1 1) Je množina W podprostor v R3 ? a) W = {[2k+l, k-l, 3k+l]; k,l R} b) W = {[1, 2r, 3r]; r R} Řešení a) pro všechny u, v W, aR musí platit * u+v W u = (2s+t,s-t,3s+t), v = (2r+p,r-p,3r+p) u+v = (2s+2r+t+p, s+r-t-p, 3s+3r+t+p) = (2(s+r)+(t+p),(s+r)-(t+p), 3(s+r)+(t+p)) když s+r = k, t+p = l, u+v = (2k+l,k-l,3k+l) W * a.uW u =(2s+t,s-t,3s+t) a.u = (a(2s+t), a(s-t),a(3s+t))=(2as+t,as-at,3as+at) když as = k, at = l a.u = (2k+l,k-l,3k+l) W je vektorový podprostor b) tato množina neobsahuje nulový vektor [0,0,0] ­ tzn. hned můžeme říci, že to není podprostor 2) Urči lineární obal a) vektorů (1,0,-1), (-2,1,1), (1,2,3), (3,-2,1) [Span< - - 3 2 1 , 1 1 2 , 1 0 1 >] b) matic - 111 202 , 543 210 , 654 321 3) Urči obraz a řádkový prostor matice -- - 231 102 131 4) Urči jádro matice a) - - 6133 2312 4321 [Span< - 1 0 2 0 >] b) - 6033 2312 4321 [Span< - - 1 0 2 0 , 0 1 3 3 >] 5) Jedná se o bázi R4 ? Pokud ne, tak přidejte vektory tak, aby to báze byla. a) {(-3,2,0,4), (1,5,6,4), (1,1,1,1)} [přidáme (0,0,1,0),(0,0,0,1)] b) {(-1,1,0,0), (2,-3,1,0), (0,-1,1,0), (0,0,-1,1)} [přidáme (0,0,0,1)] 6) Jedná se o bázi R3 ? a) (1,2,3), (-1,0,2), (0,2,-1) [ano] b) (1,2,3), (3.0.-1), (-2,2,4) [ne, je třeba přidat (0,0,1)] 7) Najděte souřadnice vektoru v v bázi w vektorového prostoru V: a) v = (2,1,1), w={(2,7,3), (3,9,4), (1,5,3)} [<-5;4;0>w] b) v = (-4,8,0), w = {(1,2,3), (3,-2,1), (-2,0,0)} [<1;-3;-2>w] 8) Lze z vektorů (0,3,-1), (1,1,1), (2,-2,1), (0,1,0) vybrat bázi R3 ? [ano, např:(0,3,-1), (1,1,1), (0,1,0)] BÁZE prostoru Rn = n lineárně nezávislých vektorů 2 9) Určete matici přechodu od báze u k bázi v, u = {(3,1),(4,1)}, v = {(1,2),(1,1)} Řešení: -- == - - = = = - - 75 32 12 11 , 12 11 , 11 43 1 1 UVT VVU T je matice přechodu od báze u k bázi v Využijeme to např. když máme vektor (2,1) ve standartní bázi e={(1,0),(0,1)} V bázi u jsou souřadnice vektoru: (2,-1)u (protože 2.(3,1)-1.(4,1)=(2,1)) A nyní chceme vektor (2,-1)u převést do báze v: T.(vektor)u = (vektor)v - = - -- 3 1 1 2 75 32 (2,-1)u = (-1,3)v (pro kontrolu, když převedeme vektor (-1,3)v do stand. báze = -1.(1,2)+3.(1,1)=(2,1)) 10) Najděte matici přechodu od báze M k bázi N M = {(2,1,3), (-3,1,-2), (5,-2,4)}, N = {(3,1,0), (1,1,0), (0,3,1)} 11) Pomocí matice přechodu najděte souřadnice vektoru u v bázi N, pokud znáte: M = {(2,1,3), (-3,1,-2), (5,-2,4)} N = {(-2,0,1), (-1,1,1), (1,-2,0)} {u}M = (0,2,-1) u= 12) Najděte matici přechodu ve vektorovém prostoru P2 (tzn. polynomy největšího stupně 2) od báze M k bázi N. M = {x2 +3, x-1, 3} N={x2 +x, x2 +1, x+1} 13) Najděte matici přechodu od báze M k bázi N (ve vektorovém prostoru všech matic 2 x 2 nad tělesem reálných čísel) M = {A1, A2, A3, A4} N = {B1, B2, B3, B4} - = = = - = = = = - = 10 00 , 03 00 , 00 11 , 00 42 10 00 , 01 00 , 00 11 , 00 11 4321 4321 BBBB AAAA Lineární zobrazení ­ strana 88 přednášky MB 101 (nastudovat individuálně) + řešené příklady na demo cvičení T = MATICE PŘECHODU OD U V T = V-1 * U T * (souřadnice vektoru v