Druhá sada domácích úloh, Matematika II
k odevzdání v úterý 6.10. 2009
Příklad 1. Určete hromadné, izolované, hraniční a vnitřní body následujících podmnoľin v R:
1. {1, 1
2 , 1
4 , 1
8 , . . . }
2. Q
3. {x  R| 0  x2
< 2}.
Svá tvrzení zdůvodněte.
Příklad 2. Udejte příklad
1. podmnožiny v R, která není ani otervřená ani uzavřená,
2. podmnožiny v R, která je uzavřená, ale není kompaktní,
3. nekonečně mnoha uzavřených podmnožin R jejichž sjednocením je otevřená množina,
4. nekonečně mnoha otevřených podmnožin R jejichž průnikem je uzavřená množina.
Příklad 3. Buď f : R  R definována následovně:
f(x) =
x3
+ x2
+ x + 2 jestliže x  Q
1 jestliže x / Q
Určete, ve kterých bodech je f spojitá. Zdůvodněte.