Integrálni počet vice p oooooooooooooo Matematika III - 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2007 = Q Integrální počet více proměnných • Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice Q Numerická integrace • Numerické derivování • Numerická kvadratura Integrálni počet vice p oooooooooooooo Doporučené Numerická integr; oooooooooo Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Integrálni počet vice p oooooooooooooo Doporučené Numerická integr; oooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Předmětové záložky v IS MU Integrálni počet vice p oooooooooooooo Doporučené Numerická integr; oooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Předmětové záložky v IS MU • Boris Pavlovic Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003. • Emil Vitásek, Numerické metody, SNTL, 1987. Integrálni počet vice p oooooooooooooo Doporučené Numerická integr; oooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Předmětové záložky v IS MU • Boris Pavlovic Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003. • Emil Vitásek, Numerické metody, SNTL, 1987. Integrálni počet vice p oooooooooooooo Numerická integr; oooooooooo lán přednášky Integrální počet více proměnných • Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve, jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou: jOOOOOOOOOOOOO Numerická integr; oooooooooo Záměna souřad Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve, jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou:Integrovaný výraz f(x)dx vyjadřuje plochu obdélníčku určeného (linearizovaným) přírůstkem proměnné x a hodnotou f{x). Pokud proměnnou transformujeme vztahem x = u(ř), vyjadřuje se i linearizovaný přírůstek jako du dx dt dt a proto i příslušný příspěvek pro integrál je vyjádřen jako f{u(t))ftdt, přičemž buď předpokládáme, že znaménko derivace u'{ť) je kladné, nebo dojde k obrácení mezí integrálu, takže ve výsledku se znaménko neprojeví. Integrálni počet vice p o«oooooooooo .0 Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineárni algebry o objemu rovnoběžnostěnů. Integrálni počet vice p o«oooooooooo o Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineárni algebry o objemu rovnoběžnostěnů. Nechť G'(ti,..., t„) : En -»■ E„, [ X\,..., xn ] = G(ti,...,t„), je spojité diferencovatelné zobrazení, T a S = G{T) jsou Riemannovsky měřitelné množiny a f : S ^ R spojitá funkce. Potom platí j f(x1,...,xn)dx1...xn = í f(G(ti,..., t„))\ de±(D1G(t1,..., t„))\dti... dt„. Podrobný formální důkaz nebudeme uvádět, je však přímočarou realizací výše uvedené úvahy ve spojení s definicí Riemannova integrálu. = Integrálni počet vice p oo«ooooooooo .0 Abychom si přiblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f (x, y) ve dvou proměnných a transformaci G(s,t) = (g(s,t),h(s,t)). Dostáváme G( T) f(x,y)dxdy f(g(s,t),h(s,t)) dg dh dg dh ds dt dt ds dsdt. = Integrálni počet vice p oo«ooooooooo .0 Abychom si přiblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f (x, y) ve dvou proměnných a transformaci G(s,t) = (g(s,t),h(s,t)). Dostáváme f(x,y)dxdy G(T) f(g(s,t),h(s,t)) dg dh ds dt dg dh dt ds dsdt. Konkrétně: spočtěme integrál z charakteristické funkce kružnice o poloměru R (tj. její plochu) definovanou v polárních souřadnicích. Integrálni počet vice p oo«ooooooooo .0 Abychom si přiblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f (x, y) ve dvou proměnných a transformaci G(s,t) = (g(s,t),h(s,t)). Dostáváme f(x,y)dxdy G(T) f(g(s,t),h(s,t)) dg dh dg dh ds dt dt ds dsdt. Konkrétně: spočtěme integrál z charakteristické funkce kružnice o poloměru R (tj. její plochu) definovanou v polárních souřadnicích. Nejprve spočítáme Jacobiho matici transformace x = rcostp, y = r sin ip nl_ fcostp — rsint£>N sint£> rcos(p Proto je determinant z této matice roven det D1 G(r, ip) = r(sin2

