MB101 ­ dobrovolné domácí úkoly
Kombinatorika
1. Mám 6 jablek a 3 hrušky, chci udělat salát z pěti kusů ovoce, aby tam
byla nejméně jedna hruška. Kolika způsoby to lze udělat?
2. Kolika způsoby lze rozdělit do deseti očíslovaných přihrádek čtyři stejné
modré koule a šest stejných bílých koulí, jestliže každá přihrádka musí být
obsazena?
3. Čtyři děti hrající si na pískovišti našly šest hliněných a čtyři skleněné
kuličky. Kolika způsoby si je mohou rozdělit? Jak to dopadne v případě,
kdy každé dítě chce mít aspoň jednu kuličku od obou druhů?
4. Určete počet řešení rovnice x1 + x2 + x3 + x4 = 15 v N, resp. v N0 (kde
N = {1, 2, 3, . . .} a N0 = N  {0}).
5. Bridž je karetní hra, při níž se mezi 4 hráče rozdělí 52 karet (tak, že každý
dostane 13 karet). Kolik existuje možných rozdání mezi 4 různé hráče?
6. Do výtahu pětipatrové budovy nastoupilo 8 osob (nerozlišujeme je). Kolika
způsoby mohou vystoupit, když v každém patře musí vystoupit alespoň
jedna osoba?
7. Určete, kolika způsoby je možné na šachovnici (8×8 polí) vybrat trojici
polí tak, aby vybraná trojice políček neležela ve stejném sloupci či stejném
řádku.
8. Kolika způsoby je možné seřadit u startovní čáry osm závodních aut do
dvou řad po čtyřech autech, jestliže:
a) v každé řadě záleží na pořadí,
b) na pořadí v řadách nezáleží.
9. V sáčku jsou červené, modré a zelené kuličky. Kuličky téže barvy jsou
nerozlišitelné. Kolika způsoby lze vybrat 5 kuliček, jestliže v sáčku je:
a) alespoň 5 kuliček od každé barvy,
b) 5 červených, 4 modré a 4 zelené kuličky.
10. V košíku je 5 červených, 7 modrých a 6 žlutých velikonočních vajíček.
Kolika způsoby lze z nich vybrat pět vajíček tak, aby nebyla všechna téže
barvy?
11. Kolika různým telefonním stanicím můžeme přidělit čísla, jsou-li všechna
telefonní čísla osmiciferná a ani jedno nezačíná nulou?
1
12. Při výrobě určité součástky je třeba provést 4 operace A, B, C, D, pro
které platí současně tyto podmínky:
* Operace A nesmí být poslední.
* Provedeme-li operaci B, musí bezprostředně po ní následovat operace
C, a obráceně, provedeme-li operaci C, musí bezprostředně následovat
operace B.
Kolika různými postupy je možno tyto operace provést?
13. Kolika způsoby je možné umístit 9 brigádníků na tři pracoviště, jestliže
na prvním pracovišti jsou zapotřebí 4 brigádníci, na druhém pracovišti 3
brigádníci a na třetím pracovišti 2 brigádníci?
14. Dokažte rovnost
n
k
+
n
k + 1
=
n + 1
k + 1
.
(Hint: Výrazy na levé straně rozepište podle definice kombinačního čísla a
vzniklý výraz se pokuste upravit na tvar odpovídající kombinačnímu číslu
na pravé straně.)
15. Nechť A je konečná množina a n je počet jejích prvků (n > 3). Zmenšíme-li
počet prvků množiny A o 3, zmenší se počet dvoučlenných kombinací
bez opakování (vytvořitelných z prvků množiny A) o 33. Určete původní
počet prvků, tj. číslo n. (Hint: Podmínku ze zadání vhodně zapište pomocí
rovnice obsahující kombinační čísla. Tuto rovnici pak můžete v několika
krocích vyřešit pomocí vzorečku z předchozího příkladu.)
Výsledky
1. 120 2. 210 3. 2940, 10 4. 364, 816 5. 52!
(13!)4 6. 35 7. 40768
8. a) 40320, b) 70 9. a) 21, b) 19 10. 18 11. 9  107
12. 8 13. 1260
15. n=13
2