Integrálni počet vice proměnných oooooooooooooooooooooo Matematika III - 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 10. 2007 Q Lineární programování Q Integrální počet více proměnných • Integrály závislé na parametru • Integrace funkcí více proměnných • Násobné integrály • Záměna souřadnic při integraci Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo Integrálni počet vice proměnných oooooooooooooooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Předmětové záložky v IS MU • Ján Plesník, Jitka Dupačová, Milan Vlach, Lineárne programovanie, Alfa, 1990. • Boris Pavlovic Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003. Úloha lineárního programování Pro daná c G M" řeší lineární programování úlohu optimalizovat (tj. maximalizovat nebo minimalizovat) lineární účelovou funkci f(x) = c ■ x = cixi H--------h cnxn za daných (lineárních) omezení a\ ■ x < b\ ak-x < bk 3k+l ■ x = bk+l at-x = bt Lze ukázat, že každou (rozumnou) úlohu lineárního programování lze převést na tzv. kanonický tvar maximalizovat f{x) = c • x za podmínek 3\ ■ X < b\ ak-x < bk, kde x = (xi,..., x„), xi > 0,..., x„ > 0. Převody: • minimalizace c • x —> maximalizace (—c) • x • nerovnice ^-> rovnice (doplňková proměnná, resp. nahrazení rovnice dvojicí nerovnic) • reálná proměnná x —► nezáporné proměnné (substituce x = x+ - x", x+ > 0, x" > 0). Úloha lineárního programování má pro 2 proměnné graficky názorný způsob řešení, vycházející z obodobneho přístupu jako v případě vázaných extrémů. V rovině si znázorníme množinu, vyhovující všem omezujícím podmínkám a pomocí vrstevnic účelové funkce najdeme bod(y) této množiny, kde nabývá účelová funkce extrémů. Podrobněji ukážeme (spolu s řešením pomocí tzv. simplexové metody) s využitím appletu z http://www.uni-leipzig.de/ ~wifaor/orschuhr/Simplex/InitOSI.html. Standardní úlohu řeší klasická Simplexová metoda (George Dantzig, 1947). Úvodní fáze spočívá v nalezení nějakého vrcholu na polytopu (zobecnění polyedru na více dimenzí), který je tvořen body vyhovujícími podmínkám. V dalších krocích postupuje po hranách do vrcholů s vyšší hodnotou účelové funkce. Sice je ukázán příklad podmínek, kdy simplexová metoda projde nešikovně všech 2" vrcholů (jde o příklad zborcené n-rozměrné krychle), a tedy metoda je v nejhorším případě exponenciální, ale v praxi je obvykle pozoruhodně úspěšná (kolem roku 2000 bylo dokázáno, že očekávaný čas běhu na náhodném vstupu je polynomiální). Integrálni počet vice proměnných oooooooooooooooooooooo Příklad * Maximalizujte f - = 2x — 3y + 4z za podmínek 4x - 3y + z < 3 x + y+ z < 10 2x + y - z < 10 x > 0,y > 0,z > 0. Převedeme úlohu z kanonického do standardního tvaru - k tomu stačí zavést doplnkové proměnné u, v, w. Maxima izujeme 4x - 3y +Z + u = 3 x + y +z +v = 10 2x + y —z + w = 10 -2x + 3y -4z +f = 0 Řešení (pokračování) Úlohu přepíšeme do tzv. simplexové tabulky. Integrální počet více proměnných oooooooooooooooooooooo X y z u v w u 4 -3 1 1 0 0 3 v 1 1 1 0 1 0 10 w 2 1 -1 0 0 1 10 f -2 3 -4 0 0 0 0 V posledním řádku odpovídajícím účelové funkci najdeme některou