Matematika III - 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 7. 10. 2009 □ S Q Literatura Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy Q Literatura • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy oooooooooooo Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. □ s oooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. □ S • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). 9 Předmětové záložky v IS MU Q Literatura Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy Pro pevný přírůstek v G R" je vyčíslení diferenciálů na tomto přírůstku opět operace na funkcích f : En —>■ R f^dvf = df(v). Výsledkem je df(v) : En —>■ R. Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme tento proces opakovat. □ s - Pro pevný přírůstek v G R" je vyčíslení diferenciálů na tomto přírůstku opět operace na funkcích f : En —>■ R f^dvf = df(v). Výsledkem je df(v) : En —>■ R. Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme tento proces opakovat. Pro parciální derivace druhého řádu píšeme (-o-)f Kdxj dxiJ d2 d2f dxjdxj dxjdxj v případě opakované volby / =j píšeme také d2 (—o—)f dx2 dx2' □ s o«oooooooooo oooooooooooooo Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o parciálních derivacích A-tého řádu dkf dxh ... dxik Necht f : En ^ R je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu xeR". Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. □ s o«oooooooooo oooooooooooooo Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o parciálních derivacích A-tého řádu dkf dxh ... dxjk' Necht f : E„ je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu xeR". Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. Speciálně tedy pro n = 2 platí (při alternativním způsobu zápisu parciálních derivací): fxy(xO,yo) = fyx(xO,yo)- □ S Viděli jsme, že pro aproximaci funkce pomocí lineárního polynomu slouží tečna (tedy diferenciál). Lze ale použít i aproximace vyšších řádů. V tomto obecnějším případě potom hovoříme o Taylorově polynomu. oo«ooooooooo Taylorův polynom funkce jedné proměnné - opakování Viděli jsme, že pro aproximaci funkce pomocí lineárního polynomu slouží tečna (tedy diferenciál). Lze ale použít i aproximace vyšších řádů. V tomto obecnějším případě potom hovoříme o Taylorově polynomu. Definice Nechť xo G V{f) je bod, ve kterém existují vlastní derivace f'{xo), f"{xo), ■ ■ ■, f^n\xo) funkce f(x) až do řádu n. Taylorův polynom stupně n funkce f{x) se středem v bodě xo je polynom T(x)=Tn(x)=Tnf(x)=Tnf(x;xo) definovaný jako 7(x) f (xo)+f'(xo) (x-x0)+^ (x-x0)2+- • ■+f^L (x-xJ)". Necht f (x) má spojité derivace f (x), f"(x), ..., f^n\x) na uzavřeném intervalu [a, b] a necht existuje vlastní derivace f(n+1)(x) na otevřeném intervalu (a, b). Potom pro každý bod x G (a, b) existuje bod c e (a, x) tak, že platí rovnost f (x) = Tn{x) + Rn(x), f(n+l)(-\ kdeRn(x)= (n + iy(*-a)"+1, kde Tn{x) je Taylorův polynom stupně n funkce f (x) se středem v bodě a. □ g - = Definice Je-li f : En —> R libovolná dvakrát diferencovatelná funkce v bodě x, nazýváme symetrickou matici Hf(x) d2f dxjdxj w ôxiôxi W • • • 9xi9x„ W l ď2f fx) ď2f (V) / \9x„9xi^ ' ' ' ' dxndxn v // Hessovou maticí (příp. Hessiánem) funkce f v bodě x. Často bývá Hessián značen f"(x). □ g - = Definice Je-li f : En —> R libovolná dvakrát diferencovatelná funkce v bodě x, nazýváme symetrickou matici Hf(x) d2f dxjdxj w ôxiôxi W • • • 9xi9x„ W l ď2f fx) ď2f (V) / \9x„9xi^ ' ' ' ' dxndxn v // Hessovou maticí (příp. Hessiánem) funkce f v bodě x. Často bývá Hessián značen f"{x). Poznámka