Třetí zápočtová písemka z MB101 - verze A (V. Kubáň)
20.11.2008
1.   Ověřte všech 8 axiomů z definice vektorového prostoru a podmínky uzavřenosti na sčítání a násovení skalárem pro množinu P všech polynomů stupně maximálně 4 a minimálně 2. Operace sčítání a násobení skalárem jsou definovány normálně.
2.   Množina M generuje vektorový podprostor v IR5. Doplňte ji na bázi ortogonálními vektory (takovými, že jsou kolmý ke všem vektorům z množiny M). Doporučení: Najděte bázi podprostoru generovaného množinou M a pak najděte její ortogonální doplněk.
M ={(-1,0, 2, 3,1), (2,1,-3, 0,1), (3,2,-4, 3, 3), (0,1,-1,1,0), (3,-1,-1,0,3)}
3.   Najděte Ker/ a Im/ (a popište ho pomocí báze), kde / je lineární zobrazení z IR4 do IR4.
/ / xi \ \        /   xi + 3x2 - 4x4   \
X2           _          X2 + X;í — 2X4
Xs                      —2X\ + Xs + X4
W x4 J J        \ -xi + 3x3 - 2x4 )
Jsou podprostory Ker / a Im / prostoru E4 ortogonální (je každý vektor z jednoho podprostoru kolmý se všemi vektory z druhého podprostoru)?
4.   Najděte matici přechodu Taß od báze ß k bázi a a matici přechodu Tßa
2
od báze a k bázi ß. Nalezněte [x]a a [y]ß, víte-li, že [x]ß =
4 1 3
. Báze:
« = {(1,0,-1),(0,1,2),(1,1,0)},
/3 = {(0,1,1), (1,2,1), (1,1,1)}.
5. Najděte matici Aaß lineárního zobrazení / v bazích aaß, kde báze jsou zadány v předchozím příkladu.
1
Třetí zápočtová písemka z MB101 — verze B (V. Kubáň)
20.11.2008
1.   Ověřte všech 8 axiomů z definice vektorového prostoru a podmínky uzavřenosti na sčítání a násovení skalárem pro množinu M všech matic
/ a 0 b \ 3x3 tvaru  I   0   c   0   I , kde a,b,c,d,e jsou nezáporná reálná čísla.
\d 0 e J Operace sčítání a násobení skalárem jsou definovaný normálně.
2.   Množina M generuje vektorový podprostor v IR5. Doplňte ji na bázi ortogonálními vektory (takovými, že jsou kolmý ke všem vektorům z množiny M). Doporučení: Najděte bázi podprostoru generovaného množinou M a pak najděte její ortogonální doplněk.
M ={(1,1,-1,-1,1), (-1,0, 3,1,2), (3, 4,-1,-3,6), (0,1,-1,0,1), (-1,4,-1,1, 6)}
3.   Najděte Ker/ a Im/ (a popište ho pomocí báze), kde / je lineární zobrazení z IR4 do IR4.
/ / Xi  \ \      í          X1+X4          \
x2          _                 2x2 - X3
x3                     X\ + rLx2 — x3 + £4
V V Xa / /       V ^xi — 2x2 + Xs + 3X4 )
Jsou podprostory Ker / a Im / prostoru E4 ortogonální (je každý vektor z jednoho podprostoru kolmý se všemi vektory z druhého podprostoru)?
4.   Najděte matici přechodu Taß od báze ß k bázi a a matici přechodu Tßa
2
od báze a k bázi ß. Nalezněte [x]a a [y]ß, víte-li, že [x]ß
f
ß
4 1 3
. Báze:
« = {(-1,0,1),(0,1,-1),(-1,1,1)}, /5 = {(2,1, 2), (1,0,1), (0,2,1)}.
