Zobrazeni mezi euklidovskými pr oooooooooooooo Matematika III - 3. přednáška Funkce více proměnných: lokální a absolutní extrémy, zobrazení mezi euklidovskými prostory Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 9. 2007 = Q Literatura Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných 9 Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy Q Zobrazení mezi euklidovskými prostory • Zobrazení a transformace • „Chain Rule" • Věta o inverzním zobrazení • Implicitně zadaná zobrazení Literatura Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo = oooooooooooooo í zdroje Zobrazeni mezi euklidovskýrr OOOOOOOOOOOOOO Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. □ s - = oooooooooooooo í zdroje Zobrazeni mezi euklidovskýrr OOOOOOOOOOOOOO • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). » Předmětové záložky v IS MU Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných 9 Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy □ 9 - = l -O«. O Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Definice Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x G U platí f (x) < f (x*) (resp. f (x) > f(x*))- Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x^x', hovoříme o ostrém lokálním extrému. Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Definice Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x G U platí f (x) < f (x*) (resp. f (x) > f(x*))- Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x^x', hovoříme o ostrém lokálním extrému. Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f, ve kterém je diferenciál ^(x) nulový nazýváme stacionární bod funkce f. Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Definice Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x G U platí f (x) < f (x*) (resp. f (x) > f(x*))- Pokud nastáva v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x^x', hovoříme o ostrém lokálním extrému. Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f, ve kterém je diferenciál df{x) nulový nazýváme stacionární bod funkce f. Nutnou podmínkou pro existenci maxima nebo minima v bodě x* (v případě diferencovatelnosti funkce f v x*) je vymizení diferenciálu v tomto bodě, tj. df(x*) = 0. Skutečně, pokud je df(x*) 7^ 0, pak existuje směr v, ve kterém je dvf{x*) ^ 0. Pak ovšem nutně je podél přímky x* + tv na jednu stranu od bodu x* hodnota funkce roste a na druhou klesá. o«oooooooooooo Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Příklad Funkce f : E2 f (x, y) definovaná předpisem íx2+y2, pro [x,y] ^[0,0], pro[x,y] = [0,0] má v počátku ostré lokálni maximum (přitom zde není spojitá, a tedy ani diferencovatelná). = o«oooooooooooo Zobrazeni mezi euklidovskými pr oooooooooooooo Příklad Funkce f : E2 f (x, y) definovaná předpisem íx2+y2, pro [x,y] ^[0,0], pro[x,y] = [0,0] má v počátku ostré lokálni maximum (přitom zde není spojitá, a tedy ani diferencovatelná). Příklad Funkce f(x,y) = yx2 + y2 je v počátku spojitá a má zde ostré lokální minimum, přestože v tomto bodě není diferencovatelná (grafem funkce je kuželová plocha - viz první přednáška). = Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Přitom ale (podobně jako u funkcí jedné proměnné) stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. funkce f(x,y) — (x — xo)(y — yo) má v bodě [xo,yo] stacionární bod (dŕ = §£c/x + %dy = (y - yo)dx + (x - x0)dy), nemá zde však zřejmě lokální extrém (jde o tzv. „sedlo"). Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Přitom ale (podobně jako u funkcí jedné proměnné) stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. funkce f(x,y) — (x — xo)(y — yo) má v bodě [xo,yo] stacionární bod (dŕ = §£c/x + %dy = (y - yo)dx + (x - x0)dy), nemá zde však zřejmě lokální extrém (jde o tzv. „sedlo"). Poznat, jakého typu je daný stacionární bod, nám stejně jako v případě funkcí jedné proměnné umožní (díky Taylorově větě) derivace vyšších řádů. Mějme funkci f : R —► R a její stacionární bod xo (tj. ^'(xo) = 0). Je-li f"{xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Mějme funkci f : R —► R a její stacionární bod xo (tj. f'{xo) = 0). Je-li f"{xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Toto tvrzení vyplynulo z Taylorovy věty (stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x) = Tx(x) + /?!(*) = = f M + ŕ'(xo)(x - xo) + \ f"{í){x - xo)2 = = f{xo) + \f"{í){*-xo)\ kde £ leží mezi x a xq. □ S - = .= -f)<\o Mějme funkci f : R —► R a její stacionární bod xo (tj. f'{xo) = 0). Je-li f"{xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Toto tvrzení vyplynulo z Taylorovy věty (stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f{x) = Tx{x) + /?i(x) = = f M + ŕ'(xo)(x - xo) + \ f"{í){x - xo)2 = = f{xo) + \f"{í){*-xo)\ kde £ leží mezi x a xo. Ze spojitosti f" a vlastnosti f"(xo) < 0 pak pro £ dostatečně blízko xo dostáváme f"{£) < 0 a tedy /?i(x) < 0 dostatečně blízko xo . Proto zde f{x) < f(xo) a xo je lokálním maximem. Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Z Taylorovy věty pak dostáváme (opět stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f(x) = 7i(x) + /?i(x) = = f(x*) + df (x*)(x - x*) + \ d2f (0(x - x*) = = f(x*) + id2r(£)(x-x*), kde { = x* + 6>v (pro 61 G (0,1)) leží „mezi" x a x*. □ g - = ^ -OQ.O" Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Z Taylorovy věty pak dostáváme (opět stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f(x) = 7i(x) + /?i(x) = = f(x*) + df (x*)(x - x*) + \ d2f (0(x - x*) = = f(x*) + id2r(£)(x-x*), kde { = x* + 61!/ (pro 61 G (0,1)) leží „mezi" x a x*. Zbývá do více proměnných „přeložit" podmínku, která říká, že výraz d2f(0(x - x*) = (x - x*)THf(0(x - x*) je nekladný (resp. nezáporný) pro libovolné x. Definice Kvadratická forma h : En —> R je • pozitivně definitní, je-li Ku) > 0 pro všechny u 7^0 • pozitivně semidefinitní, je-li h{u) > 0 pro všech ny u G V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u 7^0 • negativně semidefinitní , je-li h{u) < 0 pro všecl my u e V • indefinitní , je-li h(u) > C a h(v) < 0 pro vhodné u, v G V. ooooo«oooooooo íegativně) definitní kva< Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Definice Kvadratická forma h : En —*■ R je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u^O • pozitivně semidefinitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u G V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u^O • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u G V 9 indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u, v G V. Často rovněž hovoříme o definitnosti matice A kvadratické formy h (jsou spolu ve vztahu h(u) = uTAu = Au ■ u). ooooo«oooooooo íegativně) definitní kva< Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Definice Kvadratická forma h : En —*■ R je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u^O • pozitivně semidefinitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u e V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u^O • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u G V 9 indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u, v G V. Často rovněž hovoříme o definitnosti matice A kvadratické formy h (jsou spolu ve vztahu h(u) = uTAu = Au ■ u). S těmito pojmy jste se setkali již v části věnované lineárním modelům a měli byste tedy umět rozeznat definitnost kvadratické formy (resp. její matice v dané bázi). OOOOOO0OOOOOOO :itivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: OOOOOO0OOOOOOO :itivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, OOOOOO0OOOOOOO :itivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) OOOOOO0OOOOOOO :itivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) OOOOOO0OOOOOOO :itivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: OOOOOO0OOOOOOO :itivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A jsou záporné, OOOOOO0OOOOOOO :itivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A jsou záporné, • hlavní minory A střídají znaménko, počínaje záporným. ooooooo«oooooo Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Nechť f : En —> R je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a x* G En nechť je stacionární bod funkce f. Potom O je-li Hf(x*) positivně (negativně) definitní, má f v x* ostré lokální minimum (maximum), Q je-li H f {x*) indefinitní, nemá f v bodě x* lokální extrém. O má-li f v x* lokální minimum (maximum), je Hf(x*) pozitivně (negativně) semidefinitní, ooooooo«oooooo Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Nechť f : En —> R je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a x* G En nechť je stacionární bod funkce f. Potom O je-/; Hf(x*) positivně (negativně) definitní, má f v x* ostré lokální minimum (maximum), Q je-li Hf(x*) indefinitní, nemá f v bodě x* lokální extrém. O má-li f v x* lokální minimum (maximum), je Hf(x*) pozitivně (negativně) semidefinitní, Všimněme si, že věta nedává žádný výsledek, pokud je hessián funkce ve zkoumaném bodě degenerovaný (nulový). Důvod je opět stejný jako u funkcí jedné proměnné. V takových případech totiž existují směry, ve kterých první i druhá derivace zmizí a my proto v tomto řádu přiblížení neumíme poznat, zda se funkce bude chovat jako ř3 nebo jako ±r4 dokud nespočteme alespoň v potřebných směrech derivace vyšší. OOOOOOOO0OOOOO Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Příklad Uvažme funkci f(x,y) = sin(x)cos(y), která připomíná známá kartónová plata na vajíčka a spočtěme její lokální extrémy. □ g - = ooooooooo«oooo Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Příklad (pok O Spočtěme si nejprve prvn parciál ní derivace: fx(x, y) = cos(x) :os(y), fy(x,y) = - sin(x)sin(y), takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů O cos(x) = = 0, sin(y) = 0, to je [x, y] = -[2T^^i pro libovolné k,£ e Z Q cos(y) = = 0, sin(x) = 0, to je [x, y] = -[kTT 2T*l pro libovolné k,£ € Z. = ooooooooo«oooo Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Příklad (pok r-) Spočtěme si nejprve prvn' parciál ní derivace: fx(x, y) = cos(x) :os(y), fy(x,y) = -sin(x)sin(y), takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů O cos(x) = = 0, sin(y) = 0, to je [x,y] = [^*M> pro libovolné k,£ e Z Q cos(y) = = 0, sin(x) = 0, to je [x,y] = [kir,^TT], pro libovolné k,£ € Z. Druhé parciá lni derivace jsou Hr(x,y)=| 'xx 'xy \ i f f ){X \'w 'yyj ,y) = ( / — si n (x) cos(y) — cos(x) s — cos(x) si n (y) — si n (x) sin(y)\ :os(y)y OOOOOOOOOO0OOO Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo ' Příklad (pokr.) 1 V našich dvou sadác i bod j tedy dostáváme následující hessiány: O Hf(k7T + ^,£7T) = ± (l 0\ 10 1; , přičemž znaménko + nastává, když k a £ jsou různé \ / parity a naopak pro —, Q Hf{kiT,£iT + l) = ± U 0/ , přičemž znaménko + nastává, když k a £ jsou různé \ / parity a naopak pro —. = OOOOOOOOOO0OOO Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Příklad (pokr.) V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: když k a £ jsou různé parity a naopak pro Q Hf(kTT,eTT + %) = ±(°i J" když hr jsou různé parity a naopak pro —. Protože naše funkce má spojitý hessián, který je nedegenerovaný, nastane lokální maximum tehdy a jen tehdy, když náš bod (x*,y*) patří do první skupiny se stejnými paritami k a £. Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny bude naopak bodem lokálního minima. přičemž znaménko + nastává, přičemž znaménko + nastává, OOOOOOOOOO0OOO Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo přičemž znaménko + nastává, přičemž znaménko + nastává, Příklad (pokr.) V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: když k a £ jsou různé parity a naopak pro Q Hf(kTT,eTT + %) = ±(°i J" když k a £ jsou různé parity a naopak pro —. Protože naše funkce má spojitý hessián, který je nedegenerovaný, nastane lokální maximum tehdy a jen tehdy, když náš bod (x*,y*) patří do první skupiny se stejnými paritami k a £. Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny bude naopak bodem lokálního minima. Naopak, hessián u druhé skupiny bodů se vyčíslí kladně na některých přírůstcích a záporně na jiných. Stejně se proto bude chovat i celá funkce f v okolí. ooooooooooo«oo Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Příklad (Poznámky) • matice 0 1 1 0 je indefinitní, přestože má oba hlavní minory nekladné (pro semidefinitnost je znaménko minorů pouze nutnou podmínkou!) ooooooooooo«oo Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Příklad (Poznámky) • matice je indefinitní, přestože má oba hlavní minory nekladné (pro semidefinitnost je znaménko minorů pouze nutnou podmínkou!) nalezené lokální extrémy šlo jistě najít snadněji úvahou o nabývání hodnot ±1 funkcí f{x, y) = sin(x) cos(y), neměli bychom ale jistotu, že jde o všechny extrémy. Nechť f : En ^R a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* " nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f{x) (f(x* ) < f(x)) Pro všechna x G M. oooooooooooo»o Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo R a M je podmnožinou definičního oboru ŕ. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f{x*) > f{x) (f(x*) < f(x)) pro všechna x G M. Existence extrémů na kompaktní (uzavřené a ohraničené) množině vyplývá z Weierstrassovy věty. Nechť WCf„ je kompaktní množina, f : M —> R spojitá. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. oooooooooooo»o Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo R a M je podmnožinou definičního oboru ŕ. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f{x*) > f{x) (f(x*) < f(x)) pro všechna x G M. Existence extrémů na kompaktní (uzavřené a ohraničené) množině vyplývá z Weierstrassovy věty. Nechť WCf„ je kompaktní množina, f : M —> R spojitá. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. Hledání absolutních extrémů funkce na množině tak máme převedeno na nalezení lokálních extrémů (což umíme) a vyšetření hraničních bodů. To je ale často komplikovanější záležitost, které se budeme více věnovat později v části o vázaných extrémech. Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Příklad Nalezněte extrémy funkce f{x, y) = xy — x2 — y2 + x + y na množině M, která je dána trojúhelníkem, tvořeným souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0. Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooooooo Příklad Nalezněte extrémy funkce f{x, y) = xy — x2 — y2 + x + y na množině M, která je dána trojúhelníkem, tvořeným souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0. Řešení Jediným stacionárním bodem je [1,1], kde nastává absolutní maximum f(l, 1) = 1. Absolutní minimum —12 nastává v hraničních bodech [4,0] a [0,4]. Q Zobrazení mezi euklidovskými prostory • Zobrazení a transformace • „Chain Rule" • Věta o inverzním zobrazení • Implicitně zadaná zobrazení Zobrazeni mezi eukhdovskýrr •ooooooooooooo Zobrazení F : En —> Em je při zvolených kartézských souřadnicích na obou stranách obyčejná m-tice F(xi, ...,xn) = (fi(xi,... ,x„),..., řm(xi,... ,xn)) funkcí f-, : En —> R. Řekneme, že