Matematika III - 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 18. 9. 2007 O Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných 9 Funkce více proměnných » Topologie euklidovských prostorů • Křivky v euklidovských prostorech • Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). » Předmětové záložky v IS MU V diferenciálním a integrálním počtu funkcí jedné proměnné jsme se (jak už název napovídá) zabývali zobrazeními f : R -* R. Přirozeně se nabízí otázka, jak příslušné pojmy zobecnit pro případ zobrazení f : Rm -»■ R". Začneme dvěma speciálními případy: • n=l - funkce více proměnných • m=l - křivka v prostoru R" Definice Zobrazení f : R" —> R nazýváme reálna funkce více proměnných (ty obvykle značíme xi,... , x„). Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x,y,z. To znamená, že funkce f definované v „prostoru" En = R" budou značeny ŕ:R"9(x1,...,xn)^ŕ(x1,...,xn)GR a např. funkce f definované v „rovině" E2 = R2 budou značeny f : R2 3 (x, y) ^ f (x, y) G R Definiční obor A c R" - množina, kde je funkce definována. (Častým úkolem - nejen - v písemkách bývá nalézt k dané formuli pro funkci co největší definiční obor, na kterém má tato formule smysl.) Zobrazeni a funkce vice promennýc! o«ooooooooooooooooo funkce ' Příklad ' Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f(x, y) = arccos(x2 + y2 — 1) + y |x| + M " -V2. Funkce arccos připouští argument pouze z intervalu [—1,1], odmocnina připouští pouze nezáporný argument. Definičním oborem je tedy množina bodů (x, y) vyznačená na obrázku. Definice Grafem funkce více proměnných je podmnožina GfCR"xR = Rn+1 splňující Gf = {(*1, • • • ,Xn, f(xi, ■ ■ ■ ,Xn))\ (Xl, ■ ■ ■ , Xn) G A}, kde A je definiční obor funkce f. ' Příklad T Grafem funkce definované v E2 c í \ x+y 2- je plocha na obrázku, maximálním definičním oborem je £2\{(0,0)}. 0--2--4; ^T~^ o^^p ^2^7 f-7 ^-3 3 300*000000000000000 dvou promění U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Definice Nechť f : R2 - -^Rje fc funkce d = (*, y) vou proměnných eR2:f(x,y) = c G c R. M nožinu nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Zřejmě jde v případě vrstevnice na úrovni c o přímou analogii řezu grafu funkce f rovinou z = c. Pro představu o grafu funkce dvou proměnných jsou samozřejmě užitečné rovněž řezy rovinami x = O (bokorys), y = O (nárys), z = O (půdorys). Zobrazeni a funkce vice promennýc! OOOO0OOOOOOOOOOOOOO Příklad Pomocí vrstevnic a řezů určete graf funkce f{x,y) = yx2 + y Řešení Viz ilustrace v programu Maple. Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením W, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na R" definován standardní skalární součin u v = Yľl=\ xiYi' kde u = (xi,... ,xn) a v = (y1,..., yn) jsou libovolné vektory. Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti ||Q — P\\ dvojic bodů P, Q předpisem iiq-pii2 = h2 = X>2> kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. v E2 je vzdálenost bodů P\ = (xi,yi) a Pí = (x2,y2) dána ||P2-Pi||2 = (xi-x2)2 + (yi-y2)2. Trojúhelníková nerovnost pro každé tři body P, Q, R ||P - P|| = (((Q - p) + (p - <3)|| < Kg - P)|| + ||(p - Q)||. 31 Rozšíření pojmů topologie R pro body P, libovolného Euklidovského En\ Definice Cauchyovská posloupnost - \\P; — Pj\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j (nebo taky ||P,- — Pj\\ < e pro všechna i, j > N a vhodné N G N) , konvergentní posloupnost - ||P; — P\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazývame limitou posloupnosti P/, hromadný bod P množiny A C En - existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené o-okolí bodu P - množina Os{P) = {Q e E„- \\P-Q\\ <5}, 9 hraniční bod P množiny A - každé č-okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, • vnitřní bod P množiny A - existuje č-okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, 9 ohraničená množina - leží celá v nějakém č-okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké ô), 9 kompaktní množina - uzavřená a ohraničená množina. Pozn: pozor na kvantifikátory! Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému 5-okolí, Q každý bod a G A je buď vnitřní nebo hraniční, Q každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, Q A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, Q A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí obsahuje konečné podpokrytí, PBfl | O Jsou-li ACRm ß C R" otevřené, je otevřená i množina Ax ß C Rm+" 0 Jsou-//' /icr B C R" uzavřené, je uzavřená i množina Ax B C Rm+" O Jsou-//' ACRm B C R" kompaktní, je kompaktní i množina Ax B C Rm+" Už na příkladu s vrstevnicemi jsme viděli příklad „prostorových' křivek. Definice Křivka je zobrazení c En. Je třeba rozlišovat křivku a její obraz v En\ Příklad Obrazem křivky ř i—> (cos(ř),sin(ř)), ŕ G M v rovině Ei je jednotková kružnice, stejně jako v případě jiné křivky ř i-» (cos(ř3), sin(ř3)), ŕ e R. Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Definice • Limita: limt^to c(ř) G E„ • Derivace: c'(řo) = limt^to • Integrál: fabc(t)dt R" křivka spojitá na intervalu [a, b], pak existuje její Riemannův integrál Ja c{ť)dt. Navíc je křivka C(ř) = I c(s)ds G R" dobře definovaná, diferencovatelná a platí C'(ř) = c(ř) pro všechny hodnoty t G [a, b]. Poznámka Ne vše funguje tak jako u funkcí jedné proměnné: Věta o střední hodnotě dává pro křivku c(ř) = (ci(ř), existenci čísel íy takových, že •, c„{t)) Ci(b)-ci(á) = (b-a)-c'i(ti). Tato čísla ale budou obecně různá, nemůžeme proto vyjádřit rozdílový vektor koncových bodů c(b) — c{a) jako násobek derivace křivky v jediném bodě. Např. v rovině E2 pro c(ř) = (x(ř),y(ř)) takto dostáváme c(b) - c{a) = (x'(0(b-^y'{r]){b-a)) = (b-a)- (x'(0,/(r?)) pro dvě (obecně různé) hodnoty £, f] e [a, b]. Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> E„ v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) eM"v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je řečná /ce křivce c v bodě řo, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cosř, ř, ŕ2), ŕ G [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase ř = 0. c'(ř) = (- sin ř, 1, 2ř), c"(ř) = (- cos ř, 0, 2), c'(0) = (0,1, 0), ||c'(0)|| = 1, c"(0) = (-1, 0, 2). Zrychlení ve směru tečny je pak m^jL,, ((:'(()) • c"(0)). Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R" —> R má ve svém hromadném bodě a e R" limitu L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí O(a) bodu a tak, že pro všechna x G ö{a) \ {a} platí f (x) e 0{Ľ) Píšeme lim f (x) = L. X—>3 Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v „nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Má-li mít funkce v daném bodě limitu, nesmí záležet na „cestě", po které k danému bodu konvergujeme (analogie limit zleva a zprava u funkcí jedné proměnné). Analogické jako v případě jedné proměnné: • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, • linearita, tj. lim (c • f{x) + d ■ g{x)) = c ■ lim f{x) + d ■ lim g(x), • multiplikativita, divisibilita, • je-// limx^a f{x) = 0 a funkce g{x) je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu x, pak lim f{x)g{x) = 0. 3někdy také o dvou policajtech Příklad 1 Vypočtěte limitu funkce f(x, y) = x2+y2 u hr>H2 (C\ C\\ VxHrHi-i ■ bodct R je spojitá v hromadném bodě a G R", pokud má v a vlastní limitu a platí lim X—>3 f(x) = = f {a). Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Věta (Bolzanova) Nechť f : R" —> R _/e spojitá na otevřené souvislé množině A. Jsou-li a, b e A takové, že f (a) < 0 < f(r>), pa/c existuje c e A tak, že f{c) = 0. Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f(xi,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x, a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita Jim - {f(xl, • • •,**-i,** + t,x*+1, • • •,x*) - f(xí,...,xn*)) , říkáme, že funkce f : R" —> R má v bodě (x{,... , x*) parciální derivaci podle proměnné x/ a značíme ^,(x^,... , x*) (příp. df_ dx: -(x*,...,x*) nebo^.(x*,...,x*)). Podobně jako v případě jedné proměnné, pokud má funkce f : R" —> R parciální derivace ve všech bodech nějaké otevřené množiny, jsou tyto derivace rovněž funkcemi z R" do R. Pro funkce v E2 dostáváme d 1 ß-f(xb,yo) = \\m-(f(xo + ř,yo) - f(xo,yo)) lim x^xq f(x,yo) - f(xo,yo) x-x0 9 1 ß-f(xo,yo) = i™ -{f(*o,yo + t) - f{xQ,yQ)) lim y^yo f(xp,y) - f(xo,yo) y-yo Poznámka Parciální derivace funkce f : R2 —> R podle x v bodě (xo,yo) udává směrnici tečny v bodě (xo,yo, f(xo,yo)) ke křivce, která je průsečíkem grafu Gf s rovinou y = yo. Zobrazeni a funkce vice promennýc ooooooooooooooooooo vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Příklad Funkce f(x,y) 1 pro x=0 nebo y=0 0 jinak má v bodě (0, 0) obě parciální derivace nulové, přitom v tomto bodě neexistuje limita, a tedy není ani spojitá. Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : R" —► R má derivaci ve směru vektoru v G R" v bodě xef„, jestliže existuje derivace dvf{x) složeného zobrazení ř i-> f(x + tv) v bodě ř = 0, tj. dvf(x)= \\m-(f(x + tv)-f(x)), t->o ř Často značíme rovněž fv(x). Speciální volbou jednotkových vektorů ve směru souřadných os dostáváme právě parciální derivace funkce f. Směrové derivace jsou definovány pomocí derivací jedné proměnné, proto tam platí obvyklá pravidla pro derivování. B 1 Existují-li pro v G R" směrové derivace dvf(x), d^ *(*) funkcí f, g: Rn -»M v bodě x e E„, pak: O dkvf(x) = k dvf(x), pre libovolné k e R, Q dv{f±g){x) = dvf(x)±dvg(x), O dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) ■ f{x)dvg{x), Q pro g(x) ^ 0 Je dvW) = -^{dvf{x)g{x) - f{x)dvg{x)). Poznámka Neplatí ale aditivita vzhledem ke směrům: du+vf(x) ŕ duf(x) + dvf(x) ooooooooooooooooooo vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad ' Funkce definovaná předpisem f(x y)- 4 2 x y x8+y4 mimo počátek a f(0,0) = 0 má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá. Ke spojitosti potřebujeme silnější pojem, tzv. totální diferenciál, který si zavedeme příště.