bázi u) = (souřadnice vektoru v bázi v) 3 Euklidovský prostor Vektorový prostor se skalárním součinem u.v = u1v1+ ... + unvn je euklidovský prostor. Je zde definována délka vektoru a úhel mezi vektory. Ortogonální vektory = jsou na sebe kolmé u.v = 0 Ortogonální doplněk k Y v Rn = množina všech vektorů, které jsou kolmé na všechny vektory v Y př.: V = Span<(0,1,0), (0,0,1)> 1) Jsou následující podprostory R4 kolmé? U = Span<(1,2,3,0), (1,-1,0,0)> V = Span<(2,2,-2,5)> Řešení: musí být na sebe kolmé vektory báze (1,2,3,0).(2,2,-2,5) = 2+4-6 = 0 (1,-1,0,0).(2,2,-2,5) = 2-2 = 0 Tzn. jsou na tebe kolmé 2) Určete ortogonální doplněk V = Span<(1,0,2), (1,-1,2)> 3) Určete ortogonální doplněk X = Span<(1,-1,1,0,0), (1,0,1,0,1), (1,1,0,-1,1)> [Span<(1,0,-1,1,0),(0,-1,-1,0,1)>] Fundamentální podprostory matice opět určujeme jádro, řádkový prostor, sloupcový prostor 4) Určete Ker A, Im A, Ker AT , Im AT - - = 6133 2212 4321 A (řešení ve skriptech, str. 104) 5) Určete Ker A, Im A, R(A) - - = 4021 3101 2111 A [Ker A =Span< - 1 3 5 6 >, Im A = Span< - 1 1 1 , 2 0 1 , - 0 1 1 >, R(A)= Span<(1,1,-1,2),(-1,0,1,3),(1,2,0,4)>] Obecné vektorové prostory se skalárním součinem Zobrazení V x V do R nazýváme skalární součin na V, pokud má následující vlastnosti: a) pozitivní definitnost > 0 = 0 právě když u = 0 b) symetrie = c) linearita = a + b 4 Skalární součin definuje normu (délku) vektoru uuu ,= Euklidovská norma 22 12 ..., nuuuuu ++== Frobeniova norma s=F A , s = součet druhých mocnin všech prvků v matici Problém nejmenších čtverců - používá se pro nalezení interpolačního polnomu (lineární, kvadratický, ... atd.) - máme určité hodnoty, naměřená data a chceme k tomu odpovídající rovnici - systém nemá řešení, my hledáme x jehož hodnota Ax je co nejblíže b AT Ax = AT b 1) Najděte přibližné řešení soustavy x1 + x2 = 1 x1 - 2x2 = 2 3x1 + x2 = -1 2x1 - x2 =2 Řešení: kdybychom se snažili soustavu vyřešit ... jako dříve, zjistíme, že nemá řešení my chceme přibližné řešení, proto použijeme vzorec AT Ax = AT b 7 6 15 4 6 4 . 70 015 2 1 2 1 . 1121 2311 , 12 13 21 11 . 1121 2311 2 1 2 1 , 12 13 21 11 2 1 2 1 2 1 -= = - = - -- = - - -- - = - - = x x x x x x bA Lineární aproximace ­ metoda se nazývá lineární regrese, snažíme se vytvořit podle zadaných dat lineární funkci, neboli přímku procházející danými body, y = kx + q, hledáme k, q Kvadratická aproximace ­ nyní chceme daty proložit parabolu, y = ax2 + bx + c, hledáme a, b, c 2) Určete regresní přímku udávající závislost výšky na věku dítěte výška (cm) 50 53 57 65 věk (měsíců) 0 1 3 6 Řešení: Hledáme fci y = kx + q, tzn. q a k y = výška (závislost výšky) , x = věk 5 = = 65 57 53 50 , 16 13 11 10 bA dosadíme do vzorce AT Ax = AT b a po úpravách získáme: = 225 614 . 