Matematika III 29. října 2009
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Maximum je 5 bodů. Na práci máte 90 minut.
A    jméno: UČO:
Příklady:
1.   (Ib.) K elipsoidu o rovnici x2 + 2y2 + z2 = 1 veďte tečné roviny rovnoběžné s rovinou o rovnici
x — y + 2z = 0.
2.   (Ib.) Pomocí diferenciálu odhadněte (bez použití kalkulačky) hodnotu
1,02 arctg
0,95
3.   (Ib.) Rozhodněte, zda je zobrazení F : (x, y) i—► (xy,x/y) prosté v okolí bodu [2,1]. Pokud ano, určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě F(2,1).
4.   (2b.) Najděte globální extrémy funkce
f(x,y) = x2 + y2 + 3xy + 2 na množině M ohraničené funkcemi y = 2, y = \x\. Rozhodněte o jaký typ extrému se jedná.
Matematika III 29. října 2009
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Maximum je 5 bodů. Na práci máte 90 minut.
B    jméno: UČO:
Příklady:
1.   (Ib.) Na kuželosečce o rovnici
x2 + 3y2 - 2x + 6y - 8 = 0
najděte všechny body, v nichž je normála rovnoběžná s osou y. Pro každý nalezený bod zapište obecnou rovnici tečny k dané křivce v tomto bodě.
2.   (Ib.) Vypočtěte diferenciál funkce f(x,y,z) = 2X sin y arctg z v bodě [—4,|,0] pro dx = 0,05, dy = 0,06 a dz = 0,08.
3.   (Ib.) Dokažte, že funkce f(x,y) = -^- nemá limitu v bodě (0,0).
4.   (2b.) Určete všechny lokální extrémy funkce f(x,y, z) = x + ^ + — +1 ležící v prvním oktantu a určete jejich typ.
Matematika III 29. října 2009
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Maximum je 5 bodů. Na práci máte 90 minut.
C    Jméno: UČO:
Příklady:
1.   (1,5b.) Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x, y) = \Jx2 + y2 v bodě [1,1] ve směru vektoru (-1,3)
(a)  přímo z definice,
(b)  pomocí gradientu.
2.   (lb.) Určete Taylorův polynom 2. stupně funkce 99Ř^- se středem v bodě [0,0].
3.   (lb.) Ve kterých bodech jednodílného hyperboloidu o rovnici
x2     y2      z2
-----h----------= 1
a2      b2      c2
nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x,y)?
4.   (1,5 b.) Najděte stacionární body funkce z = f(x,y) definované implicitně rovnicí
2x2 + 2y2 + z2 + 8xz - z + 8 = 0 a zjistěte, zda jsou v těchto bodech lokální extrémy.
Matematika III 29. října 2009
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Maximum je 5 bodů. Na práci máte 90 minut.
D    jméno: UČO:
Příklady:
1.   (1,5b.) Vypočtěte směrovou derivaci funkce
f(x,y,z) = z-exsiny v bodě [ln3, Stt/2, —3] ve směru vektoru (1, 2, 2)
(a)  přímo z definice,
(b)  pomocí gradientu.
2.   (1,5b.) Nechť je funkce y = y(x) dána v okolí bodu [1,1] implicitně rovnicí y3 — 2xy + x2 = 0. Určete Taylorův polynom 2. stupně této funkce v bodě xo = 1.
3.   (lb.)  Pomocí diferenciálu funkce dvou proměnných vypočtěte  (bez kalkulačky)  přibližně ln(0,972 + 0,052).
4.  (lb.) Rozhodněte, zda je zobrazení F : (x, y)
x'
y2,xy) prosté v okolí bodu [0,1].
Pokud ano, určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě F(0,1).