Matematika III -2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 30. 9. 2007 □ S - = -š -0<\(y Q Literatura Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál a Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Plán přednášky Q Literatura Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta □ s Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. □ s - = ■€. -o<\(y Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. □ S • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). 9 Předmětové záložky v IS MU Plán přednášky O Literatura Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta □ s Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R" —> R má ve svém hromadném bodě a e R" limitu L, jestliže ke každému okolí 0{L) bodu L existuje okolí ö{a) bodu a tak, že pro všechna x G ö{a) \ {a} platí f {x) G 0{Ľ). Píšeme lim f (x) = L. Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R" —> R má ve svém hromadném bodě a e R" limitu L, jestliže ke každému okolí 0{L) bodu L existuje okolí ö{a) bodu a tak, že pro všechna x e ö{a) \ {a} platí f {x) G 0{Ľ). Píšeme lim f (x) = L. x—>a Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v „nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). 4 Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R" —> R má ve svém hromadném bodě a e R" limitu L, jestliže ke každému okolí 0{L) bodu L existuje okolí ö{a) bodu a tak, že pro všechna x e ö{a) \ {a} platí f {x) G 0{Ľ). Píšeme lim f (x) = L. x—>a Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v „nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Má-li mít funkce v daném bodě limitu, nesmí záležet na „cestě", po které k danému bodu konvergujeme (analogie limit zleva a zprava u funkcí jedné proměnné). 4 Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: <» jednoznačnost limity, 3někdy také o dvou policajtech :) Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách 3někdy také o dvou policajtech :) Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g{x)) = c • lim f (x) + d ■ lim g(x), 3někdy také o dvou policajtech :) Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g{x)) = c • lim f (x) + d ■ lim g(x), x—>a x—>a x—>a • multiplikativita, divisibilita, 3někdy také o dvou policajtech :) Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g{x)) = c • lim f (x) + d ■ lim g(x), • multiplikativita, divisibilita, • je-li limx^a f(x) = 0 a funkce g{x) je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu x, pak lim f{x)g{x) = 0. aněkdy také o dvou policajtech :) [ Příklad ^ Vypočtěte limitu funkce f(x,y) = x +y w h^z (n n\ / 2 i 2 i 1 1 DOaC VU)UJ- □ s [ Příklad ^ Vypočtěte limitu funkce f(x,y) = x +y w h^z (n n\ / 2 i 2 i 1 1 DOaC VU)UJ- Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x, y) = (x + y) sin ^ sin ^ v bode (0, 0). I □ s - = ■€. -o<\(y Příklad 1 Vypočtěte limitu funkce f(x,y) = x +y w h^z (n n\ / 2 i 2 i 1 1 DOaC VU)UJ- Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = (x + y) sin ^ sin ^ v bodě (0, 0). I [ Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = = ^vbode(0,0). □ s - = ■€. -o<\(y Definice Funkce f :R" —> M je spojitá v hromadném bodě a G R", pokud má v a vlastní limitu a platí lim x—>a f(x) = = f(a). □ s - = -= -o^O Spojitost funkce Definice Funkce f :R" —> M je spojitá v hromadném bodě a G R", pokud má v a vlastní limitu a platí lim x—>a f(x) = = f(a). Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. n S - = -E -00*0 Spojitost funkce Definice Funkce f :R" —> R je spojitá v hromadném bodě a G R", pokud má v a vlastní limitu a platí lim x—>a f(x) = = f(a). Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Věta (Bolzanova) Necht f : R" —> R je spojitá na otevřené souvislé množině A. Jsou-li a, b e A takové, že f (a) < 0 < f (b), pak existuje c G A tak, že f (c) = 0. Plán přednášky Q Literatura Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál a Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta □ s Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... ,x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. n 3 - = -E -00*0 Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... ,x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita Jim - (f{4, ■■-, xi-i,xi + t, x*+1, • • •, x*) - f (xí,..., xn*)) , říkáme, že funkce f : En —> R má v bodě [xx*,... ,x*] parciální derivaci podle proměnné x; a značíme fXi(xi> ■ ■ ■ >xn) (P^P-§^(x*,...,x*)nebof^x*,...,x*)). □ s Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita Jim - (f{4, ■■-, **-l, x* + t, x*+1,..., x*) - f (xí,..., xn*)) , říkáme, že funkce f : En —>■ R má v bodě [x-j*,... ,x*] parciální derivaci podle proměnné x; a značíme fXi(xi> ■ ■ ■ >xn) (P^P-" r W, • • •, x*) nebo f^.(x*,..., x*)). df_ dx; Podobně jako v případě jedné proměnné, pokud má funkce f : En —> R parciální derivace ve všech bodech nějaké otevřené množiny, jsou tyto derivace rovněž funkcemi z En do R. □ g - = Pro funkce v E2 dostáváme d 1 -řj-f{xo,ya) = li^J1 -(f(xo + t,y0) - f(x0,y0)) lim x^xq f(*,yo) - f{xo,yo) x-x0 9 1 ■7^f(*o,yo) = lim -(f(x0,y0 + t) - f(x0,y0)) oy t->o t lim y^yo f(*o,y) - f(xo,yo) y-yo □ S Pro funkce v E2 dostáváme d 1 -řj-f{xo,ya) = ^ -(f(xo + t,y0) - f(x0,y0)) lim x^xq f(*,yo) - f{xo,yo) x-x0 9 1 ■7^f(*o,yo) = lim -(f(x0,y0 + t) - f(x0,y0)) oy t->o t lim y^yo f(*o,y) - f(xo,yo) y-yo Poznámka Parciální derivace funkce f : Ei —>■ R podle x v bodě [xo,yo] udává směrnici tečny v bodě [xo,yo, f(xo,yo)] ke křivce, která je průsečíkem grafu Gf s rovinou y = yo. □ s - Parciální derivace vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. □ s Parciální derivace vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Příklad Funkce f(x,y) pro x=0 nebo y=0 jinak má v bodě [0,0] obě parciální derivace nulové, přitom v tomto bodě neexistuje limita, a tedy není ani spojitá. Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. •oooooooooo Směrové derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : R" -x G En, jestliže 11-» f (x + tv) -►R má existuje v bodě t derivaci ve směru vektoru derivace dvf{x) složeného = 0, tj. veR" v zobrazen bodě dvf{x) = lim -(f(x + tv) - fix)) Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž Ux). □ s •oooooooooo Směrové derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : R" -xef„, jestliže t h-» f (x + tv) -►R má existuje v bodě t derivaci ve směru vektoru derivace dvf{x) složeného = 0, tj. veR" v zobrazen bodě dvf{x) = lim -(f(x + tv) - fix)) Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž Ux). Speciální volbou jednotkových vektorů ve směru souřadných os dostáváme právě parciální derivace funkce f. □ s - Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné ■ R v bodě x G En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteM, □ g - = Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné ■ R v bodě x G En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteM, e dv(f ± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), □ s Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné ■ R v bodě x G En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteM, e dv(f ± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), Q dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f(x)dvg(x), □ s Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné ■ R v bodě x G En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteM, e dv(f ± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), Q dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f{x)dvg{x), Q