PŘÍKLAD 1. Zapište obě možnosti pořadí integrace funkce f(x,y) na množině ohraničené
osou y, grafem funkce y = ex
a přímkou procházející body [1, e], [0, 2e].
PŘÍKLAD 2. Pomocí trojného integrálu odvoďte známý vzorec pro objem koule.
[Návod: Uvažujte kouli o poloměru R se středem v počátku a využijte transformace do sférických
souřadnic]
PŘÍKLAD 3. Určete hmotnost tělesa, které je průnikem koule x2
+ y2
+ z2
< 4 a válce
x2
+ y2
< 1 v poloprostoru z > 0 a jehož hustota je v bodě [x,y,z] rovna kolmé vzdálenosti
tohoto bodu od roviny xy.
PŘÍKLAD 4. Pomocí složeného lichoběžníkového pravidla s uzly 0 , ^ , ^ , 1 odhadněte hodnotu
integrálu
i
/<*.(**) dx.
o
PŘÍKLAD 5. Vypočtěte integrál
3 V9-IE2
/ / = dydx.
J J \ x2
+ y2
_3_ 0 V
[Návod: Použijte transformaci do polárních souřadnic]
hŘEŠENÍ
PŘÍKLADU 1. Ihned z obrázku:
1 2e--ex e Int/ 2e 2-- /
/ /(z, 2/) dydx= / /(x,y) dxdy + / /(x,y) dxdy.
0 e* 1 0 e 0
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 2. re[0,R],<pe [0,2TI-], 0 e [0,ir],V = fvri?3
.
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 3. Transformací do cylindrických souřadnic (a integrací polynomu)
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 4. ~\ ' ~^ + \ ' ^ +\ ~ 0-47
ŘEŠENÍ PŘÍKLADU 5. Těžší příklad - v mezích je závislost a použití substituce t = sirup
vede na (jednoduché) parciální zlomky. Celkem = |7r -- ^ p ln(3 + 2i/2).