Integrálni počet vice p oooooooooooooo Matematika III - 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 11. 2009 □ S Q Literatura Q Integrální počet více proměnných • Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice Q Numerická integrace • Numerické derivování • Numerická kvadratura Q Literatura Q Integrální počet více proměnných 9 Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice 9 Numerické derivovaní • Numerická kvadratura oooooooooooooo Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. □ s oooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. 9 Předmětové záložky v IS MU • Boris Pavlovic Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003. • Emil Vitásek, Numerické metody, SNTL, 1987. □ s Q Literatura Q Integrální počet více proměnných • Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice 9 Numerické derivovaní • Numerická kvadratura Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve, jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou: •ooooooooooooo Záměna souřadnic při integraci Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve, jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou: Integrovaný výraz f(x)dx vyjadřuje plochu obdélníčku určeného (linearizovaným) přírůstkem proměnné x a hodnotou f{x). Pokud proměnnou transformujeme vztahem x = u(ř), vyjadřuje se i linearizovaný přírůstek jako du dx dt dt a proto i příslušný příspěvek pro integrál je vyjádřen jako Mt))^dt, přičemž buď předpokládáme, že znaménko derivace u'{ť) je kladné, nebo dojde k obrácení mezí integrálu, takže ve výsledku se znaménko neprojeví. Integrálni počet vice p o»oooooooooooo Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineárni algebry o objemu rovnoběžnostěnů (http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_ substitution#Substitution_for_multiple_variables). □ s Integrálni počet vice p o»oooooooooooo Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineárni algebry o objemu rovnoběžnostěnů (http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_ substitution#Substitution_for_multiple_variables). Necht G'(ŕi,..., ŕ„) : En -»■ E„, [ X\,..., xn ] = G{ti,...,t„),je spojitě diferencovatelné zobrazení, T a S = G (T) jsou Riemannovsky měřitelné množiny a f : S —> R spojitá funkce. Potom platí / f(x1,...,xn)dx1 ...xn = j f(G(t1}..., ŕ„))| detíD^íŕi,..., tn))\dt!... dtn. Podrobný formální důkaz nebudeme uvádět, je však přímočarou realizací výše uvedené úvahy ve spojení s definicí Riemannova Integrálni počet vice p oo«ooooooooooo Abychom si priblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f (x, y) ve dvou proměnných a transformaci G(s,t) = (g(s,t),h(s,t)). Dostáváme f f(x.y)dx<,y=[f(g(s,t),h(s.t))9g9h 9e8h JG(T) JT ds dt dt ds dsdt. □ S Integrálni počet vice p oo«ooooooooooo Abychom si priblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f (x, y) ve dvou proměnných a transformaci G(s,t) = (g(s,t),h(s,t)). Dostáváme dg dh dg dh G(T) f(x,y)dxdy= / f(g(s,t),h(s,t)) ds dt dt ds dsdt. Konkrétně: spočtěme integrál z charakteristické funkce kruhu o poloměru R (tj. jeho obsah) definovaného v polárních souřadnicích. □ s - Integrálni počet vice p oo«ooooooooooo Abychom si priblížili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f (x, y) ve dvou proměnných a transformaci G(s,t) = (g(s,t),h(s,t)). Dostáváme dg dh dg dh ds dt dt ds f(x,y)dxdy= / f(g(s,t),h(s,t)) 'G(T) Jt Konkrétně: spočtěme integrál z charakteristické funkce kruhu o poloměru R (tj. jeho obsah) definovaného v polárních souřadnicích. Nejprve spočítáme Jacobiho matici transformace x = rcosip, y = r sin ip lr fcosip —rs\r\tf u (j dsdt. s\nip rcos(p Proto je determinant z této matice roven det D1 G(r, <■=► <■=► Integrálni počet vice p OOO0OOOOOOOOOO Můžeme tedy přímo počítat pro kružnici S o poloměru R, která je obrazem obdélníku (r,ip) G [0, R] x [0,2ir] = T: dxdy 2tt /•/? /•/? / rdrd(p= 2vr r dr = irR2. o Jo Jo □ s Integrálni počet vice p oooo«ooooooooo Příklad (využití polárních souřadnic) Zjednodušte dvojný integrál /= / f(^/x2+y2)dxdy /x2+y20,■ E3 je dáno předpisem rcosip, y = rs\nip, z = z, □ s - OOOOO0OOOOOOOO Časté transformace souřadnic v E Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, (f, z]; r > 0, tf G [0, 2tt), z g M} —> E3 je dáno předpisem x = r cos (f, y = rs\r\0,

