Třetí zápočtová písemka z MB 101, verze A
Vojtěch Kubáň, 23.11.2009
1.  Vypočítejte determinant
1      2-203
0-2-201 -10      1      0    2.
1 1 1-12 -12      0      10
2.  Vyřešte soustavu rovnic s parametrem a a diskutujte řešení v závislosti na parametru.
x   +   y    +    (a + \)z   =   1 x   +   2y   +        az        =   1 . x   +   2y   +   (2a+ 1)2   =   2
3.   Najděte vektorové prostory vzniklé sjednocením a průnikem prostorů generovaných množinami M a N. A určete jejich dimenze.
M = {(1,2,0), (1,0,1)}        TV = {(0,1,1), (1,2,-1)}.
4.   Je dáno lineární zobrazení / : M3 —>■ M2 definované /(x) = (a^2 + #3, #1 — £3) a báze a = {(1, 2, 0), (1,0,1), (0,1,0)} & ß = {(3,1), (2,1)}.
(a)   Určete vektorové podprostory Ker/ a Im/.
(b)   Určete matici Aßa zobrazení / z báze a do báze ß.
(c)   Najděte souřadnice vektoru /(v) v bázi /3 víte-li, že [tí]a =
[i,-i,o]a.
5.   Najděte všechny jednotkové vektory, které jsou kolmé k vektorům (2,1, —2), (1, 0,1). (Jednotkový znamená, že jeho norma je rovna
1
Třetí zápočtová písemka z MB 101, verze B
Vojtěch Kubáň, 23.11.2009
1. Vypočítejte determinant
1	1	1	-2	1
0	-2	-1	2	2
0	0	1	-1	1
1	0	0	-1	3
-1	1	-1	2	0
2.  Vyřešte soustavu rovnic s parametrem a a diskutujte řešení v závislosti na parametru.
x                        +    z   =   0
x   +       ay       +   2z   =   1 . x   +   (a + l)y   +    z    =   1
3.   Najděte vektorové prostory vzniklé sjednocením a průnikem prostorů generovaných množinami M a N. A určete jejich dimenze.
M = {(1,0,1), (1,2,0)}        TV = {(1,2,-1), (0,1,1)}.
4.   Je dáno lineární zobrazení / : M3 —>■ M2 definované /(x) = (#2 + #3, #1 — x%) a báze a = {(1, 2, 0), (1,0,1), (0,1,0)} & ß = {(3,1), (2,1)}.
(a)   Určete vektorové podprostory Ker/ a Im/.
(b)   Určete matici A^ zobrazení / z báze a do báze ß.
(c)   Najděte souřadnice vektoru /(v) v bázi ß víte-li, že [tí]a = [1,-1,0]«.
5.   Najděte všechny jednotkové vektory, které jsou kolmé k vektorům (3,1,1), (2,1, 2). (Jednotkový znamená, že jeho norma je rovna
2