5. Najděte matici Aaß lineárního zobrazení / v bazích aaß, kde báze jsou zadány v předchozím příkladu.
XiW   í X2~2xa
/ [  [   x2          =      xi + x2-x3
x3 J J       \        -2:zi
2
Třetí zápočtová písemka z MB101 - verze C (V. Kubáň)
20.11.2008
1.   Ověřte všech 8 axiomů z definice vektorového prostoru a podmínky uzavřenosti na sčítání a násovení skalárem pro množinu F všech konstantních funkcí na celém IR. Operace sčítání funkcí je součet funkcí a násobení skalárem je definováno vynásobení funkce v každém bodě.
2.   Množina M generuje vektorový podprostor v IR5. Doplňte ji na bázi ortogonálními vektory (takovými, že jsou kolmý ke všem vektorům z množiny M). Doporučení: Najděte bázi podprostoru generovaného množinou M a pak najděte její ortogonální doplněk.
M ={(0,1,-1,1,0), (-1,0, 2, 3,1), (-3,1,5,10, 3), (2,1,-3, 0,1), (3, 2,-4, 3, 3)}
3.   Najděte Ker/ a Im/ (a popište ho pomocí báze), kde / je lineární zobrazení z IR4 do IR4.
/	/ Xi   \	\		í     -xi + 2x2 + x3     \
	x2			Xi  + X3
	x3			2X\  + X2 — X3 + £4
v	\ x4 J	)		\ 2xi + 3x2 + x3 + x4 J
Jsou podprostory Ker / a Im / prostoru E4 ortogonální (je každý vektor z jednoho podprostoru kolmý se všemi vektory z druhého podprostoru)?
4. Najděte matici přechodu Taß od báze ß k bázi a a matici přechodu Tßa
2 od báze a k bázi ß. Nalezněte [x]a a [y]ß, víte-li, že [x]ß =
4 1 3
. Báze:
« = {(1,1,1),(2,1,1),(0,1,2)},
ß = {(l, 1,0), (0,1,1), (1,2,0)}.
5. Najděte matici Aaß lineárního zobrazení / v bazích aaß, kde báze jsou zadány v předchozím příkladu.
2xi + 2x3
-2x2
-Xi + x2 - x3
3
Třetí zápočtová písemka z MB101 - verze D (V. Kubáň)
20.11.2008
1.   Ověřte všech 8 axiomů z definice vektorového prostoru a podmínky uzavřenosti na sčítání a násovení skalárem pro množinu X všech polynomů stupně maximálně 3 s koeficienty v absolutní hodnotě menšími než 1000. Operace sčítání a násobení skalárem jsou definovány normálně.
2.   Množina M generuje vektorový podprostor v IR5. Doplňte ji na bázi ortogonálními vektory (takovými, že jsou kolmý ke všem vektorům z množiny M). Doporučení: Najděte bázi podprostoru generovaného množinou M a pak najděte její ortogonální doplněk.
M ={(0,1,-1,0,1), (-1,0, 3,1,2), (-1,4,-1,1, 6), (1,1,-1,-1,1), (2, 3, 0,-2, 5)}
3.   Najděte Ker/ a Im/ (a popište ho pomocí báze), kde / je lineární zobrazení z IR4 do IR4.
x3 \ x4 )
(     -Xi + X3 + XA    \
2x\ + 2^2 + 3^4
X\ + X2 + X4
\  3xi + Ax2 + x3  )
Jsou podprostory Ker / a Im / prostoru E4 ortogonální (je každý vektor z jednoho podprostoru kolmý se všemi vektory z druhého podprostoru)?
4. Najděte matici přechodu Taß od báze ß k bázi a a matici přechodu Tßa
2 od báze a k bázi ß. Nalezněte [x]a a [y]ß, víte-li, že [x]ß =
4 1 3
. Báze:
« = {(1,3,0),(0,1,-1),(0,0,1)},
ß={(-l, 2,1), (1,-2,0), (0,1,-1)}.
5. Najděte matici Aaß lineárního zobrazení / v bazích aaß, kde báze jsou zadány v předchozím příkladu.
4