prog(x)ŕOjedv$j = -^{dvf{x)g{x) - f{x)dvg{x)). □ s Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné ■ R v bodě x G En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteM, e dv(f ± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), Q dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f{x)dvg{x), Q prog(x)ŕOjedv$j = -^{dvf{x)g{x) - f{x)dvg{x)). □ s Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné ■ R v bodě x G En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteM, e dv(f ± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), Q dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f{x)dvg{x), Q prog(x)ŕOjedv$j = -^{dvf{x)g{x) - f{x)dvg{x)). Poznámka Neplatí ale aditivita vzhledem ke směrům: f(x)^duf(x) + dvf(x). Rovněž je vidět z výše uvedené věty, že směrová derivace nezávisí jen na „směru" vektoru, ale i na jeho velikosti. OO0OOOOOOOO Směrové derivace vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem f{x,y) x4y2 x8+y4 mimo počátek a f {0,0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (neboť při konvergenci „po různých parabolách" dostáváme různé limity). OO0OOOOOOOO Směrové derivace vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo an ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem f{x,y) i zavedení směrových derivací, 4 2 x y xs + y4 mimo počátek a f(0,0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (neboť při konvergenci „po různých parabolách" dostáváme různé limity). Již v případě limit jsme viděli, že nestačí zkoumat chování funkce ve směru souřadných os (parciální derivace), ani po přímkách (směrové derivace), proto by nás uvedené chování nemělo překvapit. OO0OOOOOOOO Směrové derivace vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo an ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem f{x,y) i zavedení směrových derivací, 4 2 x y xs + y4 mimo počátek a f(0,0) = 0, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (neboť při konvergenci „po různých parabolách" dostáváme různé limity). Již v případě limit jsme viděli, že nestačí zkoumat chování funkce ve směru souřadných os (parciální derivace), ani po přímkách (směrové derivace), proto by nás uvedené chování nemělo překvapit. Ke spojitosti potřebujeme silnější pojem, tzv. totální diferenciál, : oooooo«ooooooo Diferenciál funkce jedné proměnné V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě xo je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. □ s oooooo«ooooooo Diferenciál funkce jedné proměnné V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě xo je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. Ukázali jste si, že diferenciál závislé proměnné dy je lineární funkcí diferenciálu nezávislé proměnné dx, splňující dy = f'(xo) ■ dx. oooooo«ooooooo Diferenciál funkce jedné proměnné V minulém semestru jste si říkali, že diferenciál dy funkce jedné proměnné v bodě xo je přírůstek na tečně ke grafu funkce y = f (x) v tomto bodě a jeho existence je ekvivalentní existenci derivace tamtéž. Ukázali jste si, že diferenciál závislé proměnné dy je lineární funkcí diferenciálu nezávislé proměnné dx, splňující dy = f'(xo) ■ dx. Formálně říkáme, že funkce f pokud existuje A e M tak, že je diferencovatelná v xq, |jm f (xq + h)- f (xq) - Ah = o h->0 h (Přitom z definice derivace snadno plyne, že pak A = f'(xo).) Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: n S - = -E -00*0 Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f En- 4R je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = --(ai, an ) G Rn takový, že pro všechny „smery'V G M" platí 1 v m -^0 1 \v\ -(f(x+v)-f(x) — a ■ v) = 0. □ s - = ■€. -o<\(y Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Definice Funkce f : En —> R je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,...,a„)eR" takový, že pro všechny „smery'V G M" platí lim 7—ľ7 (f (x + v) - f (x) - a ■ v) = 0. v->o \\v\\ v 7 Lineární funkci df definovanou předpisem v \—> a ■ v (závislou na vektorové proměnné v) nazýváme diferenciál funkce f. V literatuře se často také říká totální diferenciál df funkce f. □ g - = oooooooo«ooooo Diferenciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Je-li funkce f : R" —> R diferencovatelná v bodě x G R", pak je v tomto bodě spojitá. n S - = -E -00*0 oooooooo«ooooo Diferenciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Je-li funkce f : R" —> R diferencovatelná v bodě x G R", pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f(x + v) - f(x) = a • v + t{v), kde lim^o j^ = 0. □ g - = oooooooo«ooooo Diferenciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Je-li funkce f : R" —> R diferencovatelná v bodě x G R", pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f(x + v) - f(x) = a • v + t{v), kde lim^o J$ = °- Proto: a tedy lim (f(x +v)- f(x)) = lim (a ■ v + t(v)) = 0, lim f(x+ i/) = f(x). D □ S Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné veR' je přitom dvf{x) = áf{x){v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) a ■ v. □ s Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné veR' je přitom dvf{x) = áf{x){v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) a ■ v. Důkaz: dvf{x) = lim \{f{x + tv) - f(x)) = lim ±{df(x)(tv) + r(tv)) df(x)(v) + \\v\\ lim ^^ = df(x)(i/) t^o \\tv\ a ■ v. □ g - = Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné ľ£R" je přitom dvf{x) = df{x){v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf{x) = a ■ v. Důkaz: dvf{x) = lim -t{f{x + tv) - f{x)) = lim ±{df(x)(tv) + r(tv)) df(x)(v) + \\v\\ lim r(tv) t^o \\tv\ df(x)(v) = a ■ v. Poznámka Z předchozího je ihned vidět, že vektor parciálních derivací f'(x) je přímo roven vektoru a. Uvažujme f : E2 —> K se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce df : E2 —> M .. df . df . df = —dx + —dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. □ g - = Uvažujme f : E2 —> K se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce df : E2 —> K .. 9f 9f df = — c/x + — c/y ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně ,, df . df . df . df = T—dxt + -—dx2 -\--------h T—dxn OX\ OX2 oxn (*) a platí: Necht f : En ^ R je funkce n proměnných, která má v okolí bodu xef„ spojité parciální derivace. Pak existuje jejídiferenciál áf v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí (*). □ s - Približné výpočty Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e' 0,05^-0,02 □ s Približné výpočty Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e' 0,05^-0,02 Řešení Využijeme diferenciál funkce f(x s diferencemi v = (0, 05; -0, 02). y) = ex3+y v Máme bodě x = [0,0] df(x,y) = ex3+y- 3x2 dx + ex3+ydy, a tedy df(0, 0) = Odx + Idy, což celkem dává f(0, 05; -0, 02) « f(0, 0) + df(0, 05; -0, 02) = odhad e0-053"0-02 = 1-0,02 = 0,98 Tečná nad rovina ke grafu funkce Pro f : Eo a pevný bod [xo,yo] G Ei uvažme rovinu v Ej,: df df z = f(x0,yo) + ^-(x0,yo)(x-x0) + ^-(*o,yo)(y-yo)- Je to jediná rovina procházející (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(ř) = (x(ř),y(ř), f(x(ř),y(ř))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. □ s - Tečná nad rovina ke grafu funkce Pro f : Eo a pevný bod [xo,yo] G Ei uvažme rovinu v Ej,: df z = f(x0,yo) + ^-(x0,yo)(x x0) + — (x0,yo)(y-yo)- Je to jediná rovina procházející (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(ř) = (x(ř),y(ř), f(x(ř),y(ř))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = sin(x)cos(y). Červená čára je obrazem křivky c(t) = (t,t,f(t,t)). Obecne pro f : En —»- R je tečnou rovinou afinní nadrovina v En+\. □ s - = ■€. -o<\(y Obecně pro f : En —> R je tečnou rovinou afinní nadrovina v E„+i. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f (x)) Q její zaměření je grafem lineárního zobrazení d f (x) : En —> R, tj. diferenciálu v bodě x G E„. □ g - = Obecně pro f : En —> R je tečnou rovinou afinní nadrovina v E„+i. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f (x)) Q její zaměření je grafem lineárního zobrazení d f (x) : En —> R, tj. diferenciálu v bodě x e E„. Analogie s funkcemi jedné proměnné: Diferencovatelná funkce f má na En v bodě xef„ nulový diferenciál tehdy a jen tehdy, když její složení s libovolnou křivkou procházející tímto bodem zde má stacionární bod. To ovšem neznamená, že v takovém bodě musí mít f aspoň lokálně buď maximum nebo minimum. Stejně jako u funkcí jedné proměnné můžeme rozhodovat teprve podle derivací vyšších. □ s Plán přednášky Q Literatura Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace • Totální diferenciál • Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta □ s Pro pevný přírůstek v G R" je vyčíslení diferenciálů na tomto přírůstku opět operace na funkcích f : En —>■ R f^dvf = df(v). Výsledkem je df(v) : En —>■ R. Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme tento proces opakovat. n 3 - = -E -00*0 Pro pevný přírůstek v G R" je vyčíslení diferenciálů na tomto přírůstku opět operace na funkcích f : En —>■ R f^dvf = df(v). Výsledkem je df(v) : En —>■ R. Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme tento proces opakovat. Pro parciální derivace druhého řádu píšeme , d d ,r d2 r d2f {-----o-----)r =---------r =--------- dxj dxj dxjdxj dxjdxj v případě opakované volby / =j píšeme také d ď d2 d2f dxj dxj dxf dxf' Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o parciálních derivacích A-tého řádu dkf dxh ... dxik Necht f : En ^ R je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu xeR". Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o parciálních derivacích A-tého řádu dkf dxh ... dxik Necht f : E„ je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu xeR". Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. Speciálně tedy pro n = 2 platí (při alternativním způsobu zápisu parciálních derivací): fxy(xO,yo) = fyx(xO,yo)- Definice Je-li f : En —> R libovolná dvakrát diferencovatelná funkce v bodě x, nazýváme symetrickou matici Hf(x) d2f dxjdxj w ôxiôxi W • • • 9xi9x„ W l ď2f fx) ď2f (V) / \9x„9xi^ ' ' ' ' dxndxn v // Hessovou maticí (příp. Hessiánem) funkce f v bodě x. Často bývá Hessián značen f"(x). Definice Je-li f : En —> R libovolná dvakrát diferencovatelná funkce v bodě x, nazýváme symetrickou matici Hf(x) d2f dxjdxj w ôxiôxi W • • • 9xi9x„ W l ď2f fx) ď2f (V) / \9x„9xi^ ' ' ' ' dxndxn v // Hessovou maticí (příp. Hessiánem) funkce f v bodě x. Často bývá Hessián značen f"{x). Poznámka Analogicky jako v případě parciálních derivací lze definovat i směrové derivace vyšších řádů v bodě x G En. Pak platí (za předpokladu spojitosti jedné ze stran v x) fuv(x) = fw{x) = uTHf{x)v = (Hf(x)u) • v. Pro krivku c(ř) = (x(ř),y(ř)) = (xo + £r,yo + f}t) mají funkce a(t) = f(x(t),y(t)) df df ß(t) = f(x0,y0) + — (x0,yo)C + ^-(x0,yo)í? + 2 ( f™(xo' -Vo)C + 2fxy(x0, yo){r? + fyy(x0, yo)r?' v bodě (xo,yo) stejné derivace do druhého řádu včetně. □ g - = Pro krivku c(ř) = (x(ř),y(ř)) = (xo + £r,yo + f}t) mají funkce a(t) = f(x(t),y(t)) df df ß(t) = f(x0,y0) + — (x0,yo)C + ^-(x0,yo)í? + 2 í fxx(xo,yo)C2 + 2fxy(x0,yo){r? + fyy(x0,y0)r?2 v bodě (xo,yo) stejné derivace do druhého řádu včetně. Funkci ß lze psát vektorově takto: ß{t) = f(x0,yo) +df(x0,yo) • Q + \&rj) ■ Hf(x0,y0) ■ ^ nebo ß(t) = f(x0,yo) +áf(xo,y0)(v) + |r/f(x0,y0)(i/, v), kde v = (£>v) = c'(ř) Je přírůstek zadaný derivací křivky c(ř) a Hessián symetrická 2-forma. DMSMIMI Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné! Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f(x,y) = sin(x)cos(y). n 3 - = -E -00*0 Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné! Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f(x,y) = sin(x)cos(y). Obecně pro funkce f : En —>■ R, body x = [xi,... , x„] G En a přírůstky v = (£1,..., £n) klademe dkf(x)(v)= £ gx,g/(fgx, (x1,...,Xn)-6-1---6fc- l R v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro ľGK" platí: f(x) = f(x* + v)= Tm{x) + Rm(x), □ s Věta (Taylorova) Necht má funkce f : En —> R v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro ľGK" platí: f(x) = f(x* + v)= Tm(x) + Rm(x), kde Tm(x) = f(x*)+df(x*)(v) + \d2f(x*)(v) + --- + ^dmf(x*)(v), resp. Rm(x) (m + 1)! dm+íf{x* + 9v){v), 0 6(0,1), je Taylorův polynom, resp. zbytek v Taylorově vzorci a v = x — x* je vektor diferencí. Věta (Taylorova) Necht má funkce f : En —> R v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro ľGK" platí: f(x) = f(x* + v)= Tm(x) + Rm(x), kde Tm(x) = f(x*)+df(x*)(v) + \d2f(x*)(v) + --- + ^dmf(x*)(v), resp. Rm(x) (m + 1)! dm+íf{x* + 9v){v), 0 6(0,1), je Taylorův polynom, resp. zbytek v Taylorově vzorci a v = x — x* je vektor diferencí. Důkaz: poměrně snadný s využitím Taylorovy věty pro funkci F(t) = f(x* 4- t ■ v) iedné Droměnné t. Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: □ s Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(x0,yo) + df(x0,yo)(x - x0,y - yo) □ s Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(x0,yo) + df(x0,yo)(x - x0,y - yo) Výraz třetího řádu d3f(x,y)(e,r?) ___£J 4. 3 dx3 dx2dy rfif a2 „ rfif _____ 2 9V 3 9x9y2^ +9y3Í? □ s Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(xo,yo) + df(x0,yo)(x-x0,y-yo) Výraz třetího řádu d3f(x,y)(C,v) d3f ^ 0 cřf 2 cřf 2 93f 3 9x3 r + 3 dx2dy ri + a^^ír + oT dxdy2 dy3 a obecně d^(x,y)(e,r?) = ^('^^g^e'<-V. í=0 ^y ox^ ^9)/ Poznámka Uvedené výrazy Vám jistě (možná, snad?) připomínají binomickou větu. Tak si je lze rovněž „neformálně" zapamatovat: přičemž j-té mocniny nahrazujeme j-tými parciálními derivacemi. Taylorova věta nám (stejně jako v jednorozměrném případě) dává lepší možnosti aproximace funkcí v okolí bodu než pouhý diferenciál. Přenost výpočtu samozřejmě přímo ovlivní i volba funkce, jejíž hodnoty budeme aproximovat. Aproximace Taylorova věta nám (stejně jako v jednorozměrném případě) dává lepší možnosti aproximace funkcí v okolí bodu než pouhý diferenciál. Přenost výpočtu samozřejmě přímo ovlivní i volba funkce, jejíž hodnoty budeme aproximovat. Příklad Pomocí Taylorovy věty přibližně vypočteme e' 0,05J-0,02 □ g - = Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = fori) = (0,05; -0,02). Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = fori) = (0,05; -0,02). Parciální derivace jsou: df _ „x3+y o 2 9f _ „x3+> e ° ' 9y ~~ e 2 . q„2 , a^ 92f dx ex3 (3x2 ď2f 9x2 ^3 dxy ex+y -3x2, ď2f dy2 Řešení Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = fori) = (0,05; -0,02). Parciální derivace jsou: df _ px3+y o „2 d f _ px3+y d2f _ dx — e OX ' dy — e ' 9x2 — e*3+y -(3x2 • 3x2 + 6x), g = e*3+y -3x2, g = e^ . Pak 2. 72(0 + C 0 + r?) = = f(0,0)+df(0,0] • (e, v) + (e, í?) d2f(0,0)- W ~ = 1 + r? + r?2. Řešení Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = fori) = (0,05; -0,02). Parciální derivace jsou: 91 _ px3+y o JI 91 _ px3+y cP± 9x ~ e OA ' 9y — e ' «v2 e*3+y .(3x2 ■ 3x2 + 6x), g pX3+y o 2 &± _ „x3+y ' 9y2 — Pak 72(0 + C 0 + r?) = = f(0, 0) + df(0, 0) • (£, rj) + (£, rj) ■ d2f(0, 0) = 1 + T] + T]2. Odtud dostáváme odhad eo,053-o,02 ~ i _ o, 02 + 0,022 = 0, 9804.