F je diferencovatelné nebo spojitě diferencovatelné zobrazení, jestliže tuto vlastnost mají všechny funkce f\,... ,fm. = Zobrazeni mezi eukhdovskýrr •ooooooooooooo Zobrazení F : En —> Em je při zvolených kartézských souřadnicích na obou stranách obyčejná m-tice F(xi, ...,xn) = (fi(xi,... ,x„),..., řm(xi,... ,xn)) funkcí f, : En —> R. Řekneme, že F je diferencovatelné nebo spojitě diferencovatelné zobrazení, jestliže tuto vlastnost mají všechny funkce f\,... ,fm. Diferencovatelná zobrazení F : En —> En, která mají inverzní zobrazení G : En —> En definované na celém svém obrazu, se nazývají (diferencovatelné) transformace. Zobrazeni mezi eukhdovskýrr •ooooooooooooo Zobrazení F : En —> Em je při zvolených kartézských souřadnicích na obou stranách obyčejná m-tice F(xi, ...,xn) = (fi(xi,... ,x„),..., řm(xi,... ,xn)) funkcí f-, : En —> R. Řekneme, že F je diferencovatelné nebo spojitě diferencovatelné zobrazení, jestliže tuto vlastnost mají všechny funkce f\,... ,fm. Diferencovatelná zobrazení F : En —> En, která mají inverzní zobrazení G : En —> En definované na celém svém obrazu, se nazývají (diferencovatelné) transformace. Příkladem transformace v E2 je přechod mezi polárními a kartézkými souřadnicemi: [r,6] 1—> [rcos6, rs\r\6] s inverzí [x,y] ^ [v/x2 + y2,arctg-], [0,y] 1-» [y, -sgny]. 5 □ s - Zobrazeni mezi eukhdovskýrr o«oooooooooooo Lineární zobrazení dr/(x) : E" —> R lineárně aproximují přírůstky f,. Definice DXF{x) df2(x) ( dh d h d xi 9x9 df2 dŘ dxi 8x2 Vux)J vn dím 8x2 dxn dxj w se nazývá Jacobiho matice zobrazení F v bodě x. Lineární zobrazení D1F(x) definované na přírůstcích v = (v\,..., vn) pomocí stejně značené Jacobiho matice nazýváme diferenciál zobrazení F v bodě x z definičního oboru, jestliže lim jr-rÍFÍx + v) - F(x) - D1F(x)(v)) = 0. V^Q \\v\\ Zobrazeni mezi eukhdovskýrr OO0OOOOOOOOOOO Důsledek Věty o existenci diferenciálu pro funkce n proměnných je: Nechť F : En —» Em je zobrazení, jehož všechny souřadné funkce mají spojité parciální derivace v okolí bodu xě£„. Pak existuje diferenciál D1F{x) zobrazení F zadaný Jacobiho maticí. = oooooooooooooo složeného Zobrazeni mezi euklidovskýrr ooo«oooooooooo Věta („Chain rule") Nechť F : En Em a G : E„ Er jsou dvě diferencovatelná zobrazení, přičemž definiční obor G obsahuje celý obor hodnot F. Pak také složené zobrazení G o F je diferencovatelné a jeho diferenciál je v každém bodě z definičního obodu F kompozicí diferenciálů D\G o F)(x) = D1G(F(x)) o D1F{x). Příslušná Jacobiho matice je dána součinem příslušných Jacobiho matic. Zobrazeni mezi eukhdovskýrr OOOO0OOOOOOOOO Polární souřadnice vzniknou z kartézských souřadnic transformací F : Ei —>■ E-i, kterou v souřadnicích [x,y] a [r, tp] zapíšeme: r = a/x2 +y2, ip = arctg -. Zobrazeni mezi eukhdovskýrr OOOO0OOOOOOOOO Polární souřadnice vzniknou z kartézských souřadnic transformací F : Ei —>■ E-i, kterou v souřadnicích [x,y] a [r, p] zapíšeme: r = a/x2 +y2, if = arctg -. x Funkci gt : £2 —*■ K v polárních souřadnicích g(r,^>,t) = sin(r-t). Funkce nám docela dobře přibližuje vlnění povrchu hladiny po bodovém vzruchu v počátku v čase ř: gfflnMBMBM oooooooooooooo ooooo«oooooooo Chceme-li vypočítat derivaci funkce zadané parametricky v kartézských souřadnicích, využijeme větu o derivaci složeného zobrazení g o F : E2 —> K: D\g o F)(x) = Dlg{F{x)) o ĎyF{x) = - (ĚS dg\ I dx dy \ _ — \dr dip) \ d£ dp I ~ \ dx dyJ \Ě£t Ěi a Hr^)§y(x,y) + ^(r,v)^(x,y))' Tedy |(x,y,ř)=cos(^T7-ř)^= + 0 a podobně dg_ dy (x, y, t) = cos{\Jx2 +y2 - ť)- y 'x2 + y2 oooooooooooooo rzním zobi Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooo»ooooooo Nechť F : En —» En je spojitě diferencovatelné zobrazení na nějakém okolí bodu x* e En a nechť je Jacobiho