0)T, tedy podprostor vlastních
vektorů
[(1,0, If, (-1,1, Of].
Geometrická násobnost vlastního čísla A2 je 2 .
Všimněte si, že v bázi a :   [(1,1, lf, (1, 0, lf, (—1,1, Of] je matice daného lineárního zobrazení diagonální
10   0
0   2   0
0   0   2
Úloha 2: Analýzou vlastních čísel a vlastních vektorů matice
A =
zjistěte, jaké geometrické zobrazení euklidovského prostoru R3 popisuje lineární operátor daný touto maticí. Určete matici operátoru ve vhodné ortogonální bázi.
Řešení: Lehce ověříme, že A ■ AT = E a tedy matice A je ortogonální. Nejprve hledáme vlastní čísla, to znamená, že najdeme charakteristický polynom.
- - A       -        i^   \ det|    %       i-A   -f   )=-\(\-\Y + \ + \ + (\-\) + \\ = -\3 + \2-\ + l
-4       4       ~X  J Řešením charakteristické rovnice jsou vlastní čísla
Ai = 1        A2 = i       A3 = -i. Dále hledáme vlastní vektory, tj. řešíme vždy homogenní soustavu rovnic (A — XE) = 0.
Pro Ai:
_!     i       VI     i    n
22       2        1     w
i      _!    _V1    i    n
2                  2               2          I       w
V2      VI           I        I        A
2           2               L        I     w
Řešením této soustavy je podprostor vlastních vektorů [(1,1, 0)T]. Pro A2 = i:
2     '       2
2      2     '
V2     V2
2        2
2        '                 2 1-i        1-i	V2 2 0
0         y/2-y/2Í	—i —
50
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Řešením této soustavy je podprostor vlastních vektorů [(—1,1, \Í2í)T]. Podle věty 5.11. je podprostor vlastních vektorů pro A3 roven [(—1,1, -
■y/2i)T]
Podle poznámky 5.21. zvolíme novou reálnou ortonormální bázi
a =
' y/2   V2
T
,0
y/2   y/2 ~2~'~2~
T
,0      ,(0,0,1
>T
Protože A2 = i, tak cos a = 0asina = lz toho plyne, že se jedná o otočení o úhel | kolem osy dané směrem (1,1,0)T, musíme ale ještě určit orientaci otočení. Z matice zobrazení je vidět, že druhý vektor báze se zobrazí na třetí vektor báze a třetí vektor báze se zobrazí na vektor opačný k druhému vektoru báze. Otočení je tedy ve směru od druhého ke třetímu vektoru báze. Tvar matice operátoru v nové bázi je
Úloha 3: Ve standardních souřadnicích napište matici zobrazení, které je otočení o úhel I kolem přímky x = 0, y — z = 0.
Řešení: Nejprve určíme matici v jisté ortonormální bázi ß, ve které má matice tvar
1       0           0
0   cos a   — sin a 0   siná     cos a
Zobrazení je otočení kolem přímky x = 0, y — z = 0, první vektor báze ß tedy bude jednotkový směrový vektor této přímky (0, ^,^)T. Pak ß doplníme na ortonormální bázi:
ß:
0.
y/2   ^2
T
0.
y/2      \/2N ~2~'      2~
T
:i,o,o)^
ow =
Matice zobrazení ve standardní bázi pak je
1	0	0      \	/l	0
0	cos |	-sinf       =	=      °	0
0	sin |	cos f   /	\o	1
(4>)£>£ = (id)£)/? • {<j))ßiß ■ (id)^ = (id)e>/3 • {<j))ßiß ■ (id) Ja ,
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
51
kde (id)e>/3 je matice přechodu od báze ß k bázi e.
Z toho plyne
(^
(id)^ =       f
(<a,e =
Cvičení
1. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru daného matici:
A =
D =
G =
B =
E =
C =
F =
H =
7 5 9
/ =
3   \
-3 -1/
J =
2. V R3 určete podprostor vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě A = 3.
A =
B =
C =
52
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
3. Zjistěte, zda je daná matice podobná diagonální matici nad poli Q, R, C. (To nastane právě tehdy, když vlastní vektory generují celý prostor.)
A =
B =
4. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matic.
-1     1
/
1
A =
0
2 0
B =
1
0
o
2
0 0 2 0
c =
3 \
-3 0
3 y
Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice lineárního operátoru. U vlastního čísla určete jeho algebraickou a geometrickou násobnost a zjistěte, zda je matice podobná nějaké diagonální matici.
A =
1 0
D =
0
B =
C =
0
o
2 2
-1 1
0   \
-2
0 "1/
E =
/ 2   0   2     0   \
12   2-2
0   0   2     0
\ 0   0   1     2   )
6. Zjistěte, jak závisí vlastní hodnoty a vlastní vektory matice na parametrech a, b.
A =
B =
7.  Zjistěte, jak vypadají a jaká geometrická zobrazení určují všechny ortogonální matice řádu 2.
8.  Analýzou vlastních čísel a vlastních vektorů najděte matici lineárního operátoru ve vhodné bázi, pomocí které určíte, o jakou geometrickou transformaci se jedná, je-li operátor zadán ve standardní bázi maticí:
A = \
C=h
2 2
2 2
-1
2 2
2 2
B = \
D = \
1 1 V2	1         -y/2 1         \/2 -Vž    o
3 1	i    -Vq 3        v^6 -V^       2
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
53
E = \
F = h
i  -i
U -i
1
-1
Or  —   77
í   '    l
1     1
-1      1
1
J = h
3 6
3 6
1   \
-1   -1
-1     1
6
-2 3
# = i
2 2
1   \
-1
1     -1 "I     1   í
-1 2 2
' = é
i
4
-8   4 4     7
if =
0     -75
4              1
3^2        3a/2
_3           3
L =
-8     1
3        1       VI
4            4            4
i          3          Vg
4            4               4
Vš    Vš      i
"4          4            2
9. Analýzou vlastních čísel a vlastních vektorů zjistěte o jakou geometrickou transformaci euklidovského prostoru R3 se jedná.
A =
V2 2	V2 2
1 2	1 2
1 2	1 2
B =
Vž    Vž
2          2
c =
10. Najděte ortonormální bázi tvořenou vlastními vektory a matici v této bázi unitárního operátoru daného maticí ve standardní bázi:
A - J-
A~  V3
c = h
1 + i       1
-1     1-i
2 + 3i    -v^3
v^Š     2-3i
fl = 7í
i      1 -1    -i
11.   Ve standardních souřadnicích v R3 napište matici zobrazení, které je otočením o úhel 7T kolem přímky x — z = 0, y = 0.
12.   Ve standardních souřadnicích v R3 napište matici zobrazení, které je otočením o úhel | kolem přímky x + y = 0, z = 0, přičemž /(—l, 1,1) = (ö, &, 0), kde a + b > 0.
13.   Ve standardních souřadnicích v R3 napište matici zobrazení, které je symetrií podle roviny \[Žy — x = 0.
14.   Lineární zobrazení v R3 je otočení kolem osy procházející počátkem se směrovým vektorem (1,1, 0)T takové, že /(l, —1,0) = (0, 0, \/2). Najděte matici zobrazení ve standardní bázi.
15.   V Rn napište matici symetrie podle roviny kolmé k vektoru v v ortonormální bázi
[v,v2,...,vn].
54
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
16. Definujte na R3 dva skalární součiny (, )i a (, )2 tak, aby zobrazení <f> : (R3, (, )i) (R3, (, )2), (j)(xi, x2,x3) = (xi + x2 + x3, -x\ + x2,x3), bylo ortogonální.