zápornou hodnotu (heuristika: největší v abs. hodnotě), což odpovídá tomu, že se snažíme postupovat po hraně ve směru proměnné odpovídající příslušnému sloupci. Krajní vrchol této hrany najdeme tak, že najdeme minimum z podílů 3/1,10/1 absolutních členů a kladných koeficientů u proměnné, v jejímž směru se snažíme postupovat. V našem případě půjde o sloupec proměnné z a eliminovat budeme pomocí 1. řádku („pivot" je 1). Tento řádek označíme stejně jako dotyčný sloupec (proměnná ořeide do báze). Integrálni počet vice proměnných oooooooooooooooooooooo Řešení (pokračovaní) x y z u v w z 4 -3 1 1 0 0 3 v -3 4 0 -1 1 0 7 w 6 -2 0 1 0 1 13 f 14 -9 0 4 0 0 12 Nyní máme jediný záporný prvek v posledním řádku (sloupec y) a v něm jediný kladný prvek, proto pivotujeme podle 4 ve 2. řádku. Integrálni počet vice proměnných oooooooooooooooooooooo Řešení (dokončení) x V Z u V W z 7 4 0 1 i 4 3 4 0 33 4 y 3 4 1 0 1 4 1 0 7 4 w 9 2 0 0 1 2 i 1 33 2 f 29 4 0 0 / 4 I 1 111 4 Nyní již máme všechny prvky v posledním řádku kladné, dosáhli jsme tedy maxima f 111 33 a w 33 Původní proměnná x je nyní pro z nebazická (x není uvedeno jako označení žádného řádku nebo ekvivalentně: sloupec x není eliminovaný), což odpovídá x = 0. Motivace: výpočet plochy mezi grafem funkce f{x) a osou x na uzavřeném intervalu. Funkce f : R —> R jedné proměnné ohraničená na uzavřeném intervalu [a, b]). -''li -'' I -r'j J" ! -1" 1 Integrálni počet vice proměnných o«oooooooooooooooooooo Zvolíme dělení D = {x\ = a,..., xn = b} intervalu [a, b] a hledaný integrál (tj. plochu pod grafem) aproximujeme součtem / ŕ(x)dx«]Tf(6-)(x,-+1-x,-), Ja i=l kde & G [x,,x/+i] je libovolný. (Součet ploch obdélníků pod křivkou). Je-li norma dělení (tj. maximum z délek intervalů [x/,x,+i]) malá, pak výše uvedená suma je velmi blízko zmíněné ploše (přesněji pomocí nulové posloupnosti dělení a limit). Integrálni počet vice proměnných oo«ooooooooooooooooooo Vlastnosti: Množina Riemannovsky měřitelných funkcí na intervalu [a, b] tvoří vektorový prostor a integrál je na něm lineární formou. Aplikace: • plocha ohraničená grafy 2 funkcí Jg [f(x) — g(x)]dx, • délka křivky zadané parametricky J^ ^íp'(t)2 + tp'(t)2dt, 9 objem rotačního tělesa tt fa f2(x)dx, 9 povrch pláště rotačního tělesa 2ir Ja f(x)\Jl + [f'(x)]2dx. Integrálni počet vice proměnných ooo«oooooooooooooooooo Jestliže integrujeme podle jedné proměnné x funkci n + 1 proměnných f(x,yi,... ,yn), potom výsledek bude funkcí F(yi,... ,yn) ve zbývajících n proměnných. Věta (O záměně derivace a integrálu) Pro spojitě diferencovatelnou funkci f(x,y\,... ,yn) definovanou pro x z konečného intervalu [a, ß] a na nějakém okolí bodu a = [a\,... ,an] oo ^—-' (/ + l)(j + l)ll 0oo n 1 4' Integrálni počet vice proměnných oooooooooo«ooooooooooo Riemannovsky integrovatelné množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y e [ip(x),tp(x)]t poté rozsah další souřadnice z e [r?