Analogicky jako v případě parciálních derivací lze definovat i směrové derivace vyšších řádů v bodě x G En. Pak platí (za předpokladu spojitosti jedné ze stran v x) fuv(x) = fw{x) = uTHf{x)v = (Hf(x)u) • v. Pro krivku c(ř) = (x(ř),y(ř)) = (xq + £r,yo + f}t) mají funkce a(t) = f(x(t),y(t)) df df ß(t) = f(x0,y0) + — (x0,yo)C + ^-(x0,yo)í? + ~ ( fxx(xo,yo)Š2 + 2fxy(x0,yo)Cr? + fyy(x0,yo)r?2 v bodě (xo,yo) stejné derivace do druhého řádu včetně. □ g - = Pro krivku c(ř) = (x(ř),y(ř)) = (xo + £r,yo + f}t) mají funkce a(t) = f(x(t),y(t)) df df ß(t) = f(x0,y0) + — (x0,yo)C + ^-(x0,yo)í? + 2 í fxx(xo,yo)C2 + 2fxy(x0,yo){r? + fyy(x0,y0)r?2 v bodě (xo,yo) stejné derivace do druhého řádu včetně. Funkci ß lze psát vektorově takto: ß(t) = f(x0,yo) +df(x0,yo) • Q + ^(£,r?) • Hf(x0,y0) ■ ^ nebo ß(t) = f(x0,yo) +áf(xo,y0)(v) + |r/f(x0,y0)(i/, v), kde v = (£>v) = c'(ř) Je přírůstek zadaný derivací křivky c(ř) a Hessián symetrická 2-forma. □ g - = OOOOOO0OOOOO Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné! Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f(x,y) = sin(x)cos(y). n S - = -E -00*0 OOOOOO0OOOOO Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné! Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f(x,y) = sin(x)cos(y). Obecně pro funkce f : En —>■ R, body x = [xi,... , x„] G En a přírůstky v = (£1,..., £n) klademe dkf(x)(v) = Y, l R v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro ľGK" platí: f(x) = f(x* + v)= Tm{x) + Rm(x), □ s Věta (Taylorova) Necht má funkce f : En —> R v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro ľGK" platí: f(x) = f(x* + v)= Tm(x) + Rm(x), kde Tm(x) = f(x*)+df(x*)(v) + \d2f(x*)(v) + --- + ^dmf(x*)(v), resp. Rm(x) (m + 1)! dm+íf{x* + 9v){v), 0 6(0,1), je Taylorův polynom, resp. zbytek v Taylorově vzorci a v = x — x* je vektor diferencí. n S - = -E -00*0 Věta (Taylorova) Necht má funkce f : En —> R v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro ľGK" platí: f(x) = f(x* + v)= Tm(x) + Rm(x), kde Tm(x) = f(x*)+df(x*)(v) + \d2f(x*)(v) + --- + ^dmf(x*)(v), resp. Rm(x) (m + 1)! dm+íf{x* + 9v){v), 0 6(0,1), je Taylorův polynom, resp. zbytek v Taylorově vzorci a v = x — x* je vektor diferencí. Důkaz: poměrně snadný s využitím Taylorovy věty pro funkci F(t) = f(x* 4- t ■ v) iedné Droměnné t. ooooooooo«oo oooooooooooooo Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: □ s ooooooooo«oo oooooooooooooo Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(x0,yo) + df(x0,yo)(x - x0,y - yo) □ s ooooooooo«oo oooooooooooooo Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(x0,yo) + df(x0,yo)(x - x0,y - yo) Výraz třetího řádu d3f(x,y)(e,r?) ___£J 4. 3 dx3 dx2dy rfif a2 „ rfif _____ 2 9V 3 9x9y2^ +9y3Í? □ s ooooooooo«oo oooooooooooooo Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(xo,yo) + df(x0,yo)(x-x0,y-yo) Výraz třetího řádu d3f(x,y)(C,v) d3f ^ 0 cřf 2 cřf 2 93f 3 9x3 r + 3 dx2dy ri + a^^ír + oT dxdy2 dy3 a obecně d^(x,y)(e,r?) = ^('^^g^e'<-V. í=0 ^y ox^ ^9)/ Poznámka Uvedené výrazy Vám jistě (možná, snad?) připomínají binomickou větu. Tak si je lze rovněž "neformálně" zapamatovat: přičemž j-té mocniny nahrazujeme j-tými parciálními derivacemi. Taylorova věta nám (stejně jako v jednorozměrném případě) dává lepší možnosti aproximace funkcí v okolí bodu než pouhý diferenciál. Přenost výpočtu samozřejmě přímo ovlivní i volba funkce, jejíž hodnoty budeme aproximovat. OOOOOOOOOO0O oooooooooooooo Aproximace Taylorova věta nám (stejně jako v jednorozměrném případě) dává lepší možnosti aproximace funkcí v okolí bodu než pouhý diferenciál. Přenost výpočtu samozřejmě přímo ovlivní i volba funkce, jejíž hodnoty budeme aproximovat. Příklad Pomocí Taylorovy věty přibližně vypočteme e' 0,05J-0,02 □ g - = Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = fori) = (0,05; -0,02). Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = fori) = (0,05; -0,02). Parciální derivace jsou: df _ „x3+y o 2 9f _ „x3+> e ° ' 9y ~~ e 2 . q„2 , a^ 92f dx ex3 (3x2 ď2f 9x2 ^3 dxy ex+y -3x2, ď2f dy2 Řešení Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = fori) = (0,05; -0,02). Parciální derivace jsou: df _ px3+y o „2 d f _ px3+y d2f _ dx — e OX ' dy — e ' 9x2 — e*3+y -(3x2 • 3x2 + 6x), g = e*3+y -3x2, g = e^ . Pak 2. 72(0 + C 0 + r?) = = f(0,0)+df(0,0] • (e, v) + (e, í?) d2f(0,0)- W ~ = 1 + r? + r?2. Řešení Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = fori) = (0,05; -0,02). Parciální derivace jsou: 91 _ px3+y o JI 91 _ px3+y cP± 9x ~ e OA ' 9y — e ' «v2 e*3+y .(3x2 ■ 3x2 + 6x), g pX3+y o 2 &± _ „x3+y ' 9y2 — Pak 72(0 + C 0 + r?) = = f(0, 0) + df(0, 0) • (£, rj) + (£, rj) ■ d2f(0, 0) = 1 + T] + T]2. Odtud dostáváme odhad eo,053-o,02 ~ i _ o, 02 + 0,022 = 0, 9804. Q Literatura • Parciální derivace vyšších řádů • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy • Absolutní (globální) extrémy oooooooooooo •ooooooooooooo Definice Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x G Ľ platí f (x) < f (x*) (resp. f (x) > f(x*))- Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x^x', hovoříme o ostrém lokálním extrému. □ s oooooooooooo •ooooooooooooo Definice Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x e ľ platí f (x) < f (x*) (resp. f (x) > f(x*))- Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x^x', hovoříme o ostrém lokálním extrému. Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f, ve kterém je diferenciál df{x) nulový, nazýváme stacionární bod funkce f. □ s oooooooooooo •ooooooooooooo Definice Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x G Ľ platí f (x) < f (x*) (resp. f (x) > f(x*))- Pokud nastáva v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x^x', hovoříme o ostrém lokálním extrému. Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f, ve kterém je diferenciál df{x) nulový, nazýváme stacionární bod funkce f. Nutnou podmínkou pro existenci maxima nebo minima v bodě x* (v případě diferencovatelnosti funkce f v x*) je vymizení diferenciálu v tomto bodě, tj. df(x*) = 0. Skutečně, pokud je df(x*) 7^ 0, pak existuje směr v, ve kterém je dvf{x*) ^ 0. Pak ovšem nutně je podél přímky x* + tv na jednu stranu od bodu x* hodnota funkce roste a na druhou klesá. □ s oooooooooooo 0*000000000000 Příklad Funkce f : E2 f {x, y) definovaná předpisem íx2+y2, pro [x,y] ^[0,0], pro[x,y] = [0,0] má v počátku ostré lokálni maximum (přitom zde není spojitá, a tedy ani diferencovatelná). □ g - = oooooooooooo 0*000000000000 Příklad Funkce f : E2 f {x, y) definovaná předpisem íx2+y2, pro [x,y] ^[0,0], pro[x,y] = [0,0] má v počátku ostré lokálni maximum (přitom zde není spojitá, a tedy ani diferencovatelná). Příklad Funkce f(x,y) = yx2 +y2 je v počátku spojitá a má zde ostré lokální minimum, přestože v tomto bodě není diferencovatelná (grafem funkce je kuželová plocha - viz první přednáška). □ s Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Přitom ale (podobně jako u funkcí jedné proměnné) stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. funkce f(x,y) = (x — xo)(y — yo) má v bodě [xo,yo] stacionární bod (df = §£c/x + ^dy = (y — yo)dx + (x - x0)dy), nemá zde však zřejmě lokální extrém (jde o tzv. "sedlo"). Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Přitom ale (podobně jako u funkcí jedné proměnné) stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. funkce f(x,y) = (x — xo)(y — yo) má v bodě [xo,yo] stacionární bod (df = §£c/x + ^dy = (y — yo)dx + (x - x0)dy), nemá zde však zřejmě lokální extrém (jde o tzv. "sedlo"). Poznat, jakého typu je daný stacionární bod, nám stejně jako v případě funkcí jedné proměnné umožní (díky Taylorově větě) derivace vyšších řádů. Mějme funkci f : R —> R a její stacionární bod xo (tj. ^'(xo) = 0). Je-li f"{xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Mějme funkci f : R —> R a její stacionární bod xo (tj. f'{xo) = 0). Je-li f"{xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Toto tvrzení vyplynulo z Taylorovy věty (stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f(x) = 7i(x) + /?i(x) = = f M + f'(xo)(x - xo) + \f"{í){x - xo)2 = = f(xo) + \f"(ax-xo)2, kde £ leží mezi x a xo. Mějme funkci f : R —> R a její stacionární bod xo (tj. f'{xo) = 0). Je-li f"{xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Toto tvrzení vyplynulo z Taylorovy věty (stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f(x) = 7i(x) + /?i(x) = = f M + f'(xo)(x - xo) + \f"{í){x - xo)2 = = f(xo) + \f"(ax-xo)2, kde £ leží mezi x a xo. Ze spojitosti f" a vlastnosti f"{xo) < 0 pak pro £ dostatečně blízko xo dostáváme f "(O < 0 a tedy R\(x) < 0 dostatečně blízko xo . Proto zde f (x) < f(xo) a xo je lokálním maximem. oooooooooooo oooo»ooooooooo Situace ve více proměnných Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) - nulový vektor parciálních derivací). □ s Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Z Taylorovy věty pak dostáváme (opět stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f(x) = 7i(x) + /?i(x) = = f(x*) + df (x*)(x -x*) + \ d2f (0(x - x*) = = f(x*) + id2f(0(x-x*), kde £ = x* + Qv (pro 61 G (0,1)) leží mezi x a x*. Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Z Taylorovy věty pak dostáváme (opět stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f(x) = 7i(x) + /?i(x) = = f (x*) + df (x*)(x - x*) + \ d2f (0(x - x*) = = f(x*) + id2f(0(x-x*), kde £ = x* +9v (pro 61 G (0,1)) leží mezi x a x*. Zbývá do více proměnných přeložit podmínku, která říká, že výraz d2f(0(x-x*) = (x-x*)7Wf(0(x-x*) je nekladný (resp. nezáporný) pro libovolné x. oooooooooooo ooooo«oooooooo Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : En —> R je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny i/^0 • pozitivně semidefinitní, je-li h{u) > 0 pro všechny u G V • negativně definitní, je-l h(u) < 0 pro všechny i/^O • negativně semidefinitní , je-li h{u) < 0 pro všechny u G V • indefinitní , je-li h(u) > C ) a h{v) < 0 pro vhodné u, v G V. oooooooooooo ooooo«oooooooo Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : En —> R je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny i/^0 • pozitivně semidefinitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u G V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny i/^0 • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny i/el/ • indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u, v G V. Často rovněž hovoříme o definitnosti matice A kvadratické formy h (jsou spolu ve vztahu h(u) = uTAu = Au ■ u). oooooooooooo ooooo«oooooooo Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : En —> R je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny i/^0 • pozitivně se m i definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u G V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny i/^0 • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny i/el/ • indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u, v G V. Často rovněž hovoříme o definitnosti matice A kvadratické formy h (jsou spolu ve vztahu h(u) = uTAu = Au ■ u). • S těmito pojmy jste se setkali již v části věnované lineárním modelům a měli byste tedy umět rozeznat definitnost kvadratické formy (resp. její matice v dané bázi). oooooooooooo oooooo«ooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: □ s Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A jsou záporné, Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A jsou záporné, • hlavní minory A střídají znaménko, počínaje záporným. oooooooooooo ooooooo«oooooo jfjíj A/ec/7ř f : En -x* G En necht ■» M je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a je stacionární bod funkce f. Potom O je-li Hf(x*) pozitivně (negativně) definitní lokální minimum (maximum), ', má f v x* ostré d je-li Hf{x *) indefinitní, nemá f v bodě x* lokální extrém. O má-li f v x* lokální minimum (maximum), pozitivně (negativně) semidefinitní, je Hf(x*) □ s oooooooooooo ooooooo«oooooo jfjíj A/ec/7ř f : En -x* G En necht ■» M je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a je stacionární bod funkce f. Potom O je-li Hf(x*) pozitivně (negativně) definitni lokální minimum (maximum), ', má f v x* ostré d je-li Hf{x *) indefinitní, nemá f v bodě x* lokální extrém. O má-li f v x* lokální minimum (maximum), pozitivně (negativně) semidefinitní, je Hf(x*) Všimněme si, že věta nedává žádný výsledek, pokud je hessián funkce ve zkoumaném bodě degenerovaný (nulový). Důvod je opět stejný jako u funkcí jedné proměnné. Vtákových případech totiž existují směry, ve kterých první i druhá derivace zmizí a my proto v tomto řádu přiblížení neumíme poznat, zda se funkce bude chovat jako ř3 nebo jako ±r4 dokud nespočteme alespoň v potřebných směrech derivace vyšší. □ s oooooooooooo oooooooo«ooooo Příklad Uvažme funkci f(x,y) = sin(x)cos(y), která připomíná známá kartónová plata na vajíčka a spočtěme její lokální extrémy. □ g - = oooooooooooo ooooooooo»oooo Příklad (pok O______ ____________ Spočtěme si nejprve prvn ' parciál ní d erivace: fx(x y) = cos(x) ;os(y), fy{> *>y) = - sin(x)sin(y), takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů O cos(x) = = 0, sin(y) = 0, to je [x> y] = [2T«>*«i pro libovolné k,£ G Z Q cos(y) = = 0, sin(x) = 0, to je [x> y} = [kTT ^vr], pro libovolné /(,leZ. □ s oooooooooooo ooooooooo»oooo Příklad (pok O _____ ______ Spočtěme si nejprve prvn parciál ní derivace: fx(x, y) = cos(x) :os(y), fy(x,y) -- = — sin(x)sin(y), takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů O cos(x) = = 0, sin(y) = 0, to je [x, y] = \2kt^M. pro libovolné k,£ G Z Q cos(y) = = 0, sin(x) = 0, to je [x, y] = [fcTT.^TT], pro libovolné /(,leZ. Druhé parciá lni derivace jsou Wf(x,y) = 'xx 'xy \ i f f (X \'xy lyy J ,/)=( ' — sin(x) v— cos(x} cos(y) — cos(x) sin(y) — sin(x) sin(y)\ ;os(y)y □ s oooooooooooo oooooooooo«ooo Příklad (pokr.) 1 V našich dvou sadác i bod j tedy dostáváme následující hessiany: O Wf(/or + f,^r) = ± (1 0") [o 1) , přičemž znaménko + nastává, když k a £ jsou různé \ / parity a naopak pro —, O Hf(k7T,£7T + ^) = ± (0 1\ li 0) , přičemž znaménko + nastává, když k a £ jsou různé \ / parity a naopak pro —. □ s oooooooooooo oooooooooo«ooo Příklad (pokr.) V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiany: O W(/r7r + !,&r) = ±(j f když k a £ jsou různé parity a naopak pro e Hf(kTT,eTT + ^ = ±(°1 J' když /c a ^ jsou různé parity a naopak pro —. Protože naše funkce má spojitý hessián, který je nedegenerovaný, nastane lokální maximum tehdy a jen tehdy, když náš bod (x*,y*) patří do první skupiny se stejnými paritami k a í. Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny bude naopak bodem lokálního minima. přičemž znaménko + nastává, přičemž znaménko + nastává, □ s oooooooooooo oooooooooo«ooo přičemž znaménko + nastává, přičemž znaménko + nastává, Příklad (pokr.) V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: O W(/r7r + !,&r) = ±(j f když k a £ jsou různé parity a naopak pro e Hf(k7T,e7T + §) = ± (° J' když /c a £ jsou různé parity a naopak pro —. Protože naše funkce má spojitý hessián, který je nedegenerovaný, nastane lokální maximum tehdy a jen tehdy, když náš bod (x*,y*) patří do první skupiny se stejnými paritami k a í. Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny bude naopak bodem lokálního minima. Naopak, hessián u druhé skupiny bodů se vyčíslí kladně na některých přírůstcích a záporně na jiných. Stejně se proto bude chovat i celá funkce f v okolí těchto stacionárních bodů. □ s oooooooooooo ooooooooooo»oo Příklad (Poznámky) • matice 0 1 1 0 je indefinitní, přestože má oba hlavní minory nekladné (pro semidefinitnost je znaménko minorů pouze nutnou podmínkou!) □ s - oooooooooooo ooooooooooo»oo Příklad (Poznámky) • matice je indefinitní, přestože má oba hlavní minory nekladné (pro semidefinitnost je znaménko minorů pouze nutnou podmínkou!) • nalezené lokální extrémy šlo jistě najít snadněji úvahou o nabývání hodnot ±1 funkcí f(x,y) = sin(x)cos(y), neměli bychom ale jistotu, že jde o všechny extrémy. □ s oooooooooooo oooooooooooo«o Absolutní extrémy Definice Nechť f : En —> R a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f (x) (f (x*) < f (x)) pro všechna x e M. □ S oooooooooooo oooooooooooo«o Absolutní extrémy Definice Nechť f : En —> R a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f (x) (f (x*) < f (x)) pro všechna x e M. ^^^^ ■ Existence extrémů na kompaktní (uzavřené a ohraničené) množině vyplývá z Weierstrassovy věty. Necht M C En je kompaktní množina, f : M ^ R spojitá. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. □ s - oooooooooooo oooooooooooo«o Absolutní extrémy Definice Nechť f : En —> R a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f (x) (f (x*) < f (x)) pro všechna x e M. ^^^^ ■ Existence extrémů na kompaktní (uzavřené a ohraničené) množině vyplývá z Weierstrassovy věty. Necht M C En je kompaktní množina, f : M ^ R spojitá. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů uvnitř M nebo v některém hraničním bodě.______________________ Hledání absolutních extrémů funkce na množině tak máme převedeno na nalezení lokálních extrémů (což umíme) a vyšetření hraničních bodů. To je ale často komplikovanější záležitost, které se budeme více věnovat později v části o vázaných extrémech. oooooooooooo Příklad Nalezněte extrémy funkce f (x, y) = xy — x2 — y2 + x + y na množině M, která je dána trojúhelníkem, tvořeným souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0. □ s oooooooooooo Příklad Nalezněte extrémy funkce f (x, y) = xy — x2 — y2 + x + y na množině M, která je dána trojúhelníkem, tvořeným souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0. Řešení Jediným stacionárním bodem je [1,1], kde nastává absolutní maximum f(l, 1) = 1. Absolutní minimum —12 nastává v hraničních bodech [4,0] a [0,4]. □ s