matice D1F(x*) invertibilní Pak na nějakém okolí bodu x* existuje inverzní zobrazení F_1 a jeho diferenciál v bodě F(x*) je inverzním zobrazením k D1F(x*), tzn. je zadán inverzní maticí k Jacobiho matici zobrazení F v bodě x*. oooooooooooooo rzním zobi Zobrazeni mezi eukhdovskýrr oooooo»ooooooo Nechť F : En —» En je spojitě diferencovatelné zobrazení na nějakém okolí bodu x* e En a nechť je Jacobiho matice D1F(x*) invertibilní Pak na nějakém okolí bodu x* existuje inverzní zobrazení F_1 a jeho diferenciál v bodě F(x*) je inverzním zobrazením k D1F(x*), tzn. je zadán inverzní maticí k Jacobiho matici zobrazení F v bodě x*. Princip důkazu: Z pravidla pro derivování složené funkce vyplývá, že pokud diferencovatelná inverze existuje, pak musí být její Jacobiho matice inverzí k původní Jacobiho matici (srovnejte s případem 1 proměnné). Důkaz poměrně komplikovaným způsobem vyvozuje, že díky invertovatelnosti Jacobiho matice existuje diferencovatelná inverze. oooooooooooooo icitní funk Zobrazeni mezi eukhdovskýrr OOOOOOOOOOOOOO Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině E2: □ s - = ■€. -o<\(y Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině E2: Pro spojitě diferencovatelnou funkci F{x,y) : E2 —> K hledejme body [x,y], ve kterých platí F{x,y) = 0. Příkladem může být třeba obvyklá (implicitní) definice přímek a kružnic: F(x, y) = ax + by + c = 0 F(x,y) = (x- s)2 + (y - ř)2 - r2 = 0, r > 0. Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině E2: Pro spojitě diferencovatelnou funkci F{x,y) : E2 —> K hledejme body [x,y], ve kterých platí F{x,y) = 0. Příkladem může být třeba obvyklá (implicitní) definice přímek a kružnic: F(x, y) = ax + by + c = 0 F(x,y) = (x- s)2 + (y - ř)2 - r2 = 0, r > 0. V prvním případě je (při b 7^ 0) předpisem zadaná funkce fí \ a c y = m = —b*--b pro všechna x. Pro jednoduchost vyložíme ideu v rovině E2: Pro spojitě diferencovatelnou funkci F{x,y) : E2 —> K hledejme body [x,y], ve kterých platí F(x,y) = 0. Příkladem může být třeba obvyklá (implicitní) definice přímek a kružnic: F(x, y) = ax + by + c = 0 F(x,y) = (x- s)2 + (y - ř)2 - r2 = 0, r > 0. V prvním případě je (při b 7^ 0) předpisem zadaná funkce fí \ a c y = m = —b*--b pro všechna x. Ve druhém případě umíme pouze pro [a, b] splňující rovnici kružnice a b 7^ ř najít okolí bodu a, na kterém nastane jedna z možností: y = ŕ(x) = t + \J(x — s)2 — r, y = f (x) = ŕ - ^/{x-sY-r. Zobrazeni mezi eukhdovskýrr oooooooo«ooooo Body [s ± r, ř] také vyhovují rovnici kružnice, platí v nich ale Fy(s ± r, ř) = 0, což vystihuje polohu tečny ke kružnici v těchto bodech rovnoběžné s osou y. V těchto bodech neumíme najít okolí, na němž by kružnice byla popsána jako funkce y = f (x). Zobrazeni mezi eukhdovskýrr oooooooo«ooooo Body [s ± r, ř] také vyhovují rovnici kružnice, platí v nich ale Fy(s ± r, ř) = 0, což vystihuje polohu tečny ke kružnici v těchto bodech rovnoběžné s osou y. V těchto bodech neumíme najít okolí, na němž by kružnice byla popsána jako funkce y = f (x). Navíc umíme spočítat i derivace: f'(x) 1 2(x - s) V(x-s)2-r^ y Zobrazeni mezi eukhdovskýrr oooooooo«ooooo Body [s ± r, ř] také vyhovují rovnici kružnice, platí v nich ale Fy(s ± r, ř) = 0, což vystihuje polohu tečny ke kružnici v těchto bodech rovnoběžné s osou y. V těchto bodech neumíme najít okolí, na němž by kružnice byla popsána jako funkce y = f {x). Navíc umíme spočítat i derivace: f'(x) 1 2(x - s) V(x-s)2-r^ y Naopak, pokud budeme chtít najít závislost x = f {y) takovou, aby F (f (y), y) = 0, pak v okolí bodů (s± r, ř) bez problémů uspějeme. Všimněme si, že v těchto bodech je parciální derivace Fx nenulová. Zobrazeni mezi euklidovskýrr ooooooooo«oooo Shrňme pozorování (pro pouhé dva příklady): □ s - = ■€. -o<\(y Zobrazeni mezi eukhdovskýrr ooooooooo«oooo Shrňme pozorování (pro pouhé dva příklady): Pro funkci F(x,y) a bod [a, b] e E2 takový, že F(a, b) = 0, umíme najít funkci y = f (x) splňující F(x, f (x)) = 0, pokud je Fy(a, b) 7^ 0. V takovém případě umíme i vypočíst ^'(x) = —Fx/Fy. Dokážeme, že takto to platí vždy, navíc rozšířené i na libovolné počty proměnných. Zobrazeni mezi eukhdovskýrr ooooooooo«oooo Shrňme pozorování (pro pouhé dva příklady): Pro funkci F(x,y) a bod [a, b] G E2 takový, že F(a, b) = 0, umíme najít funkci y = f (x) splňující F(x, f (x)) = 0, pokud je Fy(a, b) 7^ 0. V takovém případě umíme i vypočíst f'{x) = —Fx/Fy. Dokážeme, že takto to platí vždy, navíc rozšířené i na libovolné počty proměnných. Poslední tvrzení o derivaci přitom je dobře zapamatovalné (i pochopitelné) z výrazu pro diferenciál: 0 = dF = Fx dx + Fy áy = (Fx + Fyf\x)) dx. Zobrazeni mezi euklidovskýrr oooooooooo«ooo Věta (0 implicitní funkci) Nechť F : En+\ —> R je spojitě diferencovatelná funkce na otevřeném okolí bodu [x*,y*] e f„ x K, ve kterém je F(x*,y*) = 0 a %{x*,y*) ^ 0. Potom existuje spojitá funkce f : En —> R definovaná na nějakém okolí U bodu x* G En taková, že F(x, f(x)) = 0 pro všechny x G U. Navíc má funkce f v okolí bodu x* parciální derivace splňující dxj (x) df_ dx (x, f(x)) dFÁx,f{x)) d y □ S Zobrazeni mezi eukhdovskýrr ooooooooooo»oo Příklad Určete lokální extrémy funkce z = f(x,y), která je určena implicitně rovnicí F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 — xz — V2yz = 1. Derivováním rovnosti podle x a y dostáváme: 2x + 2z • zx — z — x • zx — v 2yzx = 0 2y + 2z • Zy — x ■ Zy — viz — v2yzy = 0, odkud vyjádříme z — 2x V2z — 2y 2z — x — v2y 2z — x — v2y Zobrazeni mezi eukhdovskýrr oooooooooooo«o Řešení (pokr.) Stacionární body musí splňovat: zx = 0, zy = 0, tj. z = 2x = \/2y, a tedy y = \/2x. Dosazením do původní rovnice dostáváme stacionární body [1, \/2,2] a [—1, — \/2, —2]. V těchto bodech je Fz^0 (je to zároveň jmenovatel všech zde vystupujících zlomků), proto je v jejich okolí implicitně určena jistá funkce z = f(x, y). Dalším derivováním implicitní rovnice vypočteme parciální derivace f 2. řádu: 2z — x — v2y *-xy 0, <-yy 2z — x — v2y Zobrazeni mezi eukhdovskýrr oooooooooooo«o Řešení (pokr.) Stacionární body musí splňovat: zx = 0, zy = 0, tj. z = 2x = y/2y, a tedy y = \/2x. Dosazením do původní rovnice dostáváme stacionární body [1, \/2,2] a [—1, — \/2, —2]. V těchto bodech je Fz^0 (je to zároveň jmenovatel všech zde vystupujících zlomků), proto je v jejich okolí implicitně určena jistá funkce z = f(x, y). Dalším derivováním implicitní rovnice vypočteme parciální derivace f 2. řádu: 2z — x — v2y *-xy 0, <-yy 2z — x — v2y Ve stacionárních bodech je Hf negativně, resp. pozitivně definitní, proto zde nastávají lokální maximum, resp. minimum funkce f. Zobrazeni mezi eukhdovskýrr ooooooooooooo» Nejobecnější případ, kdy definujeme implicitně zadané zobrazení, popisuje následující věta (v případě n=l kopíruje větu o implicitní funkci). Zobrazeni mezi eukhdovskýrr ooooooooooooo» Nejobecnější případ, kdy definujeme implicitně zadané zobrazení, popisuje následující věta (v případě n=l kopíruje větu o implicitní funkci). Věta (O implicitním zobrazení) Nechť F : Em+n —► En je spojitě diferencovatelné zobrazení na otevřeném okolí bodu [x*,y*] G Em x En = Em+n, v němž platí F{x*,y*) = 0 a det D^F ^ 0. Potom existuje spojitě diferencovatelné zobrazení G : Em —>■ En definované na nějakém okolí U bodu x* G Em s obrazem G{U), který obsahuje bod y*, takové, že F(x, G(x)) = 0 pro všechny x G U. Navíc je Jacobiho matice D1 G zobrazení G na okolí bodu x* zadána součinem matic D'Gix) = -{D±F)-\x, G(x)) ■ DlF{x, G(x)).