0,

■ E3 je dáno předpisem x = r cos (p, y = r sin ip, z = z, Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, (p, z]; r > 0, p G [0, 2tt), z G M} —>■ E3 je dáno předpisem x = r cos (p, y = r sin ip, z = z, ji Z - =1 -f)<\0 Integrálni počet vice p oooooo»ooooo .0 Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r,0,

0, E3 je dáno předpisem x = r cos (p, y = r sm ip, z = z, y 'x2 +y2,tgtp z = z ? *- / ' a tedy ^cos(£> — rsint/? 0N D1 G = [ sin(/? rcos(/? O O l, u S ~ = ■€. -o<\(y Integrálni počet vice p oooooo»ooooo .0 Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, (p, z];r>0, E3 je dáno předpisem x = r cos (p, y = r sin ip, z = z, r = \/x2 +y2,tg(^ y z = z ? *- / ' a tedy D1 G Proto je detD^ = r. 'cos (p — rs\r\(p 0N sint£> rcos(£> O O \, u S ~ = ■€. -o<\(y Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 6, (f]; r > 0, 9 G [0, vr], ip G [0, 2vr)} -s- E3 je dáno předpisem x = rsin 9cos(p, y = rsin #sin tp, z = rcos9, ooooooo«oooooo Časté transforr Numerická integr; oooooooooo Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, O, (f]; r > 0,0 G [0, vr], ip G [0, 2vr)} -s- E3 je dáno předpisem x = rsin 6cosíp, y = rsin 6s\n ip, z = rcosô, -E -00*0 Integrálni počet vice p OOOOOOOO0OOO .0 Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 6, (p]; r > O, 9 G [O, vr], (p G [O, 2vr)} -► E3 je dáno předpisem x = rsin Ocosip, y = r sin 9s\n ip, z — rcos9, = ^x2+y2+z2,tgip = -,cos9= = x V x2 + x2 + z2 a tedy /s\n9cosíp rcos9s\nip — rsin 9sin t£>N D1 G = ( sinösint/? rcosösint/? rsin#cos(£> cosö —rsinö 0 = Integrálni počet vice p OOOOOOOO0OOO .0 Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 6, (p]; r > O, 9 G [O, vr], (p G [O, 2vr)} -► E3 je dáno předpisem x = rsin Ôcosip, y = r sin 6s\n ip, z — rcosô, y /x2+y2+z2,tgip , cos 6 = . x V x2 + x2 + z2 a tedy /s\n6cosíp rcos6s\nip — rsin ô sin ip^ D1 G = I sin#sint£> rcosösint/? rsin#cos(£> cosö —rsinö O Proto je det D1 G = r2 sin3 61 sin2 p + r2 cos2 61 sin 9 cos2 <£•+ 0 0 O O *í o + r cos 6 sin 0 sin (p + r sin öcos ip = = r2 sin3 61 + r2 cos2 61 sin 61 = r2 sin 6». = Příklad Vypočtěte objem koule o poloměru R. □ s - = ■€. -o<\(y Příklad Vypočtěte objem koule o poloměru R. m Koule B(R) o poloměru R je dána ve sférických souřadnicích (r,6,ip) jednoduchou podmínkou r < R. Je tedy obrazem intervalu U = [0, R] x [0, 7t] x [0, 2tt), přičemž víme, že objemový element (tj. determinant jakobiánu transformačního zobrazení) je roven r2sin#. Proto je objem koule roven Příklad Vypočtěte objem koule o poloměru R. m Koule B(R) o poloměru R je dána ve sférických souřadnicích (r,6,ip) jednoduchou podmínkou r < R. Je tedy obrazem intervalu U = [0, R] x [0, 7t] x [0, 2tt), přičemž víme, že objemový element (tj. determinant jakobiánu transformačního zobrazení) je roven r2sin#. Proto je objem koule roven ldxdy dz = / r sin 6 dr d6dip = B JU R ŕ7T ľl'K A dr d9 r2 s\n6 dip = -R3ir. o Jo Jo 3 Integrálni počet vice p OOOOOOOOOO0O o Příklad Vypočtěte integrál / = / y/x2 + y2 +z2 dx dy dz, 'v kde množina V je vymezena plochou x + y + z = z. n S - = -E -00*0 Integrálni počet vice p OOOOOOOOOO0O o Příklad Vypočtěte integrál / = / ./x2 + y2 +z2 dx dy dz, kde množina V je vymezena plochou x + y + z = z. I— Transformací