410 1046 q k dopočítáme buď přes inverzní matici nebo přes eliminaci k = 2,45 q = 50,12 tedy hledaná rovnice je y = 2,45 x + 50,12 (čím více budeme mít dat, tím více bude rovnice přesná) 3) Pomocí nejmenších čtverců určete kvadratickou aproximaci dat: [0,1], [1,6], [2,21], [3,45] [Návod: tzn. máme zadány dvojice bodů [x,y] a máme určit rovnici y = ax2 +bx+c, postupujeme jako v předchozím příkladě, pouze za x tentokrát dosazujeme vektor (a,b,c)) = = 45 21 6 1 , 139 124 111 100 bA ... hledaná funkce bude mít tvar: y = 4,75x2 + 0,45x + 0,95] ortogonál ní množina vektorů = každý vektor z množiny je kolmý na zbývající vektory z této množiny ortonormální množina vektorů = je ortogonální a navíc velikost každého vektoru je rovna jedné ortogonální matice : AT = A-1 (neboli její sloupce tvoří ortonormální množinu) 4) Určete zda množina M = {(1,1,1), (-1,1,0), (-1,-1,2)} je ortogonální nebo ortonormální. (nebo nemusí být ani jedno) [všechny vektory jsou navzájem kolmé, ale velikost všech není rovna jedné, proto je množina ortogonální] 5) Rozhodněte, zda je matice ortogonální: A = - 2 2 2 2 2 2 2 2 [zjistíme, jestli platí AT = A-1 , ano platí , takže je ortogonální] 6) Rozhodněte, zda je matice ortogonální: A = - -- 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 [je ortogonální] 6 Projekce vektoru na podprostor Určíme ortonormální bázi podprostoru a potom projekce p: p = .u1 + .u2 + ... atd vzdálenost vektoru u od podprostoru W = vzdálenost vektoru u od jeho projekce = puWuv -=),( úhel mezi vektorem u a podprostorem W určíme: u p =cos GramSchmidtův proces ­ pomocí něj nalezneme ortonormální bázi v1 = u1 1) Převeďte tuto bázi {(0,1,1), (1,0,1), (1,1,0)} na ortonormální bázi prostoru R3 . Řešení: v1 = u1 = (0,1,1) ) 2 1 , 2 1 ,1()1,1,0( 2 1 )1,0,1()1,1,0( )1,1,0(),1,1,0( )1,1,0(),1,0,1( )1,0,1( , , )1,0,1( 1 11 12 122 -=-=-=-=-= v vv vu puv ) 3 2 , 3 2 , 3 2 () 2 1 , 2 1 ,1( 3 1 )1,1,0( 2 1 )0,1,1( ) 2 1 , 2 1 ,1( ) 2 1 , 2 1 ,1(), 2 1 , 2 1 ,1( ) 2 1 , 2 1 ,1(),0,1,1( )1,1,0( )1,1,0(),1,1,0( )1,1,0(),0,1,1( )0,1,1( , , , , )0,1,1( 2 22 23 1 11 13 233 -=--- =- -- --=--=-= v vv vu v vv vu puv a ještě provedeme normalizaci (w) -= ++ - = -= ++ - = = ++ = 3 3 , 3 3 , 3 3 9 4 9 4 9 4 ) 3 2 , 3 2 , 3 2 ( 6 1 , 6 1 , 3 2 4 1 4 1 1 ) 2 1 , 2 1 ,1( ) 2 1 , 2 1 ,0( 110 )1,1,0( 3 2 1 w w w a hledaná ortonormální báze je (w1, w2, w3) 7 2) Najděte kolmou projekci vektoru v = (1,2,3) na podprostor W = Span <(1,0,0), (0,1,0)> Řešení: Protože podprostor W je již zadán ortonormální bází (to si ověřte), použijeme rovnou vzorec p = .u1 + .u2 = <(1,2,3),(1,0,0)>.(1,0,0)+<(1,2,3)(0,1,0)>.(0,1,0)=(1,2,0) 3) Určete projekci vektoru x na podprostor W: x = (2,-2,3) W = Span<(1,1,-1), (2,-1,0)> [(3/2, -3, 3/2)] 4) Určete kolmý průmět vektoru u = (0,0,7) na podprostor W generovaný vektory (1,2,1), (-2,1,1). Dále určete vzdálenost vektoru u od podprostoru W a také úhel mezi vektorem a podprostorem W. [p=(-1,3,2), vzdálenost = 35 , úhel: 7 2 cos = ] 8 Vlastní hodnoty a vlastní vektory vlastní číslo matice A se značí a je to takové číslo, pro které existuje alespoň jeden vektor u tak, že platí: A.u = .u vektor u se nazývá vlastní vektor matice A příslušející číslu Pro různé čísla jsou vektory lineárně nezávislé. Pro jedno vyjít vice vektorů, potom se množina těchto vektorů označuje jako Eigen () (=Span). Matice A je singularní, když existuje alespon jedno číslo rovno nule. Pokud žádné číslo není rovno nule, potom je matice regulární. Když je matice A regulární a má vlastní číslo , potom inverzní matice k matici A má vlastní číslo 1/. Matice A a transponovaná matice k matici A mají stejné vlastní hodnoty. 