\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\pagestyle{empty}

\topmargin -3mm
\headsep 0mm
\headheight 3mm
\textheight 235mm
\textwidth 165mm
\oddsidemargin 0mm
\evensidemargin 0mm
\footskip 10mm

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\coL}{co\mbox{$-$}L}
\newcommand{\move}{\rightarrow}

\newcommand{\zadani}[2]{
{\large
\noindent {\bf IB102 -- úkol #1 \hfill Odevzdání: #2\\[-4mm]}
\noindent\hrule
\vspace{2mm}
\noindent Vypracoval(a):\hspace{7cm}UČO:\\
\noindent Skupina:
\vspace{2mm}
\hrule
\bigskip}
}

\newcommand{\reseni}[2]{
{\large
\noindent {\bf  IB102 -- úkol #1 -- řešení \hfill Odevzdání: #2\\[-4mm]}
\noindent\hrule
\vspace{2mm}
\noindent Vypracoval: James Bond \hspace{4.2cm}UČO: 007\ \ \\
\noindent Skupina: MI6
\vspace{2mm}
\hrule
\bigskip}
}



\begin{document}

\zadani{1}{27.\,9.\,2010}

\noindent 
{\bf 1. [2 body]} Mějme následující jazyky nad abecedou $\Sigma = \{a,b\}$.
\begin{align*}
L_1 &= \{a\} \cdot (\{\varepsilon\} \cup  \{a\})\\
L_2 &= \{b\} \cup  (\emptyset       \cdot \{b\})\\
L_3 &= (L_1 \cdot L_2^*) \cap L_1^*
\end{align*}
Zjistěte, kolik slov obsahuje jazyk $L_3$, a vypište je.
Svou odpověď zdůvodněte.

\newpage

\zadani{1}{27.\,9.\,2010}

\noindent
{\bf 2. [2 body]} Nechť $L$ je jazyk nad abecedou $\Sigma=\{a,b\}$ tvořený
právě všemi slovy, která mají sudý počet písmen $a$ a zároveň sudý počet
písmen $b$.
Zapište jazyk $L$ pomocí jednoprvkových jazyků $\{a\}$ a $\{b\}$ s~využitím
operací sjednocení ($\cup$), zřetězení ($\cdot$), průniku ($\cap$) 
  a iterace ($^*$).
Chcete-li použít jiné operace nebo jazyky, musíte je nejprve definovat pomocí
výše uvedených operací a jazyků.

Bonusová varianta za \textbf{4 body}: Zapište jazyk $L$ bez použití 
operace průniku.

\end{document}