do sférických souřadnic dostáváme (grafem plochy je koule se středem v [0,0,1/2] a poloměrem 1/2) - promyslete meze! / 2tt fft/2 fcos r ■ r2 sin 6 dr d0 dip o ./o ./o 7T 10' □ s - = ■€. -o<\(y Integrálni počet vice promennýcr ooooooooooo«oo Určovaní mezí Numerická integr; oooooooooo Častým obtížným úkolem je při integraci v E3 určování intergacních mezí. V tom nám může pomoci: • prostorová představivost Integrálni počet vice promennýcr ooooooooooo«oo Určovaní mezí Numerická integr; oooooooooo Častým obtížným úkolem je při integraci v E3 určování intergacních mezí. V tom nám může pomoci: • prostorová představivost • u symetrických objektů omezení pouze na výpočet v části objektu Častým obtížným úkolem je při integraci v E3 určování intergačních mezí. V tom nám může pomoci: • prostorová představivost • u symetrických objektů omezení pouze na výpočet v části objektu • zakreslení řezu objektu vhodnými rovinami (často x = 0, y = 0 nebo z = 0, případně využití SW pro vykreslení prostorového grafu. Hmotnost tělesa Těleso o objemu V a hustotě v bodě [x,y,z] dané funkcí p(x,y,z) má hmotnost danou vztahem M = pdxdydz. Jv OOOOOOOOOOOO0O Numerická integr; oooooooooo Využití ve fyzic Hmotnost tělesa Těleso o objemu V a hustotě v bodě [x,y,z] dané funkcí p{x,y,z) má hmotnost danou vztahem M = pdxdydz. Jv Těžiště tělesa Těleso o objemu V a hustotě v bodě [x,y,z] dané funkcí p{x,y,z) má souřadnice těžiště [xo,yo,zo] dané vztahy *o M x pdxdydz, yo M y pdxdydz, zq M z pdxdydz. Moment setrvačnosti Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose £ je h = / pľ2 dx dy dz, Jv kde r je funkce závislosti bodu [x,y,z] od osy £. ooooooooooooc Využití ve fyzic Moment setrvačnosti Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose £ je // pr dxdydz, kde r je funkce závislosti bodu [x,y,z] od osy £. Příklad Určete souřadnice těžiště kruhové destičky x2 +y2 < a, je-li její hustota v bodě [x,y] přímo úměrná vzdálenosti od bodu [a, 0]. [xT = -l,yT = 0] ooooooooooooc Využití ve fyzic Moment setrvačnosti Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose £ je // pr dxdydz, kde r je funkce závislosti bodu [x,y,z] od osy £. Příklad Určete souřadnice těžiště kruhové destičky x2 +y2 < a, je-li její hustota v bodě [x,y] přímo úměrná vzdálenosti od bodu [a, 0]. [xT = -l,yT = 0] Příklad Vypočtěte moment setrvačnosti homogenního válce x2 +y2 < a2 o hustotě po vzhledem k ose tvořené přímkou x = y = z. [M^ + l/,2)] Integrálni počet vice p oooooooooooooo Plán predná: Numerická integrace • Numerické derivování • Numerická kvadratura Numerická integr; oooooooooo oooooooooooooo Interpolace Numerická integr; oooooooooo Interpolace- stanovení formule pro funkci, kterou máme zadánu v bodech xq, ... ,xn. Formule musí v těchto bodech dodržet danou funkční hodnotu (např. interpolační polynom stupně n). Mimo interval - extrapolace. Interpolace - stanovení formule pro funkci, kterou máme zadánu v bodech xq, ... ,xn. Formule musí v těchto bodech dodržet danou funkční hodnotu (např. interpolační polynom stupně n). Mimo interval - extrapolace. Aproximace - stanovení formule pro funkci, kterou máme zadánu v bodech xq, ... ,xn. Formule má obvykle méně „stupňů volnosti" než n, proto danou funkční hodnotu obvykle nejde dodržet. Snažíme se najít nejlepší možnou aproximaci podle předem daného kritéria (např. metoda nejmenších čtverců). oooooooooooooo Polynomiáln Numerická integr; oooooooooo Lagrangeův interpolační polynom f(x) = y0£o(x) + yih{x) + ■■■+ yj,n{x), kde £;(x) n,y;(*r - xj)' = oooooooooooooo Polynomiáln Numerická integr; oooooooooo Lagrangeův interpolační polynom f(x) = y0£o(x) + yih{x) + ■■■+ yj,n{x), kde £;(x) Uj^i(x -x-/') Hermiteův interpolační polynom - kromě funkčních hodnot známe v daných bodech i hodnotu derivace. = oooooooooooooo Polynomiáln Lagrangeův interpolační polynom f(x)=y0£o(x)+y1£1(x) + kde £i(x) Numerická integr; oooooooooo + yn£n(x); Uj^i(x - Xj) Hermiteův interpolační polynom - kromě funkčních hodnot známe v daných bodech i hodnotu derivace. Interpolace (kubickými) splajny - intepolace po částech kubickými polynomy, přičemž v uzlových bodech požadujeme rovnost 1. a 2. derivací sousedních polynomů. oooooooooooooo Polynomiáln Lagrangeův interpolační polynom f(x)=y0£o(x)+y1£1(x) + kde £i(x) Numerická integr; oooooooooo + yn£n(x); Uj^i(x - Xj) Hermiteův interpolační polynom - kromě funkčních hodnot známe v daných bodech i hodnotu derivace. Interpolace (kubickými) splajny - intepolace po částech kubickými polynomy, přičemž v uzlových bodech požadujeme rovnost 1. a 2. derivací sousedních polynomů. Trigonometrická interpolace - interpolační polynom A n Qn(x) = — + ^2 (Aj cosjx + B j sin» , ;=i jehož koeficienty obvykle počítáme pomocí rychlé Fourierovy transformace - FFT. Slouží k rekonstrukci funkce f z hodnot /&,..., fn naměřených v uzlových bodech ao, • • •, an ■ Tuto rekonstrukci hledáme vzhledem k danému modelu - dané posloupnosti funkcí (obecně více proměnných) go(x), ■ ■ ■ ,gm(x),... - ve tvaru m j=0 Cílem je při tom minimalizovat „součet čtverců" n í=0 Integrálni počet vice p oooooooooooooo Aproximace Numerická integr; oooooooooo Aplikace - lineární (multilineární) regrese ve statistice Aplikace - lineární (multilineární) regrese ve statistice Typy modelů: • §ÁX) ~ obecný polynom stupně j Aplikace - lineární (multilineární) regrese ve statistice Typy modelů: • §ÁX) ~ obecný polynom stupně j • Sj(x) ~ ortogonální polynomy na dané množině bodů Aplikace - lineární (multilineární) regrese ve statistice Typy modelů: • §ÁX) ~ obecný polynom stupně j • Sj(x) ~ ortogonální polynomy na dané množině bodů • Sj(x) ~ trigonometrický polynom Integrálni počet vice p oooooooooooooo Numerická integr; oooooooooo Aproximace 9 -8 y=1.37]t + lJB7 t*>/^ T - R2 = 0.91 6 - s\m > 5 v4jíi 4 -3 - iC -/fö 2 - 1 - K'\ 0 2 X 4 6 = Integrálni počet vice pro oooooooooooooo Numerické Numerická integr; •ooooooooo Uvedeno pouze pro úplnost, metody velmi jednoduché, založené na definici derivace. Často dávají velmi nepřesný výsledek. Uvedeme zde pouze pro případ funkcí jedné proměnné, ve více proměnných počítáme parciální derivace analogicky. Uvedeno pouze pro úplnost, metody velmi jednoduché, založené na definici derivace. Často dávají velmi nepřesný výsledek. Uvedeme zde pouze pro případ funkcí jedné proměnné, ve více proměnných počítáme parciální derivace analogicky. Pro výpočet odhadu /c-té derivace funkce v daném bodě, známe-li hodnoty této funkce v několika bodech, lze využít interpolaci této funkce, např. Lagrangeův interpolační polynom. V praxi se často používají jednoduché nekolikabodove vzorce pro odhad derivace: V praxi se často používají jednoduché nekolikabodove vzorce pro odhad derivace: f(x)^-h(f(x+h)-ax)): Integrálni počet vice pro oooooooooooooo Numerické Numerická integr; o«oooooooo V praxi se často používají jednoduché nekolikabodove vzorce pro odhad derivace: f'(x)^-(f(x + h)-f(x)), f'(x)K-(f(x+h)-f(x-h)) □ s - = ■€. -o<\(y Integrálni počet vice pro oooooooooooooo Numerické Numerická integr; o«oooooooo V praxi se