Co bych měl vědět o polynomech
MB102 ­ 1. demonstrovaná cvičení
Interpolační polynomy
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
23.9. 2009
Co bych měl vědět o polynomech
Plán přednášky
1 Co bych měl vědět o polynomech
Co bych měl vědět o polynomech
(Základní věta algebry) Každý polynom s koeficienty v C má
kořen v C.
Co bych měl vědět o polynomech
(Základní věta algebry) Každý polynom s koeficienty v C má
kořen v C.
Ne každý polynom s reálnými koeficienty má kořen v R.
Co bych měl vědět o polynomech
(Základní věta algebry) Každý polynom s koeficienty v C má
kořen v C.
Ne každý polynom s reálnými koeficienty má kořen v R.
Pomocí Hornerova schematu umíme dělit polynom lineárním
mnohočlenem (x - a) a při tom zjistíme hodnotu polynomu v
bodě a.
Co bych měl vědět o polynomech
(Základní věta algebry) Každý polynom s koeficienty v C má
kořen v C.
Ne každý polynom s reálnými koeficienty má kořen v R.
Pomocí Hornerova schematu umíme dělit polynom lineárním
mnohočlenem (x - a) a při tom zjistíme hodnotu polynomu v
bodě a.
Polynom stupně n je zadán svými hodnotami v (n + 1)
bodech.
Co bych měl vědět o polynomech
(Základní věta algebry) Každý polynom s koeficienty v C má
kořen v C.
Ne každý polynom s reálnými koeficienty má kořen v R.
Pomocí Hornerova schematu umíme dělit polynom lineárním
mnohočlenem (x - a) a při tom zjistíme hodnotu polynomu v
bodě a.
Polynom stupně n je zadán svými hodnotami v (n + 1)
bodech.
Máme-li zadáno (n + 1) dvojic (xi , yi ), i = 0, . . . , n, pak pro
každé m > n existuje nekonečně mnoho polynomů P stupně
m takových, že P(xi ) = yi .
Co bych měl vědět o polynomech
Příklad 1. Určete polynom L  C[x] zadaný následujícími
podmínkami: L(1) = 2, L(2) = 3, L(3) = 5.
Co bych měl vědět o polynomech
Příklad 1. Určete polynom L  C[x] zadaný následujícími
podmínkami: L(1) = 2, L(2) = 3, L(3) = 5.
Řešení. L(x) = 1
2 x2 - 1
2 x + 2. 2
Co bych měl vědět o polynomech
Příklad 1. Určete polynom L  C[x] zadaný následujícími
podmínkami: L(i) = i, L(1) = -i, L(1 - i) = 1.
Co bych měl vědět o polynomech
Hermiteův polynom můžeme určit podobně pomocí
fundamentálních Hermiteových polynomů:
h1
i (x) = 1 l
(xi )
l (xi )
(x - xi ) (li (x))2
h2
i (x) = (x - xi ) (li (x))2
,
kde l(x) = n
i=1(x - xi )
Co bych měl vědět o polynomech
Hermiteův polynom můžeme určit podobně pomocí
fundamentálních Hermiteových polynomů:
h1
i (x) = 1 l
(xi )
l (xi )
(x - xi ) (li (x))2
h2
i (x) = (x - xi ) (li (x))2
,
kde l(x) = n
i=1(x - xi )
Tyto polynomy splňují následující podmínky:
h1
i (xj ) = j
i
(h1
i ) (xj ) = 0
Co bych měl vědět o polynomech
Hermiteův polynom můžeme určit podobně pomocí
fundamentálních Hermiteových polynomů:
h1
i (x) = 1 l
(xi )
l (xi )
(x - xi ) (li (x))2
h2
i (x) = (x - xi ) (li (x))2
,
kde l(x) = n
i=1(x - xi )
Tyto polynomy splňují následující podmínky:
h1
i (xj ) = j
i
(h1
i ) (xj ) = 0
h2
i (xj ) = 0
(h2
i ) (xj ) = j
i
Co bych měl vědět o polynomech
Příklad 2. Určete Hermiteův interpolační polynom H zadaný
následujícími podmínkami:
H(0) = 2, H(1) = 3, H (0) = 1, H (1) = 0
Co bych měl vědět o polynomech
Příklad 2. Určete Hermiteův interpolační polynom H zadaný
následujícími podmínkami:
H(0) = 2, H(1) = 3, H (0) = 1, H (1) = 0
Řešení. H(x) = -x3 + x2 + x + 2 2
Co bych měl vědět o polynomech