1) Názorně: == =-= - - = 5 2 ,2 1 1 ,1 45 23 2 1 v u A vlastnímu číslu -1 přísluší vektor u, tzn. zkusíme vypočítat A.u = .u (a to same pro vl. č. 2, k němu přísluší vektor v) Vlastní čísla vypočítáme z charakteristické rovnice: 0=- IA dále platí: det A = 1. 2. ... . n tr A = 1+ 2+ ... + n (stopa, tj. součet prvků na hlavní diagonále) Algebraická násobnost čísla = násobnost jako kořene charakteristické rovnice Geometrická násobnost čísla = dim (Eigen()) 2) Najděte vlastní čísla a vektory matice A. Určete determinant matice, stopu matice a násobnosti vlastních čísel. , 103 011 111 , 210 111 111 -- = - - = BA 3) Najděte vlastní čísla a vektory daných matic: - = - - - = = 310 11 , 231 121 132 , 20 51 CBA +- -= -- += - = = = = i i i iC BA 31 1 ,32, 31 1 ,32: 1 0 1 , 0 1 3 ,1 1 1 1 ,0:; 1 5 ,2, 0 1 ,1: 21 3,2121 9 Diagonalizovatelná matice = čtvercová matice A řádu n, pro kterou existuje diagonální matice D a regulární matice P tak, že platí: A = P. D. P-1 (neboli D = P-1 . A. P) Nalezení matice D a P se nazývá diagonalizace A. (to lze pokud má matice n vlastních vektorů) Matice P se skládá z lineárně nezávislých vlastních vektorů matice A a matice D je diagonální a na diagonále jsou vlastní čísla matice A. 4) Nalezněte diagonalizaci matice - - - = 446 454 325 A Řešení: Najdeme vlastní čísla a vlastní vektory matice A. = = = = = 212 201 111 , 300 020 001 2 2 1 ,3, 1 0 1 ,2, 2 1 1 ,1 321 PD Do matice D ­ na úhlopříčku poskládáme vlastní čísla. Do matice P vložíme vlastní vektory ve stejném pořadí jako vlastní čísla. 5) Nalezněte diagonalizaci matice - - - = 231 121 132 A - = = 011 101 311 , 100 010 000 PD 6) Pomocí diagonalizace matice A určete A50 . = 23 01 A += 5050 50 22.33 01 A Cayley-Hamiltonova věta: Každá matice A je kořenem svého charakteristického polynomu. 7) Pomocí Cayle-Hamiltonovy věty vypočtěte A2 . - = 53 21 A Řešení: Zjistíme si charakteristický polynom. (do charakt. rovnice dosadíme matici A, vyjádříme si A2 a vypočítáme) -- =-= =+- +- 1918 125 116 0116 116 2 2 2 AA AA 8) Pomocí Cayle-Hamiltonovy věty vypočtěte A3 . - - = 322 102 124 A - - - = 273838 193038 193846 3 A U symetrických matic A ještě určujeme TYP, tzn. jestli je: pozitivně definitní ­ všechna vlastní čísla jsou kladná pozitivně semidefinitní ­ všechna vlastní čísla jsou kladná nebo nula negativně definitní ­ všechna vlastní čísla jsou záporná negativně semidefinitní ­ všechna vlastní čísla jsou záporná nebo nula 9) Určete typ symetrických matic: -- -- = = - - = = 11 11 , 11 11 , 21 12 , 21 12 DCBA [A poz.def., B neg. def., C poz.semi., D neg. semi]