0,

E3 je dáno předpisem x = r cos (f, y = r s\n ip, z = z, r = V*2 +y2,tg<£ y ,z = z ) *- / ' a tedy (cosp) — ršmtp 0^ D1 G = [ sin(/? r cos ip 0 0 0 1, □ s - = ■€. -o<\(y Integrálni počet vice p oooooo«ooooooo Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, tf, z]; r > 0,

E3 je dáno předpisem x = r cos (f, y = rs\r\ip, z = z, r = V*2 +y2,tg<£ y ,z = z ) *- / ' a tedy D1 G Proto je det D1 G = r. ^cosLp — rs\r\(p 0^ sint£> r cos (p 0 0 0 1, □ s - = ■€. -o<\(y ooooooo»oooooo Časté transformace souřadnic v E? Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 9, (p]\ r > 0, 9 G [0, vr], (p G [0, 2vr)} -► E3 je dáno předpisem x = r sin 9 costp, y = r sin ösin ip, z = rcos9, □ g - = ooooooo»oooooo Časté transformace souřadnic v E? Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 9, (p]\ r > 0, 9 G [0, vr], (p G [0, 2vr)} -► E3 je dáno předpisem x = r sin 9 costp, y = r sin ösin ip, z = rcos9, -E -00*0 Integrálni počet vice p oooooooo«ooooo Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, 9, (p]\ r > 0, 9 G [0, vr], (p G [0, 2vr)} -► E3 je dáno předpisem x = r sin 9cosip, y = r sin ösin ip, z = rcos9, y 'x2 + y2 + z2, tg ip = —, cos 9 x ;x2 + y2 + z1 a tedy ^sin#cos(£> rcos9s\nuo —r sin ö sin ^ D1G= j sin#sint£> rcos9s\r\Lp rs\r\9cos

0, 9 G [0, vr], (p G [0, 2vr)} -► E3 je dáno předpisem x = r sin ôcostp, y = r sin ösin ip, z = rcosô, y ~ z /x2+y2+z2,tgip -, cos 9 i x1 +yz + z1 a tedy 'smOcosuo rcos9s\nuo —r sin 9 sin ip^ D1G= j s\n9s\r\ip rcos9s\r\ip rs\r\9cosLp cos9 —rs\r\9 0 Proto je det D1 G = r2 sin3 9 sin2

+ r sin öcos (£> = = r2 sin3 61 + r2 cos2 61 sin 61 = r2 sin 6». □ s - - Literatura Integrálni počet vice proměnných ooooooooo«oooo INumericKa integrace ooooooooooo I Příklad ^H Vypočtěte objem koule o poloměru R. □ s Integrálni počet vice p ooooooooo«oooo Příklad Vypočtěte objem koule o poloměru R. Řešení Koule B(R) o poloměru R je dána ve sférických souřadnicích (r, 6, íp) jednoduchou podmínkou r < R. Je tedy obrazem intervalu U = [0, R] x [0, tt] x [0, 2tt), přičemž víme, že objemový element (tj. determinant jakobiánu transformačního zobrazení) je roven r s\r\6. Proto je objem koule roven □ s Integrálni počet vice p ooooooooo«oooo Příklad Vypočtěte objem koule o poloměru R. Řešení Koule B(R) o poloměru R je dána ve sférických souřadnicích (r, 6, íp) jednoduchou podmínkou r < R. Je tedy obrazem intervalu U = [0, R] x [0, tt] x [0, 2tt), přičemž víme, že objemový element (tj. determinant jakobiánu transformačního zobrazení) je roven r2sin#. Proto je objem koule roven ldx dy dz = j r sin 6 dr d0 áip = u R ŕ7T /*27ľ A ŕdr / s\n9d9 / dV = -R3ir. o Jo Jo 3 □ s Integrálni počet vice p oooooooooo«ooo Příklad Vypočtěte integrál / = / y/x2 + y2 +z2 dx dy dz, 'v kde množina V je vymezena plochou x + y + z = z. □ s Integrálni počet vice p oooooooooo«ooo Příklad Vypočtěte integrál / = / y/x2 + y2 +z2 dx dy dz, Jv kde množina V je vymezena plochou x2 + y2 + z2 = z. Řešení Transformací do sférických souřadnic dostáváme (grafem plochy je koule se středem v [0,0,1/2] a poloměrem 1/2) - promyslete meze! r2ir fx/2 /-COSÖ /= / / / rr2šm6drd6dv = Jo Jo Jo TT Integrálni počet vice p ooooooooooo«oo Určovaní mezí integrace Častým obtížným úkolem je při integraci v E3 určování intergačních mezí. V tom nám může pomoci: • prostorová představivost □ s Integrálni počet