Matice
•  Matice typu m x n má m řádků a n sloupců. Označují se velkými tiskacími písmeny např. A.
•  Operace s maticemi stejného typu - sčítání (po složkách): A = (a,ij);B = (bjk)',A ± B = (üij ± bij). Násobení skalárem c z reálných čísel cA = (ca,ij). Násobení matic A typu m x n
s maticí B typu n x p je A ■ B = í 5^ľ=i aijbjk ) typu m x p. Násobení není komutativní (ani
pro čtvercové matice), B ■ A není definované.
A=i   3    4   '       B=(Io    ľl    ľ2
1*7 + 2*10    1*8 + 2*11    1*9 + 2*12
AB=\   3*7 + 4*10    3*8 + 4*11    3*9 + 4*12
5*7 + 6*10    5*8 + 6*11    5*9 + 6*12
Pro čtvercové matice mocnina: An = A"-1 -A;    A° = E, je komutativní.
•  Čtvercová matice typu n x n. Pojmy: Nulová matice O; A + O = O + A = A, jednotková matice, zn. I nebo E; E ■ A = A ■ E = A, horní a dolní trojúhelníková matice - uzavřené na součiny a součty, diagonální, transponovaná, symetrická matice.
•  Inverzní matice k matici A je matice A^1, platí A- A^1 = A~ľ-A = E. Je určena jednoznačně, pokud existuje. Matice, které mají inverzi jsou regulární. (A^1)^1 = A, součin regulárních matic je regulární, (AB)^1 = B~ľA~ľ (pořadí!).
•
Hodnost matice A je její maximální počet lineárně nezávislých řádků. Zn. h(A).
•  Hledání inverzní matice: matici (A\E) řádkovými úpravami upravíme na tvar (E\*), kde * = A-K
•  Soustavu lineárních rovnic můžeme zapsat jako A ■ x = b. Pak řešení je tvaru: x = A^1 ■ b, matice A musí být regulární a je právě jedno řešení.
•  Frobeniova věta: Systém lineárních rovnic (LS) má (alespoň jedno) řešení právě tehdy, když h(A) = h(A\b).
•  Myslím že toto nepatří na cvičení, ale když budete chtít: řádkové úpravy matice lze reprezentovat jako zleva součin vhodných regulárních matic.
1
Determinaty
•  Minor příslušející prvku a^ označme jako |Mjj|. Vznikne z matice vynecháme i-tého řádeku a j-tého sloupece. Výraz nazveme Aij := ( —l)í+J|Mjj| jako algebraický doplněk příslušející prvku aij.
•  Determinat je reálný číslo. Determinat lze definovat Laplaceovým rozvojem podle prvního řádku:
detA= \A\
all    al2 a21    a,22
aín a,2n
all,                            pokud n = 1,
all All + al2 A12 + ... + alnAln,    pokud n > 1.
ani    an2 Takže jde o rekurentní definici.
•  Laplaceův rozvoj lze použít na libovolný řádek nebo sloupec.
•  Výpočet determinantu řádu 2 přímo a řádu 3 Saarusovým pravidlem - dopíšou se první dva sloupce na konec matice a sčítají se 3 součiny prvků na hlavních diagonálách a odčítají 3 součiny prvků na vedlejších diagonálách.
•  Vlastnosti determinantu:
\A\ = \AT\
\AB\ = \A\.\B\ \A-1\ = 1/\A\ Je-li A horní (dolní) troj. matice, pak determinant je součin prvků na diagonále.
•  Úpravy determinantu řádkovými úpravami: záměna 2 řádků změní znamínko determinantu, vynásobení řádku číslem způsobí vynásobení determinantu stejným číslem. Přičtení a-násobku některého řádku (sloupce) determinantu k jinému řádku (sloupci) nemění hodnotu determinantu.
•  Singulární matice je ta, co má nulový determinant, regulární matice má nenulový determinat
•  Adjungovaná matice
	/ All	A12    .	.    Aln \
* := (Aji) =	A21	A22    .	.    A2n
	\ Ani	An2    .	Ann J
Matice adjungovaná k matici A se tedy vytvoří tak, že místo každého prvku a^ napíšeme jeho algebraický doplněk Aij a nakonec celou takto vznikou matici transponujeme.
• Je-li A reg. matice pak
A-
A*
• Kramerovo pravidlo: Systém lineárních rovnic Ax = b, A je reg. Označme Ai matici, kterou získáme z matice A záměnou jejího i-tého sloupce za sloupec pravých stran b. Potom (jediné) řešení x = (xi,..., xn) tohoto systému je dáno vztahem
\A\
1,
2