často používají jednoduché nekolikabodove vzorce pro odhad derivace: fi{x)K-{f{x + h)-f{x)): f'(x)K-(f(x+h)-f(x-h)) nebo pěti bodový vzorec f {x) * — (-f (x + 2/i) + 8f(x + h)- 8f(x -h) + f (x - 2/1)) Integrálni počet vice prome oooooooooooooo Numerická i Numerická integr; oo»ooooooo Numetrická integrace nachází uplatnění zejména v následujících případech: • integrovanou funkci neznáme přímo, známe jen její hodnoty v některých bodech (např. z měření) Numetrická integrace nachází uplatnění zejména v následujících případech: • integrovanou funkci neznáme přímo, známe jen její hodnoty v některých bodech (např. z měření) • integrovaná funkce je známá, ale její primitivní funkci (antiderivaci) je obtížné (či dokonce nemožné) vyjádřit jakožto elementární funkci. Přímo z definice Riemannova integrálu - snaha odhadnout plochu pod křivkou, objem „pod plochou" apod. Podobně jako u derivování i zde můžeme využít interpolační polynomy. Přímo z definice Riemannova integrálu - snaha odhadnout plochu pod křivkou, objem „pod plochou" apod. Podobně jako u derivování i zde můžeme využít interpolační polynomy. Newton-Cotesovy vzorce Interval [a, b] , nad kterým integrujeme, rozdělíme na n stejných částí (délky h) tak, že v krajních bodech těchto částí známe hodnotu integrované funkce. Podle toho, jestli uvažujeme i hodnoty v krajních bodech a a b intervalu, rozlišujeme Newton-Cotesovy formule na uzavřené a otevřené. Pak r b n / f (x) dx řa y^ w;f{Xf), 'a i=o v/-, jsou váhy (uzavřený tvar). Integrálni počet vice p oooooooooooooo Váhy snadno odvodíme např. pomocí Lagrangeovy interpolace. ŕb ŕb / f(x)dxfíä / L(x)dx = Ja Ja = í E f(x'Mx) dx = Í2 /f(x') / e^dx •J a ;__r\ :__r\ ** a W; □ s - = ■€. -o<\(y Integrálni počet vice p oooooooooooooo obdélníkové pravidlo (otevřená Newton-Cotesova formule) -interpolace konstatní funkcí í f(x)dx&(b-a)f( a + b □ s - = Integrálni počet vice p oooooooooooooo lichoběžníkové pravidlo (uzavřená Newton-Cotesova formule) interpolace lineární funkcí í f(x)dxrz(b-a) f(a) + f(b) □ s - = Integrálni počet vice p oooooooooooooo Simpsonovo pravidlo (uzavřená Newton-Cotesova formule) interpolace kvadratickou funkcí b b — a f (x) dx pü —-— f(B) + 4f[a-±^)+f(b) □ s ~ = Integrálni počet vice p oooooooooooooo Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp. Simpsonova pravidla vypočtěte rir/2 I = / sin x c/x. Jo n S - = -E -00*0 Integrálni počet vice p oooooooooooooo Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp. Simpsonova pravidla vypočtěte rir/2 I = / sin x c/x. Jo n S - = -E -00*0 Integrálni počet vice p oooooooooooooo Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp. Simpsonova pravidla vypočtěte TT/2 sin x c/x. • lichoběžníkové pravidlo: / ~ TT 1 ^ r^ ~9 ' 9 r^ 0.785 Simpsonovo pravidlo: /«^ 0 + 4^ + 1 1.003. = Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa • opakujeme Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa • opakujeme Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa • opakujeme Podíl objemu tělesa a krychle je pak aproximován relativní četností jevu, že náhodný bod leží uvnitř tělesa. Integrálni počet vice p oooooooooooooo Metody Mo, Numerická integr; oooooooooo Integrál j f{x)dx tak aproximujeme pomocí výběru náhodných n bodů x-, z intervalu [a, b], ve kterých určíme funkční hodnoty. Pak Integrálni počet vice p oooooooooooooo Metody Mo, Numerická integr; oooooooooo Integrál j f{x)dx tak aproximujeme pomocí výběru náhodných n bodů x-, z intervalu [a, b], ve kterých určíme funkční hodnoty. Pak '■b h-a "