MB101 ­ dobrovolné domácí úkoly
Geometrie v R2
, relace, zobrazení
1. Zrcadlete bod [3, 1] podle osy procházející počátkem a bodem [1, 1].
2. V rovině máme zadány body A = [1, 4], B = [2, -1], C = [4, 1], D = [3, 3].
Určete, které strany čtyřúhelníku určeného těmito body jsou viditelné z
bodu P = [7, 2].
3. Spočítejte obsah trojúhelníku vymezeného přímkami:
p : [0, 1] + t  (1, 2) t  R
q : [2,
3
2
] + s  (1, -
3
2
) s  R
r : [1, -
1
2
] + z  (-2, -
1
2
) z  R
4. Rozhodněte a dokažte, zda jsou následující relace na množině všech celých
čísel Z reflexivní, symetrické, tranzitivní či antisymetrické:
a) a  b  a = b
b) a  b  a je sudé a b je liché
c) a  b  |a|  b
d) a  b  a  b  0
e) a  b  (a  b a zároveň a  b  0)
f) a  b  (a  b nebo a  b > 0)
5. Na množině Z\{0} je definována relace  předpisem a  b  a  b > 0.
Ověřte, že se jedná o relaci ekvivalence (tj. že je daná relace R,S,T).
6. Rozhodněte a dokažte, zda jsou následující relace na množině všech reálných
čísel R reflexivní, symetrické, tranzitivní či antisymetrické.
a) a  b  sin(a) = sin(b)
b) a  b  a = b + 1
c) a  b  a  b2
d) a  b  a  b  1
7. Dejte příklad bijektivního (tj. zároveň injektivního a surjektivního) zobrazení
množiny N do množiny Z.
8. Rozhodněte a dokažte, zda je zobrazení f injektivní, surjektivní nebo bijektivní,
jestliže:
1
a) f : N  N, f(x) =
x + 1 pokud x je liché
x - 1 pokud x je sudé
b) f : R  R, f(x) = 4x-5
12
c) f : R\{0}  R, f(x) = 3x-4
2x
d) f : Z  Z, f(x) = 3x
e) f : N  {0, 1, 2, 3, 4}, f(x) =zbytek po dělení čísla x číslem 5
0.0.1 Řešení
1. [1, 3] 2. Viditelné jsou všechny, kromě strany AB. 3. 7 4. Daná relace je
(R,S,T,A): a) S b) T,A (dobře si uvědomte, jakými výrokovými formulemi je
definována tranzitivnost a antisymetričnost) c) T d) S e) R,A f) R,T 6. a) R,S,T
b) A c) ani jedno d) S 8. a) je bijektivní b) je bijektivní c) je injektivní d) je
injektivní e) je surjektivní
2