vice p ooooooooooo«oo Určovaní mezí integrace Častým obtížným úkolem je při integraci v E3 určování intergačních mezí. V tom nám může pomoci: • prostorová představivost • u symetrických objektů omezení pouze na výpočet v části objektu □ s Integrálni počet vice p ooooooooooo«oo Určovaní mezí integrace Častým obtížným úkolem je při integraci v E3 určování intergačních mezí. V tom nám může pomoci: • prostorová představivost • u symetrických objektů omezení pouze na výpočet v části objektu • zakreslení řezu objektu vhodnými rovinami (často x = 0, y = 0 nebo z = 0, případně využití SW pro vykreslení prostorového grafu. □ s Hmotnost tělesa Těleso o objemu V a hustotě v bodě [x,y,z] dané funkcí p(x,y,z) má hmotnost danou vztahem M = / pdxdydz. Jv Využití ve fyzice Hmotnost tělesa Těleso o objemu V a hustotě v bodě [x,y,z] dané funkcí p(x,y,z) má hmotnost danou vztahem M = I pdxdydz. 'v Těžiště tělesa Těleso o objemu V a hustotě v bodě [x,y,z] dané funkcí p(x,y,z) má souřadnice těžiště [xo,yo,zo] dané vztahy X° = M / xpdxdydz> yo = ~M Y pdxdydz, z0 = — / z pdxdydz. □ S ooooooooooooo« Využití ve fyzice - pokr. Moment setrvačnosti Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose l je // pr dxdydz, kde r je funkce závislosti bodu [x,y,z] od osy í. □ g - = ooooooooooooo« Využití ve fyzice - pokr. Moment setrvačnosti Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose l je // pr dxdydz, kde r je funkce závislosti bodu [x,y,z] od osy í. Příklad Určete souřadnice těžiště kruhové destičky x2 +y2 < a, je-li její hustota v bodě [x,y] přímo úměrná vzdálenosti od bodu [a, 0]. [xT = -l,yT = 0] Numerická integr; ooooooooooooo« Využití ve fyzice - pokr. Moment setrvačnosti Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose l je // pr dxdydz, kde r je funkce závislosti bodu [x,y,z] od osy í. Příklad Určete souřadnice těžiště kruhové destičky x2 + y2 < a, je-li její hustota v bodě [x,y] přímo úměrná vzdálenosti od bodu [a, 0]. [xT = -l,yT = 0] Příklad Vypočtěte moment setrvačnosti homogenního válce x2 + y2 < a2 o hustotě po vzhledem k ose tvořené přímkou x = y = z. if(*2+m Q Literatura Q Integrální počet více proměnných 9 Záměna souřadnic při integraci • Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice Q Numerická integrace • Numerické derivování • Numerická kvadratura oooooooooooooo Interpolace a aproximace - opakování Interpolace- stanovení formule pro funkci, kterou máme zadánu v bodech xo,... ,xn. Formule musí v těchto bodech dodržet danou funkční hodnotu (např. interpolační polynom stupně rí). Mimo interval - extrapolace. □ s oooooooooooooo Interpolace a aproximace - opakování Interpolace- stanovení formule pro funkci, kterou máme zadánu v bodech xo,... ,xn. Formule musí v těchto bodech dodržet danou funkční hodnotu (např. interpolační polynom stupně rí). Mimo interval - extrapolace. Aproximace - stanovení formule pro funkci, kterou máme zadánu v bodech xo,... ,xn. Formule má obvykle méně „stupňů volnosti" než n, proto danou funkční hodnotu obvykle nejde dodržet. Snažíme se najít nejlepší možnou aproximaci podle předem daného kritéria (např. metoda nejmenších čtverců). oooooooooooooo Polynomiální interpolace Lagrangeův interpolační polynom f(x) = y0£o(x) + yi£i(x) + ■■■+ yn£n(x), kde £i(x) Uj^iixi - Xj) ' □ s oooooooooooooo Polynomiální interpolace Lagrangeův interpolační polynom f(x) = y0£o(x) + yi£i(x) + ■■■+ yn£n(x), kde £i(x) Uj^i(x - */) Uj^i(xi - Xj) ' Hermiteův interpolační polynom - kromě funkčních hodnot známe v daných bodech i hodnotu derivace. □ s oooooooooooooo Polynomiální interpolace Lagrangeův interpolační polynom f(x) = y0£o(x) + yi£i(x) + kde £i(x) + yn£n(x), ILy/C* - xj) Uj^i(xi - Xj) ' Hermiteův interpolační polynom - kromě funkčních hodnot známe v daných bodech i hodnotu derivace. Interpolace (kubickými) splajny - intepolace po částech kubickými polynomy, přičemž v uzlových bodech požadujeme rovnost 1. a 2. derivací sousedních polynomů. oooooooooooooo Polynomiální interpolace Lagrangeův interpolační polynom f(x) = y0£o(x) + yi£i(x) + ■■■+ yn£n(x), kde £-,{x) Uj^i(x - xj) Hj^iixi - xj)' Hermiteův interpolační polynom - kromě funkčních hodnot známe v daných bodech i hodnotu derivace. Interpolace (kubickými) splajny - intepolace po částech kubickými polynomy, přičemž v uzlových bodech požadujeme rovnost 1. a 2. derivací sousedních polynomů. Trigonometrická interpolace - interpolační polynom A) " 2 Qn(x) + 2_, (A' cosJx + B j sin jx), j=í jehož koeficienty obvykle počítáme pomocí rychlé Fouherovy transformace - FFT. oooooooooooooo Aproximace metodou nejmenších čtverců Slouží k rekonstrukci funkce f z hodnot fo,... ,fn naměřených v uzlových bodech ao,... ,an . Tuto rekonstrukci hledáme vzhledem k danému modelu - dané posloupnosti funkcí (obecně více proměnných) go (x),..., gm(x),... - ve tvaru m ym{x) = ^Cjgj{x). j=0 Cílem je při tom minimalizovat „součet čtverců" n J2(fi - y™(ai)Y'■ ;=o oooooooooooooo Aproximace metodou nejmenších čtverců Aplikace - lineární (multilineární) regrese ve statistice □ s - = ■€. -o<\(y oooooooooooooo Aproximace metodou nejmenších čtverců Aplikace - lineární (multilineární) regrese ve statistice Typy modelů: • Sj(x) ~ obecný polynom stupně j n S - = -E -00*0 oooooooooooooo Aproximace metodou nejmenších čtverců Aplikace - lineární (multilineární) regrese ve statistice Typy modelů: • Sj(x) ~ obecný polynom stupně j • Sj(x) ~ ortogonální polynomy na dané množině bodů □ s oooooooooooooo Aproximace metodou nejmenších čtverců Aplikace - lineární (multilineární) regrese ve statistice Typy modelů: • Sj(x) ~ obecný polynom stupně j • Sj(x) ~ ortogonální polynomy na dané množině bodů • gj{x) - trigonometrický polynom □ s oooooooooooooo Aproximace metodou nejmenších čtverců □ S oooooooooooooo Numerická integrs •oooooooooo Numerické derivování Uvedeno pouze pro úplnost, metody velmi jednoduché, založené na definici derivace. Často dávají velmi nepřesný výsledek. Uvedeme zde pouze pro případ funkcí jedné proměnné, ve více proměnných počítáme parciální derivace analogicky. □ s Uvedeno pouze pro úplnost, metody velmi jednoduché, založené na definici derivace. Často dávají velmi nepřesný výsledek. Uvedeme zde pouze pro případ funkcí jedné proměnné, ve více proměnných počítáme parciální derivace analogicky. Pro výpočet odhadu k-té derivace funkce v daném bodě, známe-li hodnoty této funkce v několika bodech, lze využít interpolaci této funkce, např. Lagrangeův interpolační polynom. oooooooooooooo Numerická integrs o«ooooooooo Numerické derivování V praxi se často používají jednoduché několikabodove vzorce pro odhad derivace: □ s oooooooooooooo Numerická integrs o«ooooooooo Numerické derivování V praxi se často používají jednoduché několikabodove vzorce pro odhad derivace: f'(x)^-(f(x + /7)-f(x)), □ s oooooooooooooo Numerická integrs o«ooooooooo Numerické derivování V praxi se často používají jednoduché několikabodove vzorce pro odhad derivace: f'(x)^-(f(x + /7)-f(x)), f'(x)n-(f(x+h)-f(x-h)). □ s - = ■€. -o<\(y V praxi se často používají jednoduché několikabodove vzorce pro odhad derivace: f>(x)*\{f{x + h)-f{x)), f'(x)K±-h(f(x+h)-f(x-h)), nebo pětibodový vzorec f'{x) » ^ (-f(x + 2/7) + 8f(x + h)- 8f(x -h) + f(x - 2/7)). oooooooooooooo Numerická integrace (kvadratura) Numetricka integrace nachází uplatnění zejména v následujících případech: • integrovanou funkci neznáme přímo, známe jen její hodnoty v některých bodech (např. z měření) □ s oooooooooooooo Numerická integrace (kvadratura) Numetricka integrace nachází uplatnění zejména v následujících případech: • integrovanou funkci neznáme přímo, známe jen její hodnoty v některých bodech (např. z měření) • integrovaná funkce je známá, ale její primitivní funkci (antiderivaci) je obtížné (či dokonce nemožné) vyjádřit jakožto elementární funkci. Přímo z definice Riemannova integrálu - snaha odhadnout plochu pod křivkou, objem „pod plochou" apod. Podobně jako u derivování i zde můžeme využít interpolační polynomy. Přímo z definice Riemannova integrálu - snaha odhadnout plochu pod křivkou, objem „pod plochou" apod. Podobně jako u derivování i zde můžeme využít interpolační polynomy. Newton-Cotesovy vzorce Interval [a, b] , nad kterým integrujeme, rozdělíme na n stejných částí (délky h) tak, že v krajních bodech těchto částí známe hodnotu integrované funkce. Podle toho, jestli uvažujeme i hodnoty v krajních bodech a a b intervalu, rozlišujeme Newton-Cotesovy formule na uzavřené a otevřené. Pak r b n / f(x) dx ŕ« y^ Wjf(Xj), 'a ;=o Wj jsou váhy (uzavřený tvar). □ g - = ^ -00*0 Integrálni počet vice p oooooooooooooo Váhy snadno odvodíme např. pomocí Lagrangeovy interpolace. ŕb ŕb / f(x)dxfíä / L(x)dx = Ja Ja = í E f(xiMx) dx = Í2f(*>) / ^wdx •J a ;_r\ ;_n ** a i=0 W; n S - = -E -00*0 Integrálni počet vice p oooooooooooooo obdélníkové pravidlo (otevřená Newton-Cotesova formule) -interpolace konstatní funkcí í f{x)dxPá{b-a)f( a + b □ S Integrálni počet vice p oooooooooooooo lichoběžníkové pravidlo (uzavřená Newton-Cotesova formule) interpolace lineární funkcí í f(x)dxrz(b-a) f(a) + f(b) □ S Integrálni počet vice p oooooooooooooo Simpsonovo pravidlo (uzavřená Newton-Cotesova formule) interpolace kvadratickou funkcí b b — a f (x) dx pü —-— f(a)+4fla-^)+f(b) □ S Integrálni počet vice p oooooooooooooo Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp. Simpsonova pravidla vypočtěte /•tt/2 I = sinxc/x. Jo □ g - = ^ -00*0 Integrálni počet vice p oooooooooooooo Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp. Simpsonova pravidla vypočtěte /•tt/2 I = sinxc/x. Jo Řešení □ s - = ■€. -o<\(y Integrálni počet vice p oooooooooooooo Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp. Simpsonova pravidla vypočtěte TT/2 sin x c/x. Řešení • lichoběžníkové pravidlo: / ~ TT 1 ^ r^ 9" ' 9 r^ 0.785 Simpsonovo pravidlo: / w % (0 + 4^ + 1) w 1.003. □ g - = Integrálni počet vice p oooooooooooooo Numerická integrs ooooooooo»o Metody Monte Carlo Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. □ s Integrálni počet vice p oooooooooooooo Numerická integrs ooooooooo»o Metody Monte Carlo Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle Integrálni počet vice p oooooooooooooo Numerická integrs ooooooooo»o Metody Monte Carlo Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa Integrálni počet vice p oooooooooooooo Numerická integrs ooooooooo»o Metody Monte Carlo Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa • opakujeme Integrálni počet vice p oooooooooooooo Numerická integrs ooooooooo»o Metody Monte Carlo Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa • opakujeme Integrálni počet vice p oooooooooooooo Numerická integrs ooooooooo»o Metody Monte Carlo Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip - výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: • vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle • zjistíme, zda leží uvnitř tělesa • opakujeme Podíl objemu tělesa a krychle je pak aproximován relativní četností jevu, že náhodný bod leží uvnitř tělesa. Integrálni počet vice p oooooooooooooo Numerická integrs oooooooooo« Metody Monte Carlo Integrál f f (x) dx tak aproximujeme pomocí výběru náhodných n bodů x; z intervalu [a, b], ve kterých určíme funkční hodnoty. Pak □ S Integrálni počet vice p oooooooooooooo Numerická integrs oooooooooo« Metody Monte Carlo Integrál f f (x) dx tak aproximujeme pomocí výběru náhodných n bodů x; z intervalu [a, b], ve kterých určíme funkční hodnoty. Pak "b h — n ;=i □ s -