\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\pagestyle{empty}

\topmargin -3mm
\headsep 0mm
\headheight 3mm
\textheight 235mm
\textwidth 165mm
\oddsidemargin 0mm
\evensidemargin 0mm
\footskip 10mm

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\coL}{co\mbox{$-$}L}
\newcommand{\move}{\rightarrow}
\newcommand{\co}{\ifmmode\text{co\mbox{$-$}}\else co\mbox{$-$}\fi}

\newcommand{\zadani}[2]{
{\large
\noindent {\bf IB102 -- úkol #1 \hfill Odevzdání: #2\\[-4mm]}
\noindent\hrule
\vspace{2mm}
\noindent Vypracoval(a):\hspace{7cm}UČO:\\
\noindent Skupina:
\vspace{2mm}
\hrule
\bigskip}
}

\newcommand{\reseni}[2]{
{\large
\noindent {\bf  IB102 -- úkol #1 -- řešení \hfill Odevzdání: #2\\[-4mm]}
\noindent\hrule
\vspace{2mm}
\noindent Vypracoval: James Bond \hspace{4.2cm}UČO: 007\ \ \\
\noindent Skupina: MI6
\vspace{2mm}
\hrule
\bigskip}
}


\begin{document}

\zadani{2}{4.\,10.\,2010}

\noindent 
{\bf 1. [3 body]} Na obrázku máte 2 čtverce, v každém z nich 9 jazyků nad
abecedou $\{a, b\}$. 
V~sousedních sloupcích spojte čarou ty jazyky, mezi kterými je relace inkluze
(tzn. levý jazyk je podmnožinou pravého jazyka anebo jsou si rovny). U jazyků,
které se vám nepodaří s ničím spojit, stručně vysvětlete proč. 

Poznámka: Zatímco v levém čtverci jsou konkrétní jazyky, v pravém jsou
všechny jazyky odvozené od jazyka $L$, který není specifikován. Do pravého
čtverce proto zaznačte inkluze, které platí obecně, tj. pro libovolnou volbu
jazyka $L \subseteq \{a, b\}^*$. U jazyků z pravého čtverce, které nejsou
s ničím spojeny, by proto mělo vysvětlení využívat protipříklady.

\bigskip\bigskip
\tikzstyle{nod}=[circle,outer sep=0pt,inner sep=0pt]
\tikzstyle{popis}=[above=4pt]
\begin{tikzpicture}[>=latex,text height=1.5ex,text depth=0.25ex]
  \matrix[row sep=1.6cm,column sep=1.6cm] {
    \node (a11) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{11}$}; &
    \node (a12) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{12}$}; &
    \node (a13) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{13}$}; &
    &
    \node (a41) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{41}$}; &
    \node (a42) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{42}$}; &
    \node (a43) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{43}$}; &
    \\
    \node (a21) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{21}$}; &
    \node (a22) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{22}$}; &
    \node (a23) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{23}$}; &
    &
    \node (a51) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{51}$}; &
    \node (a52) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{52}$}; &
    \node (a53) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{53}$};
    \\
    \node (a31) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{31}$}; &
    \node (a32) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{32}$}; &
    \node (a33) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{33}$}; &
    &
    \node (a61) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{61}$}; &
    \node (a62) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{62}$}; &
    \node (a63) [nod] {}  circle (2pt) [fill]  node[popis] {$L_{63}$};
    \\
    };

  \path ($(a11)!.5!(a12) + (0,1cm)$) node {$\subseteq$};
  \path ($(a12)!.5!(a13) + (0,1cm)$) node {$\subseteq$};
  \path ($(a41)!.5!(a42) + (0,1cm)$) node {$\subseteq$};
  \path ($(a42)!.5!(a43) + (0,1cm)$) node {$\subseteq$};

%  \draw
%    (a11) -- (a12) -- (a13)
%    (a21) -- (a22) -- (a23)
%    (a31) -- (a32) -- (a33)
%    (a41) -- (a42) -- (a43)
%    (a51) -- (a52) -- (a53)
%    (a61) -- (a62) -- (a63)
%    ;
\end{tikzpicture}
\bigskip

\begin{align*}
L_{11} &= \{a,b\}^*
    & L_{41} &= L^R \\
L_{21} &= \{a\}
    & L_{51} &= L \\
L_{31} &= \{ab, abb\}
    & L_{61} &= (L^0 \cup \{a,b\})^+ \\[5pt]
L_{12} &= \{a\}.\{b\}^+
    & L_{42} &= L . \left(L^R\right)^* \\
L_{22} &= \{a\}^+
    & L_{52} &= L^6 \\
L_{32} &= \{b\}^+
    & L_{62} &= L \cup L^0 \\[5pt]
L_{13} &= \co\{a,b\}^*
    & L_{43} &= L \cup L.\left(L^R\right)^+ \\
L_{23} &= \{a\}^*
    & L_{53} &= L^* \\
L_{33} &= \{a\}^+.\{b\}^+
    & L_{63} &= \co L \cap L
\end{align*}

\newpage

\zadani{2}{4.\,10.\,2010}

\noindent
{\bf 2. [3 body]} Mějme jazyk $L = \{ab, ba, aba\}$ nad abecedou
$\Sigma = \{a, b\}$.
Zjistěte, kolik slov má následující jazyk:
\[ \co\left( (\co L)^2 \right) \]
Odpověď zdůvodněte.

\end{document}