(x, y),((x, y)] atd. (Zejména tedy i případy, kdy jsou funkce (p,ip,r],( konstantní.) Iféffil V případě množiny S zadané ja integrovatelné funkce f na S je ko výše a Riemannovsky Riemannův integrál vyčíslen formulí / f{x,y, ..., z)dx. .dz = n ( /-^M í r((x>y \Jr](x,y,. f{x,y ■■) ,...,z)dz\ ...dy ) dx Integrálni počet vice proměnných OOOOOOOOOOO0OOOOOOOOOO Přímým důsledkem pro konstatní funkce je: PETM Pro vícerozměrný interval S = [a\, b\] x [32, 62] x ... x [an, bn] a spojitou funkci f{x\,..., xn) na S je násobný integrál //(«, ..., xn) dxi... dxn = = ( / • • • ( / f(xi> ■ ■ ■ > xn) dxi j ... j dxn nezávislý na pořadí, ve kterém postupně integraci provádíme. Integrálni počet vice proměnných oooooooooooo«ooooooooo Příklad (nezávislé meze integrace) Vypočtěte dvojný integrál / = / 3(x - l)2 + (y - 2)2 + 2 dxdy. '[0,1] X [0,3] Integrálni počet vice proměnných ooooooooooooo»oooooooo Příklad (závislé meze integrace) Vypočtěte integrál / = / xy2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu E2 ohraničená grafy funkcí y = x a 2 y = x . Řešení Snadno je vidět, že grafy se protínají v bodech [0,0] a [1,1], přičemž pro x e [0,1] je x2 < x. Proto je ,=í1(í'Vdy)A=U1[V1-'A= =5jf(x4-*7),H x5 x8" .5 8 1 1 0 40- Integrálni počet vice proměnných oooooooooooooo«ooooooo Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve, jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou:Integrovaný výraz f(x)dx vyjadřuje plochu obdélníčku určeného (linearizovaným) přírůstkem proměnné x a hodnotou f{x). Pokud proměnnou transformujeme vztahem x = u(ř), vyjadřuje se i linearizovaný přírůstek jako du dx dt dt a proto i příslušný příspěvek pro integrál je vyjádřen jako f{u(t))ftdt, přičemž buď předpokládáme, že znaménko derivace u'{ť) je kladné, nebo dojde k obrácení mezí integrálu, takže ve výsledku se znaménko neprojeví. Integrálni počet vice proměnných 000000000000000*000000 Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů. Nechť G{ti,...,t„) : En -»■ E„, [ ] = G(ti,...,tn),je spojitě diferencovatelné zobrazení, T a S = G (T) jsou Riemannovsky měřitelné množiny a f : S ^ R spojitá funkce. Potom platí / f(x1,...,xn)dx1...xn = í f(G(ti,..., t„))\ de±(D1G(t1,..., t„))\dti... dt„. Podrobný formální důkaz nebudeme uvádět, je však přímočarou realizací výše uvedené úvahy ve spojení s definicí Riemannova integrálu. Integrálni počet vice proměnných oooooooooooooooo«ooooo Abychom si přiblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f(x,y) ve dvou proměnných a transformaci G(s,t) = (g(s,t),h(s,t)). Dostáváme f(x,y)dxdy G(T) f(g(s,t),h(s,t)) dg dh dg dh ds dt dt ds dsdt. Konkrétně: spočtěme integrál z charakteristické funkce kružnice o poloměru R (tj. její plochu) definovanou v polárních souřadnicích. Nejprve spočítáme Jacobiho matici transformace x = rcostp, y = r sin ip nl_ fcostp — rsint£>N sint£> rcos(p Proto je determinant z této matice roven det D1 G(r, ip) = r(sin2

0, ip € [0, 27r], z g M} —*■ E3 je dáno předpisem x = r cos cp, y = r sin p z = z, a tedy Proto je detD^ = r. COS(£> — rsin f 0 sin (p 0 rcos(£> 0 Integrálni počet vice proměnných oooooooooooooooooooo»o Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 9, 0,9 € [0, tx\,

rcosösint/? rsin#cos(£> cosö —rsinö 0 Proto je det D1 G = r2 sin3 61 sin2